两个基本计数原理(上课用)课件

两个基本计数原理两个基本计数原理

世界杯足球赛共有32个队参赛．它们先分成8个小组进行循环赛，决出16强，这16个队按确定的程序进行淘汰赛后，最后决出冠亚军，此外还决出了第三、第四名．问一共安排了多少场比赛？实际问题

要回答这个问题，就要用到排列、组合的知识．在运用排列、组合方法时，经常要用到分类计数原理与分步计数原理．世界杯足球赛共有32个队参赛．它们先分成8个小组进行问题1：从甲地到乙地，有3条公路，2条铁路，某人要从甲地到乙地，共有多少种不同的走法？问题2：从甲地到乙地，有3条道路，从乙地到丙地有2条道路，那么从甲地经乙地到丙地共有多少种不同的走法

？你能说出这两个问题有什么区别吗?问题1：从甲地到乙地，有3条公路，2条铁路，某人要从甲地到乙问题1：从甲地到乙地，有3条公路，2条铁路，某人要从甲地到乙地，共有多少种不同的走法？

因为每一种走法都能完成从甲地到乙地这件事，有3条公路，2条铁路，所以共有：

3＋2＝5（种）甲地乙地公路1公路2公路3铁路1铁路2问题1：从甲地到乙地，有3条公路，2条铁路，某人要从甲地到乙

完成一件事，有n类办法.在第1类办法中有m1种不同的方法，在第2类方法中有m2种不同的方法，……，在第n类方法中有mn种不同的方法，则完成这件事共有:一、分类加法计数原理2）首先要根据具体的问题确定一个分类标准，在分类标准下进行分类，然后对每类方法计数.1）各类办法之间相互独立,都能独立的完成这件事，要计算方法种数,只需将各类方法数相加。说明N=m1+m2+…+mn

种不同的方法一、分类加法计数原理2）首先要根据具体的问题确问题2：从甲地到乙地，有3条道路，从乙地到丙地有2条道路，那么从甲地经乙地到丙地共有多少种不同的走法

？

这个问题与前一个问题不同．在这个问题中，必须经过先从甲地到乙地、再从乙地到丙地两个步骤，才能从甲地到丙地．

因为从甲地到乙地有3种走法，从乙地到丙地有2种走法，所以从甲地到丙地，共有不同的走法：

3×2＝6（种）．甲地乙地丙地问题2：从甲地到乙地，有3条道路，从乙地到丙地有2条道路，那二、分步乘法计数原理

完成一件事，需要分成n个步骤。做第1步有m1种不同的方法，做第2步有m2种不同的方法，……，做第n步有mn种不同的方法，则完成这件事共有

2）首先要根据具体问题的特点确定一个分步的标准，然后对每步方法计数.1）各个步骤相互依存,只有各个步骤都完成了,这件事才算完成,将各个步骤的方法数相乘得到完成这件事的方法总数说明N=m1×m2×…×mn种不同的方法二、分步乘法计数原理完成一件事，需要分成n个步例1.

书架第1层放有4本不同的计算机书,第2层放有3本不同的文艺书,第3层放有2本不同的体育书.(1)从书架中取1本书,有多少种不同取法?有3类方法,根据分类加法计数原理N=4+3+2=9(2)从书架第1,2,3层各取1本书,有多少种不同取法?分3步完成,根据分步乘法计数原理N=4×3×2=24解题关键：从总体上看做这件事情是“分类完成”,还是“分步完成”.再根据其对应的计数原理计算.例1.书架第1层放有4本不同的计算机书,第2层放练习

要从甲、乙、丙3幅不同的画中选出2幅,分别挂在左、右两边墙上的指定位置,问共有多少种不同的挂法?分两步完成左边右边甲乙丙乙丙甲丙甲乙32第一步第二步×练习要从甲、乙、丙3幅不同的画中选出2幅,分两个基本计数原理(上课用)ppt课件AB该电路从A到B共有多少条不同的线路可通电？AB该电路从A到B共有多少条不同的线路可通电？分类完成分步完成分类完成分步完成解:

从总体上看由A到B的通电线路可分二类,

第一类,m1=4条第二类,m3=2×2=4,条所以,根据加法原理,从A到B共有

N=4+4=8条不同的线路可通电.解:从总体上看由A到B的通电线路可分二类,……ABm1m2mn…...ABm1m2mn点评:乘法原理看成“串联电路”加法原理看成“并联电路”;……ABm1m2mn…...ABm1m2mn点评:乘法原理看

如图,从甲地到乙地有2条路可通,从乙地到丙地有3条路可通;从甲地到丁地有4条路可通,从丁地到丙地有2条路可通。从甲地到丙地共有多少种不同的走法？练习如图,从甲地到乙地有2条路可通,从乙地到解:从总体上看,由甲到丙有两类不同的走法,

第一类,由甲经乙去丙,又需分两步,所以

m1=2×3=6

种不同的走法;

第二类,由甲经丁去丙,也需分两步,所以

m2=4×2=8

种不同的走法;

所以从甲地到丙地共有N=6+8=14

种不同的走法。解:从总体上看,由甲到丙有两类不同的走法,两个计数原理

用来计算“完成一件事”的方法种数每类方案中的每一种方法都能______完成这件事每步_________才算完成这件事情（每步中的每一种方法不能独立完成这件事）类类相加步步相乘类类独立步步相依独立依次完成不重不漏步骤完整分类完成分步完成两个计数原理用来计算“完成一件事”的方法种数每类方案中的每例3我们把一元硬币有国徽的一面叫做正面，有币值的一面叫做反面.现依次抛出5枚一元硬币，按照抛出的顺序得到一个由5个“正”或“反”组成的序列，如“正、反、反、反、正”.问：一共可以得到多少个这样的序列？思考：一次扔出5个相同的一元硬币.问：一共可以得到多少个这样的序列？例3我们把一元硬币有国徽的一面叫做正面，有币值的一面叫做例1用0,1,2,3,4,5这六个数字,(1)可以组成多少个各位数字不允许重复的三位的奇数?(2)可以组成多少个各位数字不允许重复的三位的偶数?(3)可以组成多少个各位数字不重复的小于1000的自然数?一、排数字问题特殊位置特殊元素优先考虑例1用0,1,2,3,4,5这六个数字,一、排数字问题特

一个三位密码锁,各位上数字由0,1,2,3,4,5,

6,7,8,9十个数字组成,可以设置多少种三位数的密码(各位上的数字允许重复)?首位数字不为0的密码数是多少?首位数字是0的密码数又是多少?

分析:

按密码位数,从左到右

依次设置第一位、第二位、第三

位,需分为三步完成;

第一步,m1=10;

第二步,m2=10;

第三步,m3=10.

根据乘法原理,共可以设置

N=10×10×10=103

种三位数的密码。练习首位数字不为0的密码数?首位数字是0的密码数?一个三位密码锁,各位上数字由0,1,2,

一个三位密码锁,各位上数字由0,1,2,3,4,5,

6,7,8,9十个数字组成,可以设置多少种三位数的密码(各位上的数字允许重复)?首位数字不为0的密码数是多少?首位数字是0的密码数又是多少?

分析:

按密码位数,从左到右

依次设置第一位、第二位、第三

位,需分为三步完成;

第一步,m1=10;

第二步,m2=10;

第三步,m3=10.

根据乘法原理,共可以设置

N=10×10×10=103

种三位数的密码。练习变式训练：各位上的数字不允许重复又怎样?一个三位密码锁,各位上数字由0,1,2,

答:首位数字不为0的密码数是

N=9×10×10=9×102

种,

首位数字是0的密码数是

N=1×10×10=102

种。

由此可以看出,

首位数字不为0的密码数与首位数字是0的密码数之和等于密码总数。问:若设置四位、五位、六位、…、十位等密码,密码数分别有多少种？答:它们的密码种数依次是104,105,106,……种。答:首位数字不为0的密码数是

