湖南省永州市大庙口镇大庙口中学高三数学理上学期期末试题含解析

湖南省永州市大庙口镇大庙口中学高三数学理上学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.对于定义在R上的函数f（x），若存在正常数a、b，使得f（x+a）≤f（x）+b对一切x∈R均成立，则称f（x）是“控制增长函数”，在以下四个函数中：①f（x）=x2+x+1；②f（x）=；③f（x）=sin（x2）；④f（x）=x?sinx．是“控制增长函数”的有（）A．②③ B．③④ C．②③④ D．①②④参考答案：C【考点】3T：函数的值．【分析】假设各函数为“控制增长函数”，根据定义推倒f（x+a）≤f（x）+b恒成立的条件，判断a，b的存在性即可得出答案．【解答】解：对于①，f（x+a）≤f（x）+b可化为：（x+a）2+（x+a）+1≤x2+x+1+b，即2ax≤﹣a2﹣a+b，即x≤对一切x∈R均成立，由函数的定义域为R，故不存在满足条件的正常数a、b，故f（x）=x2+x+1不是“控制增长函数”；对于②，若f（x）=是“控制增长函数”，则f（x+a）≤f（x）+b可化为：≤+b，∴|x+a|≤|x|+b2+2b恒成立，又|x+a|≤|x|+a，∴|x|+a≤|x|+b2+2b，∴≥，显然当a＜b2时式子恒成立，∴f（x）=是“控制增长函数”；对于③，∵﹣1≤f（x）=sin（x2）≤1，∴f（x+a）﹣f（x）≤2，∴当b≥2时，a为任意正数，使f（x+a）≤f（x）+b恒成立，故f（x）=sin（x2）是“控制增长函数”；对于④，若f（x）=xsinx是“控制增长函数”，则（x+a）sin（x+a）≤xsinx+b恒成立，∵（x+a）sin（x+a）≤x+a，∴x+a≤xsinx+b≤x+b，即a≤b，∴f（x）=xsinx是“控制增长函数”．故选C．【点评】本题考查了新定义的理解，函数存在性与恒成立问题研究，属于中档题．2.已知，则sin2x的值为(

)

A. B. C. D.参考答案：A3.已知直线l和平面，且，则“”是“”的（

）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件参考答案：A【分析】由线面垂直的判定定理可得充分性成立；由或可得必要性不成立，从而可得结论.【详解】由线面垂直的判定定理可得，若，则，充分性成立；若，，则或,必要性不成立，所以若，则“”是“”的充分不必要条件，故选A.【点睛】本题通过线面垂直的判断主要考查充分条件与必要条件，属于中档题.判断充分条件与必要条件应注意：首先弄清条件和结论分别是什么，然后直接依据定义、定理、性质尝试.对于带有否定性的命题或比较难判断的命题，除借助集合思想化抽象为直观外，还可利用原命题和逆否命题的等价性判断；对于范围问题也可以转化为包含关系来处理.4.已知函数，(R)，对于任意的，，，下面对的值有如下几个结论，其中正确的（

）A.零

B.负数

C.正数

D.非以上答案参考答案：B略5.当0＜x＜1时，则下列大小关系正确的是

A.x3＜3x＜log3x

B.3x＜x3＜log3x

C.log3x＜x3＜3x

D.log3x＜3x＜x3参考答案：C6.若将函数的图象向左平移个单位长度，则平移后图象的对称轴方程为（

）A．

B．

C.

D．参考答案：A7.如图，三棱柱ABC-A1B1C1的侧面A1ABB1⊥BC，且A1C与底面成45°角，AB=BC=2，则该棱柱体积的最小值为

A．

B．

C．4

D．3参考答案：C8.已知>0，，直线=和=是函数图象的两条相邻的对称轴，则=(

)

A.

B.

C.

D.参考答案：A9.某程序框图如下，当E0.96时，则输出的（▲）A.20

B.22C.24

D.25

参考答案：C略10.若，且，则的最小值等于A．2

B．3

C．5

D．9参考答案：B二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.正三角形ABC的边长为2，将它沿高AD翻折，使点B与点C间的距离为，此时四面体ABCD外接球表面积为．参考答案：5π【考点】LG：球的体积和表面积．【分析】三棱锥B﹣ACD的三条侧棱BD⊥AD、DC⊥DA，底面是等腰直角三角形，它的外接球就是它扩展为三棱柱的外接球，求出正三棱柱的底面中心连线的中点到顶点的距离，就是球的半径，然后求球的表面积．【解答】解：根据题意可知三棱锥B﹣ACD的三条侧棱BD⊥AD、DC⊥DA，底面是等腰直角三角形，它的外接球就是它扩展为三棱柱的外接球，求出三棱柱的底面中心连线的中点到顶点的距离，就是球的半径，三棱柱ABC﹣A1B1C1的中，底面边长为1，1，，由题意可得：三棱柱上下底面中点连线的中点，到三棱柱顶点的距离相等，说明中心就是外接球的球心，∴三棱柱ABC﹣A1B1C1的外接球的球心为O，外接球的半径为r，球心到底面的距离为1，底面中心到底面三角形的顶点的距离为：，∴球的半径为r==．外接球的表面积为：4πr2=5π．故答案为：5π．12.计算的结果是

