第五章-贝塞尔函数讲解课件

第五章贝塞尔函数第五章15.1贝塞尔方程在利用分离变量法求解其它偏微分方程的定解问题时，会导出其它形式的常微分方程的边值问题，从而得到各种各样的坐标函数---特殊函数。如贝塞尔函数、勒让德多项式等5.1贝塞尔方程在利用分离变量法求解其它偏微分方程2在2.3节分析了圆域内的二维拉谱拉斯方程的定解，温度是稳定分布，与时间没有关系。分离变量在极坐标系中：化简引入常量欧拉方程在2.3节分析了圆域内的二维拉谱拉斯方程的定解，温度35.1.1贝塞尔方程的导出假设半径为R的圆形薄盘，上下面绝热，圆盘边界上的温度始终保持为零度，且初始温度已知，求圆盘内温度的分布规律。由于温度是不是稳定分布，而是瞬时分布，即可表示这5.1.1贝塞尔方程的导出假设半径为R的圆形薄盘，4分离变量化简引入常量Helmholtz方程(5.5)为了求Helmholtz方程(5.5)，可在极坐标中进行求解(5.7)(5.8)解：采用分离变量分离变量化简引入常量Helmholtz方程(55再次分离变量(5.9)(5.10)由于温度函数u(x,y,t)是单值的，所以v(x,y)也是单值，因此应是以2为周期的函数。因此，,方程(5.10)的解为：再次分离变量6将代入(5.9)式得到(5.11)n阶贝塞尔方程令，记F(r)=y(x)，则(5.11)转化为：(5.12)贝塞尔方程由于圆盘上的温度是有限的，如圆心。因此，,结合边界条件，(5.11)式可定义为求解以下定解问题。(5.12)为二阶变系数常微分方程，其解称贝塞尔函数或柱函数将代入(5.9)式得到(5.11)n阶贝7(5.12)贝塞尔方程求解贝塞尔方程(5.12)，假设如下幂级数解：(5.13)将(5.13)代回贝塞尔方程(5.12)，整理得到：(5.12)贝塞尔方程求解贝塞尔方程(5.12)，假设如下幂8故有：由于，可得,需要分别讨论：(5.14)(5.15)(5.16)情形1：n不为整数和半奇数，则s1-s2=2n也不为整数。取s1=n代入(5.15)式得到a1=0,代入(5.16)式得到：(5.17)故有：由于，可得,需要分9(5.18)Jn(x)称为n阶第一类贝塞尔函数将所求的系数代回(5.13)式得到第一个特解引入函数并利用其递推式：，则一般项的系数变为：(5.18)Jn(x)称为n阶第一类贝塞尔函数将所求的系数代10取s2=-n时：(5.19)可以得到方程另一个特解J-n(x)称为-n阶第一类贝塞尔函数取s2=-n时：(5.19)可以得到方程另一个特解J-n(x11Yn(x)称为n阶第二类贝塞尔函数，诺伊曼函数Jn(x)和J-n(x)线性无关，故贝塞尔方程(5.12)的通解可表示为：(5.20)令，则(5.20)可写成(5.21)第二个线性无关特解贝塞尔方程(5.12)的通解可表示为：(5.22)Yn(x)称为n阶第二类贝塞尔函数，诺伊曼函数Jn(x)和12情形2：n为整数，则s1-s2=2n也为整数。与前面相同处理，当n>=0时，方程的一个解为：(5.23)(5.21)情形2：n为整数，则s1-s2=2n也为整数。与前面相同处理13可见，不论n是不明为整数，贝塞尔方程(5.12)的通解都可以表示为：情形3：n为半奇数后面讨论。可见，不论n是不明为整数，贝塞尔方程(5.12)的通14Jn（x）Jn（x）15Yn（x）Yn（x）16Kn（x）Kn（x）17In（x）In（x）18(5.18)5.2贝塞尔函数的递推式由(5.18)式可以得到第一类贝塞尔函数递推式：(5.18)5.2贝塞尔函数的递推式由(5.18)式可以得19第二类贝塞尔函数第二类贝塞尔函数20半奇数阶贝塞尔函数半奇数阶贝塞尔函数21第五章-贝塞尔函数讲解ppt课件225.1.2.虚宗量贝塞耳方程阶虚宗量贝塞耳方程定义：通解：5.1.2.虚宗量贝塞耳方程阶虚宗量贝塞耳方程定义：通解：235.3贝塞尔函数展开为级数由于圆盘上温度的定解问题可表示：贝塞尔方程(5.32)的通解可表示为：(5.32)(5.33)5.3贝塞尔函数展开为级数由于圆盘上温度的定解问题可表示：24(5.34)由于(5.34)式可知：当取不同值时，Jn(x)有零值,即贝塞尔函数的零点。由于为无穷大，由边界条件可以得到D=0，再利用另一个条件可以得到：1.Jn(x)有无穷多个零点,关于原点对称分布。2.Jn(x)的零点和Jn+1(x)的零点是彼此相间分布，且Jn(x)的零点更靠近坐标原点。3.当x趋于无穷大时，Jn(x)两个零点之间的距离接近于π。(5.34)由于(5.34)式可知：当取不同值时，Jn25J0(x)J1(x)J0(x)J1(x)26利用上述关于贝塞尔函数的零点的结论，可设为Jn(x)的正零点，则由（5.34）可得：即与这些固有值相对应的函数F可表示为：利用上述关于贝塞尔函数的零点的结论，可设27二、正交关系贝塞耳方程是施图姆－刘维尔本征值方程：在区间(0,R)上带权r正交：二、正交关系贝塞耳方程是施图姆－刘维尔本征值方程：在区间(028三贝塞耳函数的模定义积分：的平方根，为贝塞尔函数的模：三贝塞耳函数的模定义积分：的平方根，为贝塞尔函数29四傅立叶-贝塞耳级数在求解贝塞耳方程时，往往要把已知函数按贝塞耳函数展开为级数。如果f(r)为定义在区间(0,R)内的分段连续函数，且积分的值有限，则它必可以展开为以下级数形式：(5.42)性质：1.在级数f(r)的连续点(5.42)收敛于f(r);