哈工大第二学期数学分析知识点总结课件

关于实数完备性的6个基本定理1.确界原理（定理1.1）；2.单调有界定理（定理2.9）；

3.区间套定理（定理7.1）；4.有限覆盖定理（定理7.3）

5.聚点定理（定理7.2）6.柯西收敛准则（定理2.10）；在实数系中这六个命题是相互等价的。第七章关于实数完备性的6个基本定理1.确界原理（定理1.1）；1在有理数系中这六个命题不成立。1.确界原理

在实数系中，任意非空有上（下）界的数集必有上（下）确界。在有理数系中这六个命题不成立。1.确界原理22.单调有界定理；

在实数系中，单调有界数列必有极限。即数列的单调有界定理在有理数域不成立。2.单调有界定理；在实数系中，单调有界数列必有极限。即数33.区间套定理

若{[]}是一个区间套，则在实数系中存在唯一的点所以区间套定理在有理数系不成立。反例：3.区间套定理若{[]}是一个区间44.有限覆盖定理在实数系中，闭区间[a,b]的任一开覆盖H，必可从H中选出有限个开区间覆盖[a,b]。反例：4.有限覆盖定理在实数系中，闭区间[a,b]的任一开覆盖55.聚点定理实数系中的任意有界无限点集至少有一个聚点。反例：S是有界的无限有理点集，在实数域内的聚点为e,因而在有理数域没有聚点。5.1致密性定理：在实数系中，有界数列必含有收敛子列。反例：其极限为无理数e,从而任一子列均收敛于e。故{xn}在有理数域内没有收敛的子列。5.聚点定理实数系中的任意有界无限点集至少有一个聚点。反例66.柯西收敛准则反例：即柯西收敛准则在有理数域不成立。6.柯西收敛准则反例：即柯西收敛准则在有理数域不成立。7几个概念：区间套（闭区间套），聚点（3个等价定义及其等价性的证明），开覆盖（有限开覆盖）。举例说明闭区间套定理中将闭区间换成开区间结论不成立。但不存在属于所有开区间的公共点。

几个概念：区间套（闭区间套），聚点（3个等价定义及其等价性的8举例说明有限覆盖定理中将闭区间换成开区间结论不成立。但不能从中选出有限个开区间盖住（0，1）。因为右端点始终为1，左端点有限个中必有一个最小者，构成了开区间（0，1）的一个开覆盖，举例说明有限覆盖定理中将闭区间换成开区间结论不成立。但不能从9积分法原函数选择u有效方法基本积分表第一换元法第二换元法直接积分法分部积分法不定积分几种特殊类型函数的积分第八章不定积分积分法原函数选基第一换元法直接分部不定积分几10一、主要内容1、原函数与不定积分的概念。2、不定积分:(1)存在性;(2)唯一性;(3)如何求？3、不定积分运算与微分运算的互逆关系。4、积分表。5、不定积分的计算：（1）基本思想——化归为积分表中的积分；（2）常用积分方法：一、主要内容1、原函数与不定积分的概念。2、不定积分:(1111）恒等变形（加一项减一项、乘一项除一项、三角恒等变形）；

2）线性运算；

3）换元法：第一类（凑分法）——不需要变换式可逆；第二类——变换式必须可逆；

4）分部积分法——常可用于两个不同类型函数乘积的积分；“对反幂三指，前者设为u”

5）三种特殊类型函数“程序化”的积分法。

注：检验积分结果正确与否的基本方法。1）恒等变形（加一项减一项、乘一项除一项、212（3）求积分比求微分困难——1）没有万能的积分法；2）有的初等函数的积分不是初等函数，从而“积不出来”，如另外：每一个含有第一类间断点的函数都没有原函数.（3）求积分比求微分困难——另外：每一个含有第一类间断点的函136、基本积分表是常数)6、基本积分表是常数)14哈工大第二学期数学分析知识点总结ppt课件157、凑微分常见类型:7、凑微分常见类型:16凑微分时常用到：凑微分法就是设法把

