常微分方程61非线性微分方程的稳定性课件

1第六章非线性微分方程§6.1稳定性1.常微分方程组解的存在唯一性定理

（当方程组中的方程个数为1是，就是单个方程）

2.李雅普诺夫稳定性3.按线性近似决定稳定性*6.1非线性微分方程的稳定性1第六章非线性微分方程§6.1稳定性*6.1非线性*6.1非线性微分方程的稳定性21.常微分方程组解的存在唯一性定理我们下面讨论微分方程组的解的性态，即存在唯一性、解的延拓和解对初值的连续性、可微性等。下面给出相应的概念和定理：*6.1非线性微分方程的稳定性21.常微分方程组解的存在*6.1非线性微分方程的稳定性3关于非线性微分方程有如下类似于前面的定理：*6.1非线性微分方程的稳定性3关于非线性微分方程有如下类*6.1非线性微分方程的稳定性4*6.1非线性微分方程的稳定性4*6.1非线性微分方程的稳定性52.李雅普诺夫稳定性例

求一阶非线性微分方程（P32：人口logistic模型）

的解的图貌（单个方程，它是方程组n=1的特殊情形）。其中A,B为常数且A·B>0，初值条件为y(0)=y0。解

方程有通解及特解而满足如上初值条件的解为*6.1非线性微分方程的稳定性52.李雅普诺夫稳定性例*6.1非线性微分方程的稳定性6(a)当A>0,B>0时：满足初值条件y(0)=y0>0的解趋于特解y2(t)=A/B；满足初值条件y(0)=y0<0的解y1(t)趋于无穷。(b)当A<0,B<0时：满足初值条件y(0)=y0>A/B的解y2(t)趋于无穷；满足初值条件y(0)=y0<A/B的解趋于特解y1(t)=0。*6.1非线性微分方程的稳定性6(a)当A>0,B>0时：*6.1非线性微分方程的稳定性7李雅普诺夫稳定性一般称当A>0,B>0时的特解

y2(t)和当A<0,B<0时的特解

y1(t)为稳定的。而称当A>0,B>0时的特解y1(t)

和当A<0,B<0时的特解y2(t)

为不稳定的。为什么要研究方程的解的稳定与不稳定呢？*6.1非线性微分方程的稳定性7李雅普诺夫稳定性一般称当A*6.1非线性微分方程的稳定性8稳定性的物理意义：用微分方程描述的物质运动的特解密切依赖于初值，而初值的计算或测定实际上不可避免地出现误差和干扰。而如果描述这运动的微分方程的特解是不稳定的，这初值的微小误差或干扰将导致“差之毫厘谬以千里”的严重后果。

因此，这样不稳定的特解将不宜作为设计的依据，而稳定的特解才是我们想要的。微分方程的解的表达式一般来讲是不容易得到的，我们现在就是要研究在不求出解的表达式的情况下判断方程的解的稳定性态。为了方便研究(6.1)的解的性态，对方程组（6.1）作如下变换：*6.1非线性微分方程的稳定性8稳定性的物理意义：为了方便*6.1非线性微分方程的稳定性9设的某一特解是y=φ(t),作变换x=y-φ(t)则上面方程组化为方程组的零解，即上面关于y的方程组的特解y=φ(t)变为关于x的方程组的零解。注：上面显然，有这样，我们把讨论方程组（6.1）的解的性态问题就转化为关于x的方程组的零解x=0的附近的性态。这会给我们的研究带来方便。*6.1非线性微分方程的稳定性9设*6.1非线性微分方程的稳定性10例如：对于方程

对方程的一个特解y2(t)=A/B

，可通过变换x=y-A/B化为方程的零解。这样，讨论方程(6.4)的特解y2(t)=A/B的稳定性态便可化为讨论上面方程（6.9）的零解x=0的稳定性态。将方程的特解化为零解再进行零解稳定性态的讨论，就不必对各种特解讨论其稳定性态，而只考虑零解的稳定性态。*6.1非线性微分方程的稳定性10例如：对于方程对方程的*6.1非线性微分方程的稳定性11微分方程（6.9）的右端不含自变量时称为驻定（自治）微分方程（P21）。微分方程（6.4）右端不含自变量，令其右端为零得到的代数方程Ay-By2=0的解y1(t)=0,y2(t)=A/B必是微分方程（6.4）的常数解，这样的解称为驻定解或平衡解。驻定微分方程右端为零得到的代数方程的解是微分方程的常数解，这也是特解的一种情况。*6.1非线性微分方程的稳定性11微分方程（6.9）的右端*6.1非线性微分方程的稳定性12稳定性（李雅普诺夫意义下）的定义假设的右端函数f(t;x)在包含原点（零解一定过零点）的域G内有连续的偏导数(也满足了利普希茨条件)，则方程组的解具有存在唯一性、延拓、连续性和可微性条件。稳定性定义如果对任意给定的>0，存在=(,t0)>0，使当任一x0满足||x0||≤时，方程组(6.7)的由初值条件x(t0)=x0确定的解x(t)对一切t≥t0均有||x(t)||≤

