湖南省岳阳市市君山中学2022年高一数学理测试题含解析

湖南省岳阳市市君山中学2022年高一数学理测试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知函数f（x）=，若f（﹣1）=f（1），则实数a的值为（）A．1 B．2 C．0 D．﹣1参考答案：B【考点】函数的值．【分析】由已知得f（﹣1）=1﹣（﹣1）=2，f（1）=a，再由f（﹣1）=f（1），能求出a的值．【解答】解：∵函数f（x）=，f（﹣1）=f（1），∴f（﹣1）=1﹣（﹣1）=2，f（1）=a，∵f（﹣1）=f（1），∴a=2．故选：B．2.等于

(

)A.

B.

C.

D.参考答案：B略3.已知△ABC中，，A=45°，B=60°，那么b等于（

）A.

B. C.

D.1参考答案：A4.已知幂函数f（x）=xα的图象过点，则函数g（x）=（x﹣2）f（x）在区间上的最小值是（）A．﹣1 B．﹣2 C．﹣3 D．﹣4参考答案：C【考点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域．【分析】求出幂函数f（x）的解析式，从而求出g（x）的解析式，根据函数的单调性求出g（x）在闭区间上的最小值即可．【解答】解：∵幂函数f（x）=xα的图象过点，∴2α=，解得：α=﹣1，故g（x）==1﹣，而g（x）在[，1]递增，故g（x）min=g（）=﹣3，故选：C．【点评】本题考查了幂函数的定义，考查函数的单调性、最值问题，是一道基础题．5.设

则=（

）.

.

.

.参考答案：A略6.

参考答案：A7.设是等比数列的前n项和，且满足，则的值为（

）A.

B.5

C.8

D.15参考答案：B8.幂函数，其中，且在（0，+∞）上是减函数，又，则=（

）A.0

B.

1

C.2

D.

3参考答案：B9.已知集合A＝｛2，4，5｝，B＝｛1，3，5｝，则A∪B＝

（

）A．B．｛5｝C．｛1，3｝D．｛1，2，3，4，5｝参考答案：D10.下列物理量：①质量②速度③位移④力⑤加速度⑥路程，其中是向量的有（）A、2个B、3个C、4个D、5个参考答案：C二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知函数，且对于任意的恒有，则______________.参考答案：略12.方程的解为_______________.参考答案：16略13.给出下列命题：①函数与是同一函数②幂函数y=xα的图象不可能在第四象限③(lg2)2+lg2·lg5+lg5的值等于1④函数f(x)=|x－1|的单调递增区间是[1，+∞）其中正确的序号是

（写出所有正确的序号）参考答案：②③④

14.已知函数,.若关于的方程在上有两个不同实根，则实数的取值范围________.参考答案：15.已知关于的一元二次不等式的解集为，则关于的不等式的解集为__________________。

参考答案：略16.已知符号函数sgn（x）=，则函数f（x）=sgn（lnx）﹣|lnx|的零点个数为．参考答案：2【考点】根的存在性及根的个数判断．【分析】化简f（x）=sgn（lnx）﹣|lnx|=，从而求出函数的零点即可．【解答】解：由题意，f（x）=sgn（lnx）﹣|lnx|=，显然x=1是函数f（x）的零点，当x＞1时，令1﹣lnx=0得，x=e；则x=e是函数f（x）的零点；当0＜x＜1时，﹣1+lnx＜0，故没有零点；故函数f（x）=sgn（lnx）﹣|lnx|的零点个数为2；故答案为：2．17.如图为某学生10次数学考试成绩的茎叶图，则该学生10次考试的平均成绩为_________．参考答案：87略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本小题满分10分）已知指数函数过点．定义域为的函数是奇函数．(Ⅰ)试确定函数的解析式；(Ⅱ)求实数的值；(Ⅲ)若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围．参考答案：（Ⅰ）由题意设．因为指数函数过点，所以．又因为且，所以，即．