一般没有规律可循，只有掌握典型例题，多做多总结。凑微分时常用到：凑微分法就是设法把一般没有规律可循，只有17三角代换去掉如下二次根式：可令可令可令8、常用代换:三角代换去掉如下二次根式：可令可令可令8、常用代换:18当被积函数含有两种或两种以上的根式时，可采用令x=tn,（其中n为各根指数的最小公倍数）当分母的阶>>分子的阶时,可考虑试用倒代换：当被积函数含有两种或两种以上的根式19一、主要内容1、定积分的定义第九章定积分定积分是个数，与被积函数在有限个点处的定义无关；与积分变量记号的选择无关。一、主要内容1、定积分的定义第九章定积分定积分是个数，与被20（2）利用牛顿-莱布尼兹公式。2、定积分的计算在已知定积分存在的前提下，可用下面两种方法求出其值：（2）利用牛顿-莱布尼兹公式。2、定积分的计算在已知定积分213、定积分的几何意义——面积的代数和。4、定积分的性质线性、关于积分区间的可加性、估值不等式、积分第一、第二中值定理。5、定积分与不定积分的联系（1）变上限积分的导数公式；保号性、3、定积分的几何意义——面积的代数和。4、定积分的性质线性、22（2）牛-莱公式。（3）可积函数不一定有原函数，有原函数的函数不一定可积。因为“含有第一类间断点的函数”都没有原函数，而“含有有限个第一类间断点的函数”都可积。所以可积函数不一定有原函数。（2）牛-莱公式。（3）可积函数不一定有原函数，有原函数的函23即说明有原函数的函数不一定可积。即说明有原函数的函数不一定可积。246、可积条件必要条件

若函数f在[a,b]上可积，则f在[a,b]上必定有界。充要条件（1）

函数f在[a,b]可积当且仅当：

使得属于T的所有小区间中，

充要条件（2）

函数f在[a,b]可积当且仅当：

对应于振幅的那些小区间的总长6、可积条件必要条件若函数f在[a,b]上可积，则f在257、可积函数类1、在[a,b]上连续的函数在[a,b]可积。2、在[a,b]上只有有限个间断点的有界函数在[a,b]上可积。3、在[a,b]上单调的有界函数在[a,b]上可积。（允许有无限多个间断点）但并非可积函数只有这3类。如：黎曼函数不属于这3类的任何一类，但它是可积的。

在[a,b]上函数的间断点形成收敛的数列，则函数在[a,b]可积。7、可积函数类1、在[a,b]上连续的函数在[a,b]可积。268、利用不定积分计算定积分（1）线性；恒等变形；换元；分部积分；一些特殊类型函数的积分。（2）与不定积分法的差别（3）利用对称性、周期性及几何意义。——牛-莱公式

积分限的确定，换元要换积分限，原函数求出后不需回代。（4）开偶次方时，要带绝对值。8、利用不定积分计算定积分（1）线性；恒等变形；换元；分部积279、杂记（1）定积分可用于计算某类特殊数列的极限。（2）对D(x)和R(x)的可积问题多一些关注。9、杂记（1）定积分可用于计算某类特殊数列的极限。（2）对281、微元法的理论依据第10章1、微元法的理论依据第10章292、名称释译2、名称释译303、所求量的特点3、所求量的特点314、解题步骤4、解题步骤32哈工大第二学期数学分析知识点总结ppt课件33平面图形的面积直角坐标参数方程极坐标弧微分弧长旋转体体积旋转体侧面积?平面图形的面积直角坐标参数方程极坐标弧微分弧长旋转体体积旋转345、定积分应用的常用公式(1)平面图形的面积直角坐标情形——上曲线减下曲线对x积分。5、定积分应用的常用公式(1)平面图形的面积直角坐标情形35Ax=f(y)（图5）x=g(y)——右曲线减左曲线对y积分。一般解题步骤：（1）画草图，定结构；（2）解必要的交点，定积分限；（3）选择适当公式，求出面积（定积分）。注意：答案永远为正。Ax=f(y)（图5）x=g(y)——右曲线减左曲线对y积分36如果曲边梯形的曲边为参数方程曲边梯形的面积参数方程所表示的函数如果曲边梯形的曲边为参数方程曲边梯形的面积参数方程所表示的函37极坐标情形极坐标情形38(2)体积xyo(2)体积xyo39平行截面面积为已知的立体的体积））平行截面面积为已知的立体的体积））40(3)平面曲线的弧长弧长A．曲线弧为弧长B．曲线弧为(3)平面曲线的弧长弧长A．曲线弧为弧长B．曲线弧为41C．曲线弧为弧长(4)旋转体的侧面积xyoC．曲线弧为弧长(4)旋转体的侧面积xyo42(5)变力所作的功(6)液体压力(5)变力所作的功(6)液体压力43(7)引力(8)函数的平均值(7)引力(8)函数的平均值44第11章一、两类反常积分的概念

a为任意常数,第11章一、两类反常积分的概念a为任意常数,45如果a,b都是瑕点，则定义

c为(a,b)内任一实数。当且仅当右端两个积分都收敛时，才称左端瑕积分收敛。二、计算方法——求正常积分+求极限；如果a,b都是瑕点，则定义c为(a,b)内任一实数。当且仅46三、两类反常积分的判敛方法1、Cauchy准则

