新人教版高中数学必修第一册3 3幂函数

第3章函数的概念与性质3.3

幂函数人教A版2019高中数学必修第一册幂函数的概念【以下各个函数有什么共同的特征？】【探究】(1)如果卢老师以1元/kg的价格购买了某种蔬菜t千克，那么他需要支付的钱数P=t元，这里P是t的函数；(2)如果正方形的边长为a，那么正方形的面积S=a2，这里S是a的函数；

(3)如果立方体的棱长为b，那么立方体的体积V=b3，这里V是b的函数；(4)如果正方形广场的面积为S，那么广场的边长c=

，这里c是S的函数；(5)如果某人t秒内汽车前进了1km，那么他的平均速度v=

km/s，这里v是t的函数；可以发现，这些函数的表达式都具有幂的形式，而且都是以幂的底数为自变量，幂的指数都是常数.分别是1，2，3，0.5，-1；它们都是形如

的函数.一般地，函数 叫做幂函数，其中 是自变量， 是常数.【1】在函数①②⑤⑥.选项④同理.③

④中，是幂函数的是（

①⑤⑥

）【解】根据幂函数的定义，只有①⑤⑥是幂函数.选项②系数不为1；选项③系数不为1且多了常数项本资料分享自高中数学同步资源千人教师QQ群483122854

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系数为1【2】

底数为自变量【3】

指数为常数只有同时满足这三个条件的，才是幂函数.形如等的函数不是幂函数.判断一个函数是不是幂函数的依据是该函数是否为(为常数)的形式.反过来，若一个函数为幂函数，那么它也一定具有这个形式.在我们解决某些问题的时候这个结论有奇效.，求这个函数的表达式.【1】已知幂函数 的图像经过点【解】由题意设函数的表达式为把点 代入，得：即 ，所以所以这个函数的表达式为和初中解决一次函数一样，利用待定系数法.因为幂函数只有一个系数，所以只需要一个点的坐标就可以求写出幂函数的表达式.时图像的性质.幂函数的图像【说明】对于幂函数，我们只研究在同一坐标系中画出函数的图像：【总结】①只有 时图像才是直线；②图像一定会出现在第一象限，一定不会出现在第四象限；③图像一定经过(1,1)这个定点；④第一象限内 由上到下递减.时图像的性质.幂函数的图像【说明】对于幂函数，我们只研究在同一坐标系中画出函数的图像：【总结】⑤⑥⑦只有时，图像在定义域内上升；时，图像在第一象限下降；时，图像才与坐标轴⑧相交，且交点一定为原点；时，图像是y=1这条直线.幂函数的性质奇函数偶函数奇函数增函数奇函数增函数非奇非偶函数增函数【1】求幂函数的定义域并讨论其奇偶性和单调性.，为由

为【解】因为 ，又两个连续的正整数相乘，其结果必为正偶数，所以为正奇数，所以函数的定义域为R.正奇数，得，所以为增函数.因为是正的奇次方根，所以，所以在定义域内为增函数.幂函数的性质和两种情况下幂函数的图像变化及性质表：在(0，+∞)上都有定义，定义域与a的取值有关图像过点(1，1)

在(0，+∞)上是减函数图像过点(0，0)和点(1，1)在(0，+∞)上是增函数在第一象限，当0＜a＜1时，图像上凸；当a＞1时，图像下凹在第一象限，图像都下凹与a的取值有关【2】利用幂函数的性质，比较下列两个数的大小.(-1.5)3

和(-1.4)3【解】设 ，则

在R上为增函数.∵

-1.5＜-1.4，∴

(-1.5)3＜(-1.4)3比较大小用作差法.由增减性，根据自变量的大小，比较函数值的大小；或者根据函数值的大小，比较自变量的大小.幂函数 奇偶性的判断方法奇函数偶函数奇函数偶函数