………3分(Ⅱ)因为函数是奇函数，所以恒成立．

………5分∴恒成立．∴恒成立．∴解得或．又因为函数的定义域为，所以．

………7分(Ⅲ)由(Ⅱ)可知，．易知函数在上是减函数，且函数为奇函数．

………8分从而，不等式可化为．因为函数在上是减函数，所以有．“对任意的，不等式恒成立”可转化为“对任意的，不等式恒成立”，也即“对任意的，不等式恒成立”．

由得，．所以实数的取值范围是．

………10分19.已知向量，，且.（1）求及；（2）求函数的最大值，并求使函数取得最大值时x的值参考答案：（1）,;（2）3,【详解】解：（1），∵，∴∴.（2）∵，∴，∴当，即时.20.已知定义在R上的函数f（x）=是奇函数（1）求a，b的值；（2）判断f（x）的单调性，并用单调性定义证明；（3）若对任意的t∈（﹣∞，1]，不等式f（1+2t）+f（k?4t）＜0恒成立，求实数k的取值范围．参考答案：【考点】函数奇偶性的性质；函数单调性的判断与证明；函数恒成立问题．【专题】综合题；转化思想；综合法；函数的性质及应用．【分析】（1）利用奇函数的定义将问题转化为恒成立问题，利用对应系数相等获得解答，（2）先在定义域上取值，再作差、变形，变形彻底后根据式子的特点，讨论判断符号、下结论；（3）对任意的t∈（﹣∞，1]，不等式f（1+2t）+f（k?4t）＞0恒成立，得﹣k?4t＜（1+2t），﹣k＜{+}min，t∈（﹣∞，1]，即可获得解答．【解答】解：（1）∵定义在R上的函数f（x）=是奇函数，∴f（﹣x）==﹣，∴b=1，a=1；（2）f（x）==﹣1+在R上是单调增函数．设0＜x1＜x2，则有f（x1）﹣f（x2）=﹣1++1﹣=∵0＜x1＜x2，∴f（x1）﹣f（x）＜0，即f（x1）＜f（x2）∴函数f（x）=在区间（0，+∞）上是单调递增函数，∵函数是奇函数，∴f（x）=在R上是单调增函数．（3）函数y=f（x）为奇函数且在R上为增函数由对任意的t∈（﹣∞，1]，不等式f（1+2t）+f（k?4t）＞0恒成立，得﹣k?4t＜（1+2t），∴﹣k＜+对一切t∈（﹣∞，1]恒成立∴﹣k＜{+}min，t∈（﹣∞，1]，∴﹣k＜，∴k＞﹣．【点评】本题考查的是函数的奇偶性和单调性问题．在解答的过程当中充分体现了恒成立思想．函数单调性的证明方法：定义法，关键是变形一定彻底，直到能明显的判断出符号为止．21.若函数f（x）=sin2x+2cos2x+m在区间[0，]上的最大值为6，求常数m的值及此函数当x∈R时的最小值，并求相应的x的取值集合．参考答案：【考点】二倍角的余弦；三角函数的最值．【分析】先利用两角和的正弦公式化成标准形式，根据x的范围求函数的最大值，然后让最大值等于6，求出m的值；当x∈R时，根据正弦函数求函数的最小值及取到最小值时的x的值．【解答】解：f（x）=sin2x+2cos2x+m=sin2x+1+cos2x+m=2sin（2x+）+m+1，∵x，∴2x+∈[，]，sin（2x+）≤1，所以函数f（x）的最大值为3+m，∴3+m=6，m=3，∴f（x）=2sin（2x+）+4，当x∈R时，函数f（x）的最小值为2，此时2x+=﹣，即x=﹣+kπ（k∈Z）时取最小值．22.如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC=60°，PA=AB=BC，E是PC的中点．（1）求PB和平面PAD所成的角的大小；（2）证明：AE⊥平面PCD；（3）求二面角A﹣PD﹣C得到正弦值．参考答案：【考点】用空间向量求平面间的夹角；直线与平面垂直的判定；直线与平面所成的角．【分析】（1）由线面垂直得PA⊥PB，又AB⊥AD，从而AB⊥平面PAD，进而∠APB是PB与平面PAD所成的角，由此能求出PB和平面PAD所成的角的大小．（2）由线面垂直得CD⊥PA，由条件CD⊥PC，得CD⊥面PAC，由等腰三角形得AE⊥PC，由此能证明AE⊥平面PCD．（3）过点E作EM⊥PD，AM在平面PCD内的射影是EM，则AM⊥PD，由此得∠AME是二面角A﹣PD﹣C的平面角，由此能求出二面角A﹣PD﹣C得到正弦值．【解答】（1）解：在四棱锥P﹣ABCD中，∵PA⊥底面ABCD，AB?平面ABCD，∴PA⊥AB，又AB⊥AD，PA∩AD=A，∴AB⊥平面PAD，∴∠APB是PB与平面PAD所成的角，在Rt△PAB中，AB=PA，∴∠APB=45°，∴PB和平面PAD所成的角的大小为45°．（2）证明：在四棱锥P﹣ABCD中，∵PA⊥底面ABCD，CD?平面ABCD，∴CD⊥PA，由条件AC⊥CD，PA⊥底面ABCD，利用三垂线定理得CD⊥PC，PA∩AC=A，∴CD⊥面PAC，又AE?面PAC，∴AE⊥CD，由PA=AB=BC，∠ABC=60°