三、两类反常积分的判敛方法1、Cauchy准则472、比较法则

通常取p-积分为比较对象，且常用极限形式。3、Dirichelet判别法和Abel判别法

用于判别两个函数相乘时的反常积分的敛散性。2、比较法则通常取p-积分为比较对象，且常用极限形式。3、48四、绝对收敛与条件收敛定积分：无穷积分：瑕积分：四、绝对收敛与条件收敛定积分：无穷积分：瑕积分：49第12章数项级数正项级数交错级数一般项级数第12章数项级数正项级数交错级数一般项级数50哈工大第二学期数学分析知识点总结ppt课件51哈工大第二学期数学分析知识点总结ppt课件52哈工大第二学期数学分析知识点总结ppt课件53收敛级数的基本性质：3.

级数的敛散性与级数的有限项无关，但收敛的和一般会有影响。4.收敛级数加括号后仍收敛，且和不变（即有结合律）；5.绝对收敛级数的任意重排级数仍绝对收敛，且和不变（即有交换律）。6.

收敛级数与发散级数的和必为发散级数。收敛级数的基本性质：3.级数的敛散性与级数的有限项54正项级数审敛法1、比较法（un为有理表达式时）；2、比式法（un含n!时）；3、根式法（un含n次方时）；4、积分法(）；5、拉贝法（

）；正项级数审敛法1、比较法（un为有理表达式时）；2、比式法（55交错级数审敛法这是Dirichelet判别法的特殊情形。交错级数审敛法这是Dirichelet判别法的特殊情形。56一般项级数审敛法1、Abel判别法，2、Dirichelet判别法。

用比值或根值判别法判定的非绝对收敛级数一定发散。一般项级数审敛法1、Abel判别法，2、Dirichelet57则它们的乘积按任意顺序所得的级数也绝对收敛于AB.绝对收敛级数的性质

条件收敛的级数，可以适当重排，使其按任意预定的方式收敛或发散。则它们的乘积按任意顺序所得的级数也绝对收敛于AB.绝对收敛级58第13章等价于下列3条之一：好用！典型例题：I第13章等价于下列3条之一：好用！典型例题：I59I的常用判定法：I的常用判定法：60等价于下列3条之一：典型例题：等价于下列3条之一：典型例题：61（1）优级数判别法（2）Abel判别法（3）Dirichelet判别法（1）优级数判别法（2）Abel判别法（3）Dirichel62的常用判定法：DD的常用判定法：DD63一致收敛函数列的性质：（1）（2）II（3）一致收敛函数列的性质：（1）（2）II（3）64一致收敛函数项级数的性质(1)(2)D（3）一致收敛函数项级数的性质(1)(2)D（3）65第14章一、幂级数及其收敛半径、收敛区间、收敛域说明幂级数存在收敛半径。收敛半径的求法：（1）根式法，（2）比式法，第14章一、幂级数及其收敛半径、收敛区间、收敛域说明幂级数存66这个方法不适合求缺项级数的收敛半径。幂级数在收敛区间端点的收敛情况，转化成数项级数的判敛问题。这个方法不适合求缺项级数的收敛半径。幂级数在收67二、幂级数的性质（1）在收敛区间内闭一致收敛，（2）和函数在收敛区间连续，（3）在收敛区间可以逐项求导、逐项求积，且所得幂级数收敛半径不变。二、幂级数的性质（1）在收敛区间内闭一致收敛，（2）和函数在68三、幂级数的求和通常采用逐项求导、逐项求积，并利用一些已知级数的和函数。注意这个级数的各种变异。三、幂级数的求和通常采用逐项求导、逐项求积，并利用一些已知级69记住下列幂级数的和函数：记住下列幂级数的和函数：70四、函数展开成幂级数

如果f(x)能展成幂级数，则这个幂级数是唯一的，就是f(x)的泰勒级数。四、函数展开成幂级数如果f(x)能展成幂级数711.直接法(泰勒级数法)步骤:2.间接法根据唯一性,利用常见展开式,通过变量代换,四则运算,恒等变形,逐项求导,逐项积分等方法,求展开式.1.直接法(泰勒级数法)步骤:2.间接法根据唯一性,利用常72记住几个特殊函数的展开式：注意收敛范围。记住几个特殊函数的展开式：注意收敛范围。73本章讨论了下面三类问题：1、幂级数的收敛半径、收敛区间和收敛域。2、幂级数的一致收敛性，及和函数的性质。3、函数展开成幂级数的条件及方法。本章讨论了下面三类问