2023数学高考中的填空题的解题策略

2023高考数学填空题的解题策略

1.直接法：

直接从题设条件出发，利用定义、性质、定理、公式等，经过变形、计算得出结论.这

是解填空题最常见的，也是最重要的方法，绝大多数的填空题使用该法求解.

（2x-；）9

例1、《的展开式中，常数项为.

解：设常数项为第r+1项，那么j=a（2x）i（-iy（x。、/丁㈠）'/孔令

5r=0,得r=6.所以常数项为。•2。（-1）,即672.答案：672

例2、假设函数y=，+（a+2k+3,xe|a⑹的图象关于直线”1对称，那么

a+2a^b.

x=-----/----=1,

解：由抛物线的对称轴为2,得4=-4,而2,有方=6.答案：6

小）=竺里

例3、函数-X+2在区间（一二田）上为增函数，那么实数a的取值范围是.

..、ax+1\-2a.、1-2a

/（x）=----=。+------g（x）=-----/

解：x+2X+2,由复合函数的增减性可知，X+2在（一2>*0）

2

上为增函数，...1-为<0,.•一,5.答案：4>2

2.特殊化法

当填空题的结论唯一或题设条件中提供的信息暗示答案是一个定值时，可以把题中

变化的不定量用特殊值代替，即可以得到正确结果.

例4、在aABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c.假设a、b、c成等差数列，那

cosJ4+COSC

么］+cos/cosC

cosd=1,cosC=0

解：特殊化:令a=3,b=4,c=5,那么AABC为直角三角形,

33

从而所求值为5.答案：5

例5、Z^ABC的外接圆的圆心为0,两条边上的高的交点为H,OH=m(0A+0B+0C)

那么实数m的值是.

解：由于此题对任意三角形结论成立，故可取特殊的等腰直角三角形ABC求解，

设/BAC=90°,AB=AC,那么H与A重合，0是BC边的中点，此时08+0(7-5,

m=1.

注意：此题中的AABC不能取成等边三角形，否那么有5+越+历・3,此时m取

任意实数，值不唯一.

例6、过抛物线>二0/似>0)的焦点F作一直线交抛物线于p、Q两点，假设线段PF、

1,1

-+—二

FQ的长分别为p、q,那么P9。

分析：此抛物线开口向上，过焦点且斜率为k的直线与抛物线均有两个交点P、Q,当k

变化时PF、FQ的长均变化，但从题设可以得到这样的信息：尽管PF、FQ不定，但其倒

数和应为定值，所以可以针对直线的某一特定位置进行求解，而不失一般性。

〃】、1

(0—)y=

解：设k=0,因抛物线焦点坐标为‘4。”把直线方程’4a代入抛物线方程得

1111〃

x=±—|PFH^CI=——+—=4。

2a,：.勿，从而P9.答案：4a

3.数形结合法

对于一些含有几何背景的填空题，假设能数中思形，以形助数，那么往往可以简捷

地解决问题，得出正确的结果.

例7、如果不等式也的解集为A,且4[{x|0<x<2),那么实数a

的取值范围是.

解：根据不等式解集的几何意义，作函数嘲=J4x-X和函数》=S一】)x的图象(如

图)，从图上容易得出实数a的取值范围是ae[2.*o).

y

例8、实数x、y满足=3,那么；二工的最大值是.

y

解：口可看作是过点P(x,y)与M(1,0)的直线的斜率，其中点P的圆5-笏'+y’=3

上R

上，当直线处于切线位置时，斜率X-1最大，最大值为tan6=J3.

例9、设P是曲线y2=4(x-1)上的一个动点，那么点P到点B(0,1)的距离与点P

到y轴的距离之和的最小值是.

解：设y，=4x,那么焦点为(1,0),准线方程为x=-l,将抛物线V=4x向右平移1个单

位，其图象的方程为歹=4(x-1),焦点为F(2,0),准线方程为x=0(即y轴)，点P

到y轴的距离PG就等于点P到焦点F的距离,所以|PB|+|PG|=|PB|+|PF|.由于P点

在抛物线上，所以，当点B、P、F共线时，|PB|+|PF|的值最小，这个值是J2'+「・君.

4.等价转化法

通过“化复杂为简单、化陌生为熟悉"，将问题等价地转化成便于解决的问题，从

而得出正确的结果.

例10、不管k为何实数，直线＞=痴+1与曲线x'+y一241+&2-%-4=°恒有交

点，那么实数a的取值范围是.