参考答案：13.在复平面内，复数与对应的点关于虚轴对称，且，则____．参考答案：-2【知识点】复数乘除和乘方【试题解析】由题知：

所以

故答案为：-214.函数f(x)=sin22x的最小正周期是__________．参考答案：.【分析】将所给的函数利用降幂公式进行恒等变形，然后求解其最小正周期即可.【详解】函数,周期为

15.下列说法：

①“”的否定是“”；

②函数的最小正周期是

③命题“函数处有极值，则”的否命题是真命题；

④上的奇函数，时的解析式是，则时的解析式为其中正确的说法是

。

参考答案：16.已知函数的定义域R，直线和是曲线的对称轴，且，则

．参考答案：2直线和是曲线的对称轴，∴，，∴，∴的周期．∴．17.在△ABC中，点D在边BC上，且DC＝2BD，AB∶AD∶AC＝3∶k∶1，则实数k的取值范围为

．参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知曲线C1的参数方程是（为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程是．（1）求曲线C1与C2交点的极坐标；（2）A、B两点分别在曲线C1与C2上，当最大时，求的面积（O为坐标原点）参考答案：（1）和；（2）.【分析】（1）将曲线的参数方程消去参数得的直角坐标方程，利用极坐标与直角坐标关系将的极坐标方程化为直角坐标方程，把两曲线的直角坐标方程列方程组求交点坐标.（2）利用圆的性质，当A,B在两圆圆心连线上且相距最远时最大。由及O到的距离计算三角形OAB面积.【详解】（1）由得两式平方作和得：，即．①由，即②②-①：，代入曲线的方程得交点为和.（2）由平面几何知识可知，当、、、依次排列且共线时最大，此时，到直线的距离为所以，的面积为：.【点睛】本题考查参数方程与普通方程、极坐标方程与普通方程的互化，利用几何性质确定AB何时最大是关键，属于中档题.19.(本小题满分13分)已知函数．

(I)讨论函数的单调性；(Ⅱ)设a=2，对于任意的x∈[1，2]，函数在区间(2，3)上不是单调函数，求实数m的取值范围．参考答案：20.几何证明选讲如图，MN为两圆的公共弦，一条直线与两圆及公共弦依次交于A，B，C，D，E，求证：AB·CD=BC·DE．参考答案：略21.已知函数f（x）=|x﹣2|﹣|2x﹣a|，a∈R．（1）当a=3时，解不等式f（x）＞0；（2）当x∈（﹣∞，2）时，f（x）＜0恒成立，求a的取值范围．参考答案：考点：绝对值不等式的解法．专题：综合题；函数的性质及应用．分析：（1）依题意知，a=3时，f（x）=，通过对x范围的分类讨论，解不等式f（x）＞0即可；（2）利用等价转化的思想，通过分离参数a，可知当x∈（﹣∞，2）时，a＜3x﹣2或a＞x+2恒成立，从而可求得a的取值范围．解答： 解：（1）f（x）=，…当x＞2时，1﹣x＞0，即x＜1，解得x∈?；当≤x≤2时，5﹣3x＞0，即x＜，解得≤x＜；当x＜时，x﹣1＞0，即x＞1，解得1＜x＜；综上所述，不等式的解集为{x|1＜x＜}．…（2）当x∈（﹣∞，2）时，f（x）＜0恒成立?2﹣x﹣|2x﹣a|＜0?2﹣x＜|2x﹣a|恒成立?2﹣x＜2x﹣a或2x﹣a＜x﹣2恒成立?x＞或x＜a﹣2恒成立，∴当x∈（﹣∞，2）时，a＜3x﹣2①或a＞x+2②恒成立，解①，a不存在；解②得：a≥4．综上知，a≥4．…点评：本题考查绝对值不等式的解法，着重考查分类讨论思想与等价转化思想、函数与方程思想的综合运用，考查运算求解能力，属于难题．22.（12分）如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1的所有棱长都是2，又AA1平面ABC，D、E分别是AC、CC1的中点．（1）求证：AE⊥平面A1BD；（2）求二面角D﹣BA1﹣A的余弦值；（3）求点B1到平面A1BD的距离．参考答案：【考点】：用空间向量求平面间的夹角；直线与平面垂直的判定；点、线、面间的距离计算．【专题】：空间位置关系与距离；空间角．【分析】：（1）以DA所在直线为x轴，过D作AC的垂线为y轴，DB所在直线为z轴建立空间直角坐标系，确定向量坐标，利用数量积为0，即可证得结论；（2）确定面DA1B的法向量、面AA1B的法向量，利用向量的夹角公式，即可求得二面角D﹣BA1﹣A的余弦值；（3）=（0，2，0），平面A1BD的法向量取=（2，1，0），利用距离公式可求点B1到平面A1BD的距离（1）证明：以DA所在直线为x轴，过D作AC的垂线为y轴，DB所在直线为z轴建立空间直角坐标系，则A（1，0，0），C（﹣1，0，0），E（﹣1，﹣1，0），A1（1，﹣2，0），C1（﹣1，﹣2，0），B（0，0，）∴=（﹣2，﹣1，0），=（﹣1，2，0），=（0，0，﹣）∴∴又A1D与BD相交∴AE⊥面A1BD