二、映射个数问题:例2设A={a,b,c,d,e,f},B={x,y,z},从A到B共有多少种不同的映射?二、映射个数问题:例2设A={a,b,c,d,e,f},B

例3如图,要给地图A、B、C、D四个区域分别涂上3种不同颜色中的某一种,允许同一种颜色使用多次,但相邻区域必须涂不同的颜色,不同的涂色方案有多少种？三、染色问题:三、染色问题:解:

按地图A、B、C、D四个区域依次分四步完成,

第一步,m1=3种,

第二步,m2=2种,

第三步,m3=1种,

第四步,m4=1种,所以根据乘法原理,得到不同的涂色方案种数共有N=3×2×1×1=6种。解:按地图A、B、C、D四个区域依次分四步完成,1、如图,要给地图A、B、C、D四个区域分别涂颜色,允许同一种颜色使用多次,但相邻区域必须涂不同的颜色,不同的涂色方案有多少种？

若用2色、4色、5色等,结果又怎样呢？

答:它们的涂色方案种数分别是0、4×3×2×2=48、5×4×3×3=180种等。思考：若用2色、4色、5色等,结果又怎样呢？答:它们的涂色方案2.如图,用5种不同颜色给图中的A、B、C、D四个区域涂色,规定一个区域只涂一种颜色,相邻区域必须涂不同的颜色,不同的涂色方案有

种。ABCD分析：如图，A、B、C三个区域两两相邻，A与D不相邻，因此A、B、C三个区域的颜色两两不同，A、D两个区域可以同色，也可以不同色，但D与B、C不同色。由此可见我们需根据A与D同色与不同色分成两大类。解：先分成两类：第一类，D与A不同色，可分成四步完成。第一步涂A有5种方法，第二步涂B有4种方法；第三步涂C有3种方法；第四步涂D有2种方法。根据分步计数原理，共有5×4×3×2＝120种方法。根据分类计数原理，共有120+60＝180种方法。第二类，A、D同色，分三步完成，第一步涂A和D有5种方法，第二步涂B有4种方法；第三步涂C有3种方法。根据分步计数原理，共有5×4×3＝60种方法。2.如图,用5种不同颜色给图中的A、B、C、D四个区域涂色,四、综合问题:

例4若直线方程ax+by=0中的a,b可以从0,1,2,3,4这五个数字中任取两个不同的数字,则方程所表示的不同的直线共有多少条?四、综合问题:例4若直线方程ax+by=0中的a

1．一件工作可以用两种方法完成。有5人会用第一种方法完成，另有4人会用第二种方法完成。选出一个人来完成这件工作，共有多少种选法？2．乘积(a1+a2+a3)(b1+b2+b3+b4)(c1+c2+c3+c4+ｃ5)展开后共有项？

4+5=9３×４×５＝６０3、把四封不同的信任意投入三个信箱中,不同投法种数是()A.12B.64C.81D.74、火车上有10名乘客，沿途有5个车站，乘客下车的可能方式有（）种A.510B.105C.50D.以上都不对CA

练习巩固1．一件工作可以用两种方法完成。有5人会用第一种方法完例5、75600有多少个正约数?有多少个奇约数?解:由于75600=24×33×52×775600的每个约数都可以写成的形式,其中,

,

,

于是,要确定75600的一个约数,可分四步完成,即i,j,k,l分别在各自的范围内任取一个值,这样i有5种取法,j有4种取法,k有3种取法,l有2种取法,根据分步计数原理得约数的个数为5×4×3×2=120个.例5、75600有多少个正约数?有多少个奇约数?解:由于7练习

：如下图，一只小甲虫要从A点出发沿着线段爬到B点，要求任何点和线段不可重复经过，问这只甲虫有多少种不同的走法？

练习：如下图，一只小甲虫要从A点出发沿着线段爬到B点，要求【解析】：把小甲虫要从A点出发沿着线段爬到B点的走法分为两大类：第一类：分两步，最先到达C点，再到B点。

共有走法:1×3=3(种)。第