解：题设条件等价于点(0,1)在圆内或圆上，或等价于点(0,1)到圆心的距离小

于或等于半径，.••一lWa£3.

例11.数丁=V4x-1+2单调递减区间为。

解：易知“€牛刃，＞°「y与有相同的单调区间，而/=1l+W-4xJ+13x-3,

[—3]

.•.可得结果为8.

5.构造模型法

有的填空题可根据题意构造一些几何模型快速求解，这种方法常称为构造法.

例12在球面上有4个点P、A、B、C,如果PA、PB、PC两两互相垂直，且PA=a、PB=2a、

PC=3a,那么这个球面的面积是.

解：由PA、PB、PC两两垂直可构造球的内接长方体，使其同一顶点处的三条棱长依

次为a、2a、3a,那么这个长方体的对角线恰好是球的直径，所以有：

(2R)2=a2+(2a)2+(3a)2=14a2,所以有4nR=14n即球面面积为14na4

例13.知四面体的各面棱长分别为4,5,6,那么此四面体的体积为.

解：以四面体的各棱为侧面对角线，把原四面体补成一个长宽高分别为a、b、c的长

方体，那么原四面体的体积V等于长方体的体积减去四个相等的三棱锥的体积.

即V-abc-4-1-1abca1abc

323而由炉+d=16,a2+c2=25,a2+b-36,

竺后Labe诬

得abc=4,.,.V=34.

2023高考数学选择题的解题策略

1、直接法：

直接从题设条件出发，运用有关概念、性质、定理、法那么和公式等知识，通过严密的

推理和准确的运算，从而得出正确的结论，然后对照题目所给出的选择支“对号入座”作出

相应的选择.涉及概念、性质的辨析或运算较简单的题目常用直接法.

例1.假设sin2x>cos2x,那么x的取值范围是（）

,、inn,、7T、兀

(A){x\2k7r--<x<2kJi+—,keZ}⑻{x\2k+—<x<2k7t+一，keZ}

4444

,、兀,n,、,7i,57t

(C){x\k7T——<x<k7T+—,k&Z}(£»{x\k7r+—<x<k7r+—,k&Z}

4444

解：（直接法）由sinOAcos%得cos1-sin^xVO,

兀3万

即cos2x<0,所以：---\-kK<2x<------\-kn,选£）.

22

例2.七人并排站成一行，如果甲、乙两人必需不相邻，那么不同的排法的种数是（

（A）1440（8）3600（C）4320（。）4800

解一：（用排除法）七人并排站成一行，总的排法有A；种，其中甲、乙两人相邻的排法有

2义醴种.因此，甲、乙两人必需不相邻的排法种数有：A；—2X婕=3600,对照后应选B；

解二：〔用插空法）父X4=3600.

2、特例法：

用特殊值（特殊图形、特殊位置）代替题设普遍条件，得出特殊结论，对各个选项进行检

验，从而作出正确的判断.常用的特例有特殊数值、特殊数列、特殊函数、特殊图形、特殊

角、特殊位置等.

例3.长方形的四个项点A（0,0）,B（2,0）,C（2,1）和。（0,1）,一质点从AB的

中点々沿与AB夹角为。的方向射到BC上的点Pi后，依次反射到CD、DA和AB上的点

尸2、凸和匕（入射解等于反射角），设孔坐标为（/，0），若1<*4<2,贝亚211。的取值范围

是（）

1122122

解：考虑由凡射到8c的中点上，这样依次反射最终回到Po,止匕时容易求出tan6=L由

2

题设条件知，1<榻<2,那么tanOwl,排除A、B、D,应选C.

2

例4.如果〃是正偶数，那么C：+C；+…+C；-2+c：=（）

⑷2"⑻2(C)2(D)(n-l)2

解：(特值法)当〃=2时，代入得C；+C；=2,排除答案A、C：当"=4时，代入得

C：+C：+C：=8,排除答案。.所以选员

3、筛选法：

从题设条件出发，运用定理、性质、公式推演，根据“四选一”的指令，逐步剔除干扰

项，从而得出正确的判断.

例5.)，=/映〃(2—融)在［0,1］上是元的减函数，那么a的取值范围是()

(A)(0,1)⑻(1,2)(C)(0,2)(D)12,+8)

解：：2—ar是在［0,1］上是减函数，所以排除答案A、C；假设a=2,由2—方>0

得x<l,这与x£［0,1］不符合，排除答案D所以选B.