，则称方程组(6.7)的零解x=0是稳定的。如果方程组(6.7)的零解x=0稳定，且存在0，使当||x0||≤0时，满足初值条件x(t0)=x0的解x(t)均有

,则称零解是渐近稳定的。*6.1非线性微分方程的稳定性12稳定性（李雅普诺夫意义下*6.1非线性微分方程的稳定性13(续)稳定性定义稳定性定义如果零解x=0渐近稳定，且存在域D0，当且仅当x0D0时，满足初值条件x(t0)=x0的解x(t)均有

,则域D0称为(渐近)稳定域或吸引域。若稳定域为全空间，即0=+∞，则称零解x=0是全局渐近稳定的或简称为全局稳定的。当零解x=0不是稳定时，称它是不稳定的，即：如果对某给定的>0，不管>0怎样小，总有x0满足||x0||≤

，使方程组(6.7)的由初值条件x(t0)=x0确定的解x(t)，至少存在某有t1>t0，使得||x(t1)||≥。

二维情形零解稳定性态在平面上的示意图如下图(6.2)。*6.1非线性微分方程的稳定性13(续)稳定性定义稳定性*6.1非线性微分方程的稳定性14稳定性态在平面上的示意图*6.1非线性微分方程的稳定性14稳定性态在平面上的示意图*6.1非线性微分方程的稳定性15稳定性态在平面上的示意图说明例

对微分方程(6.4)，当

A<0,B<0时，其零解y=0

为渐近稳定，稳定域为

y<A/B。特解y2(t)=A/B

为不稳定。当A>0,B>0时，微分方程(6.9)的零解x=0为渐近稳定的（对应于y2(t)=A/B），稳定域为x>-A/B（y>0）。而对微分方程(6.4)的零解y=0为不稳定的；（同理，A<0,B<0时，(6.9)的零解x=0是不稳定的）。*6.1非线性微分方程的稳定性15稳定性态在平面上的示意图*6.1非线性微分方程的稳定性163.按线性近似决定稳定性考虑一阶常系数线性微分方程组其特征方程为由第五章(5.52)式知，线性微分方程组（6.10）的任一解均可表为形如的线性组合。其中λi

为特征方程(6.12)的根，li≥0为由根λi的重数确定的整数。定理1若特征方程(6.12)的根均具负实部根(包括负根)，则方程组(6.10)的零解是渐近稳定的；若特征方程(6.12)具正实部根(包括正根)，则方程组(6.10)的零解是不稳定的；若特征方程(6.12)没有正实部根(包括正根)的根，但有零根或零实部的根，则方程组(6.10)的零解可能是稳定的也可能是不稳定的，这要看零根或零实部的根的重数是否等于1而定。*6.1非线性微分方程的稳定性163.按线性近似决定稳定*6.1非线性微分方程的稳定性17按线性近似的稳定性

现考虑非线性驻定微分方程组且右端函数满足条件时方程的零解。显然，方程组有零解x=0，这也是方程组的奇点（P22）。我们要考虑：能不能按(6.13)对应的线性方程组(6.10)的零解的稳定性态决定非线性驻定微分方程组(6.13)的稳定性态?因为（6.10）是线性的，所以称其为按线性近似决定稳定性的问题。*6.1非线性微分方程的稳定性17按线性近似的稳定性现考*6.1非线性微分方程的稳定性18定理2

若特征方程(6.12)没有零根或零实部根(特征值)，则非线性方程组(6.13)的零解的稳定性态与其线性近似的方程组(6.10)的零解的稳定性态一致，即当特征方程(6.12)的根均具负实部根(包括负根)时，方程组(6.13)的零解是渐近稳定的；当特征方程(6.12)具正实部根(包括正根)时,方程组(6.13)的零解是不稳定。若特征方程有零根或零实部特征根时方程组(6.13)属临界情形，其零解的稳定性态不能由其线性近似方程组(6.10)的零解的稳定性态决定，需考虑高次项的影响，这由R(x)项影响，它的研究是常微分方程稳定性理论的重大课题之一。关于非线性微分方程组的按线性近似决定的稳定性定理*6.1非线性微分方程的稳定性18定理2若特征方程(6*6.1非线性微分方程的稳定性19霍维茨判别法（判断代数方程的根的实部是否均为负的方法）n次常系数代数方程的霍维茨行列式定义为其中ai=0(对一切i>n)。定理3上述代数方程的一切根均具负实部的充分必要条件为如下不等式同时成立：定理的证明见高等代数课本(即所有∆i都大于零)。*6.1非线性微分方程的稳定性19霍维茨判别法（判断代数方*6.1非线性微分方程的稳定性20例1考虑一阶非线性微分方程组的零解的稳定性。解

