高考全国甲卷：《理科数学》2023年考试真题与答案解析

高考精品文档高考全国甲卷理科数学·2023年考试真题与答案解析同卷地区贵州省、四川省、云南省西藏自治区、广西自治区高考全国甲卷：《理科数学》2023年考试真题与答案解析一、选择题本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设集合，U为整数集，（

）A． B．C． D．答案：A2．若复数，则（

）A．-1 B．0

C．1 D．2答案：C3．执行下面的程序框遇，输出的（

）A．21 B．34 C．55 D．89答案：B4．向量，且，则（

）A． B． C． D．答案：D5．已知正项等比数列中，为前n项和，，则（

）A．7 B．9 C．15 D．30答案：C6．有60人报名足球俱乐部，60人报名乒乓球俱乐部，70人报名足球或乒乓球俱乐部，若已知某人报足球俱乐部，则其报乒乓球俱乐部的概率为（

）A．0.8 B．0.4 C．0.2 D．0.1答案：A7．“”是“”的（

）A．充分条件但不是必要条件 B．必要条件但不是充分条件C．充要条件 D．既不是充分条件也不是必要条件答案：B8．已知双曲线的离心率为，其中一条渐近线与圆交于A，B两点，则（

）A． B． C． D．答案：D9．有五名志愿者参加社区服务，共服务星期六、星期天两天，每天从中任选两人参加服务，则恰有1人连续参加两天服务的选择种数为（

）A．120 B．60 C．40 D．30答案：B10．已知为函数向左平移个单位所得函数，则与的交点个数为（

）A．1 B．2 C．3 D．4答案：C11．在四棱锥中，底面为正方形，，则△PBC的面积为（

）A． B． C． D．答案：C12．己知椭圆，为两个焦点，O为原点，P为椭圆上一点，，则（

）A． B． C． D．答案：B二、填空题13．若为偶函数，则________．答案：214．设x，y满足约束条件，设，则z的最大值为____________．答案：1515．在正方体中，E，F分别为CD，的中点，则以EF为直径的球面与正方体每条棱的交点总数为____________．答案：1216．在△ABC中，，，D为BC上一点，AD为的平分线，则_________．答案：2三、解答题（一）必做题17．已知数列中，，设为前n项和，．[1]求的通项公式；[2]求数列的前n项和．答案：[1]因为当时，，即当时，，即当时，所以化简得：当时，即当时都满足上式，所以。[2]因为所以两式相减得：，即，。18．在三棱柱中，，底面ABC，，到平面的距离为1．

[1]求证：；[2]若直线与距离为2，求与平面所成角的正弦值．答案：[1]如图，底面，面，又，平面，平面ACC1A1，又平面平面平面过作交于，又平面平面，平面平面到平面的距离为1，在中，设，则为直角三角形，且，，，解得。[2]过B作，交于D，则为中点由直线与距离为2，所以，，在，延长，使，连接由知四边形为平行四边形，平面，又平面则在中，，在中，，又到平面距离也为1所以与平面所成角的正弦值为。19．为探究某药物对小鼠的生长抑制作用，将40只小鼠均分为两组，分别为对照组（不加药物）和实验组（加药物）。[1]设其中两只小鼠中对照组小鼠数目为，求的分布列和数学期望；[2]测得40只小鼠体重如下（单位：g）：（已按从小到大排好）对照组：17.3

18.4

20.1

20.4

21.5

23.2

24.6

24.8

25.0

25.426.1

26.3

26.4

26.5

26.8

27.0

27.4

27.5

27.6

28.3实验组：5.4

6.6

6.8

6.9

7.8

8.2

9.4

10.0

10.4

11.214.4

17.3

19.2

20.2

23.6

23.8

24.5

25.1

25.2

26.0[i]求40只小鼠体重的中位数m，并完成下面2×2列联表：对照组实验组[ii]根据2×2列联表，能否有95%的把握认为药物对小鼠生长有抑制作用。参考数据：0.100.050.0102.7063.8416.635答案：[1]依题意，的可能取值为，则，，所以的分布列为：0故。[2][i]依题意，可知这40只小鼠体重的中位数是将两组数据合在一起，从小到大排后第20位与第21位数据的平均数。由于原数据已经排好，所以我们只需要观察对照组第一排数据与实验组第二排数据即可，可得第11位数据为，后续依次为，故第20位为，第21位数据为所以。故列联表为：合计对照组61420实验组14620合计202040[ii]由[i]可得，所以能有的把握认为药物对小鼠生长有抑制作用。20．设抛物线，直线与C交于A，B两点，且。[1]求；[2]设C的焦点为F，M，N为C上两点，，求面积的最小值。答案：[1]设由，可得所以所以，即因为，解得：。[2]因为，显然直线的斜率不可能为零设直线：，由，可得所以因为，所以即亦即将代入得：，所以，且解得或设点到直线的距离为，所以所以△MNF的面积而或所以，当时，△MNF的面积。21．已知。[1]若，讨论的单调性；[2]若恒成立，求a的取值范围。答案：[1]令，则则当当，即当，即所以在上单调递增，在上单调递减。[2]设设所以①若，即在上单调递减，所以所以当，符合题意②若当，所以所以，使得，即，使得当，即当单调递增所以当，不合题意综上，的取值范围为。（二）选做题22．已知P(2，1)，直线（t为参数），l与x轴y轴正半轴交于A，B两点，。[1]求的值；[2]以原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求l的极坐标方程．答案：[1]因为l与x轴，y轴正半轴交于两点所以令，令，所以所以，即解得因为，所以。[2]由[1]可知，直线的斜率为，且过点所以直线的普通方程为：