对应的线性近似方程组的特征方程即霍维茨行列式为根据定理3,特征方程的根均具负实部。由定理2知非线性微分方程组的零解x=y=z=0是渐近稳定的。*6.1非线性微分方程的稳定性20例1考虑一阶非线性微分*6.1非线性微分方程的稳定性21例2对三次代数方程其中a>0,b>0,c>0.考虑其根均具负实部时参数c的变化范围.解：

对应方程,有赫尔维茨行列式由定理3,方程的根均具负实部的充要条件是c>1及∆2>0,即*6.1非线性微分方程的稳定性21例2对三次代数方程*6.1非线性微分方程的稳定性22作业（2）；。*6.1非线性微分方程的稳定性22作业（2）；*6.1非线性微分方程的稳定性23§6.2V

函数方法（继续判定零解的稳定性）考虑n维一阶非线性驻定微分方程组(14)，其中f(x)在某域G:||x||≤A内有连续的偏导数，从而方程组的在域G内满足初值条件x(t0)=x0的解在原点的某邻域内存在且唯一。显然，x=0是其特解。V

函数定义假设V(x)为在域||x||≤H内定义的实连续可微函数,V(0)=0函数。如在域内恒有V(x)≥0，则称为常正的；V

函数也称为李雅普诺夫函数。*6.1非线性微分方程的稳定性23§6.2V*6.1非线性微分方程的稳定性24如在域内当x≠0时有V(x)>0，则称为定正的；如-V是定正(常正)的，则称为定负(常负)的。当V(x)对所有变元的偏导数存在且连续时，可将方程组(14)的解代入后再对t求导得此导数称为通过方程组(14)的全导数。*6.1非线性微分方程的稳定性24如在域内当x≠0时有V(*6.1非线性微分方程的稳定性25V

函数的例

例1函数常正；定正；在域x2+y2<π上定正，在全平面变号；

当a>0,4ac-b2>0时定正，当a<0,4ac-b2>0时定负；*6.1非线性微分方程的稳定性25V函数的例例1*6.1非线性微分方程的稳定性26李雅普诺夫定理定理4如果对微分方程组（14）存在定正函数V(x)，其通过方程组(14)的全导数为常负函数或恒为零，则方程组（14）的零解是稳定的。如果存在定正函数V(x)通过方程组(14)的全导数为定负时，则方程组（14）的零解是渐近稳定的。如果存在函数V(x)和某非负常数μ，其通过方程组(14)的全导数可表为且当μ=0时W为定正函数，当μ≠0时W为常负函数或恒为零，又在x=0的任意小邻域内至少存在某个x使得V(x)>0，则方程组（14）的零解是不稳定的。证明方法见后面几何解释，详细证明略。*6.1非线性微分方程的稳定性26李雅普诺夫定理定理4如*6.1非线性微分方程的稳定性27稳定性的几何解释在由未知函数x组成的n维相空间(x)中，方程组（14）的解在相空间中的轨迹为轨线。V(x)=c当c足够小时在相空间中是围绕原点的n-1维闭曲面。方程组（14）的零解x=0稳定时，其原点附近的由||x0||≤ε为初值出发的轨线x(t)均停留在某闭曲面V(x)=c内。零解x=0渐近稳定时，轨线将沿闭曲面一层层趋于原点。平面一阶微分方程组的相空间为平面。相平面上V(x)=c为闭曲线族。轨线的走向如图(6.3)所示。*6.1非线性微分方程的稳定性27稳定性的几何解释在由未知*6.1非线性微分方程的稳定性28例4讨论平面一阶微分方程组零解的稳定性态。解

其线性近似方程组x’=-y,y’=x的特征方程λ2+1=0的根为λ=±i，属于临界情形。如取定正函数根据定理4有（1）如a<0，则dV/dt定负，方程组的零解为渐近稳定；（2）如a>0，则dV/dt定正，方程组的零解为不稳定；（3）如a=0，则dV/dt=0，方程组的零解稳定。注定理4是李雅普诺夫稳定性的基本定理。对含时间t的驻定微分方程及含时间t的函数V(t,x)也有相应的定理，V(t,x)定理条件及函数V(t,x)的有关定义要作一些改变，如V(t,x)定正的含义应改为存在定正函数W(x)，使得V(t,x)≥W(x)。*6.1非线性微分方程的稳定性28例4讨论平面一阶微分*6.1非线性微分方程的稳定性29

稳定性定理推广（以下内容略）进一步的推广有定理5如果对微分方程组（14）存在定正函数V(x)，其通过方程组(14)的全导数dV(x)/dt为常负，但使dV(x)/dt=0的x的集中除零解x=0外不包含方程(14)的整条正半轨线，则方程组（14）的零解是渐近稳定的。证

证明与定理4类似。因对轨线不会有仍可通过反证法证明从几何意义上看，