例6.过抛物线/=4x的焦点，作直线与此抛物线相交于两点P和。，那么线段PQ中点

的轨迹方程是()

1A)y2=2x—1(B)y2^2x~2

(C)y2=-2x+l(D))，2=—2X+2

解：(筛选法)由可知轨迹曲线的顶点为(1,0),开口向右，由此排除答案A、C、D,所以

选&

4、代入法：

将各个选择项逐一代入题设进行检验，从而获得正确的判断.即将各选择支分别作为条

件，去验证命题，能使命题成立的选择支就是应选的答案.

兀

例7.函数尸sin(1一2x)+sin2x的最小正周期是()

TC

(A)—(8)7t(C)244乃

2

兀兀兀冗

解：(代入法)人工+5)=sin一2(x+—)]+sin[2(x+~)]=—而

71

.”+n)=sin[1—2(x+五)]+sin[2O+兀)]=%).所以应选&

V3171

另解：(直接法)y=~^-cos2x—Ksin2x+sin2x=sin(2r+1),T=n,选B

57r

例8.函数y=sin(2x+y)的图象的一条对称轴的方程是()

/、冗/、TC..TC..

（A）x=——⑻x=——（C）x=—（£））x=——

2484

TTTT

解：（代入法）把选择支逐次代入，当*=一一时，y=-1,可见x=——是对称轴，又因

22

为统一前提规定“只有一项为哪一项符合要求的"，应选A

S775777T

另解：（直接法）•.•函数y=sin（2x+—）的图象的对称轴方程为2x+3=E+2，

222

k冗jr

即x=——一兀，当上=1时，x=——,选A.

22

5、图解法:

据题设条件作出所研究问题的曲线或有关图形,借助几何图形的直观性作出正确的判断.

习惯上也叫数形结合法.

例9.在（0,2））内，使sinx>cosx成立的x的取值范围是（）

，、,兀兀1।5兀..7T

（A）（丁，7T）U（1,一^）（8）（z7，万）

4244

.、,冗5万、,、,兀，5万3乃、

©㈤）U（—,—）

44442

解：（图解法）在同一直角坐标系中分别作出y=sinx与y=cosx的图象，便可观察选C.

47t

另解：（直接法）由sinx>COSX得sin（无一一）>0,即2E<x——<2E+TT,

44

取k=0所以选C.

例10.在圆/+>2=4上与直线41+3丫-12=0距离最小的点的坐标是（）

686

(A)1⑻(-,—T)

86,、86

©（一寸『(O)(―-,—y)

解：1图解法）在同一直角坐标系中作出圆/+/=4和直线4x+3y-12=0后，由图可知

距离最小的点在第一象限内，所以选A

X

例11.设函数/*）=23~-1r<0，假设那么X。的取值范围是（）

x2x>0

(A)[-1,1)⑻(-1,+oo)

(C)(—8,•—2)VJ(0,+oo)(D)(—co,—1)O(1,+co)

解：（图解法）在同一直角坐标系中，作出函数

y=/（x）的图象和直线y=l,它们相交于（一1,1）

和（1.1）两点，由/（玉））>1,得玉）<一1或%>1.

6,割补法

“能割善补〃是解决几何问题常用的方法，巧妙地利用割补法，可以将不规那么的图形

转化为规那么的图形，这样可以使问题得到简化,从而缩短解题长度.

例12.一个四面体的所有棱长都为行，

四个项点在同一球面上，那么此球的外表积为()

(A〕3n(B)47r(C)30>兀(£»67r

解：如图，将正四面体ABC。补形成正方体，那么正四面体、正方体

心与其外接球的球心共一点.因为正四面体棱长为血，所以正方体棱长为1,

V3

从而外接球半径R=巨.故S现=37.

2

7、极限法：

从有限到无限，从近似到精确，从量变到质变.应用极限思想解决某些问题，可以避开抽

象、复杂的运算，降低解题难度，优化解题过程.

JT

例13.对任意。w(0,—)都有()

2

(A)sin(sin0)<cos。<cos(cos6)(3)sin(sin。)>cos0>cos(cos0)

(C)sin(cos。)<cos(sin。)Vcos。(D)sin(cos。)<cos。<cos(sin。)

解：当9—>0时，sin(sin0)—>0,cos。—>1,cos(coscos1,故排除A,B.

TT

当0—>万时，cos(sin0)—>cosl,cos0—>0,故排除C,因此选D

x>0

例14.不等式组<3—x|2—N的解集是()

3+x|2+x|

⑷[0,2)⑻(0,2.5)(C)(0,V6)(D)(0,3)

解：不等式的“极限”即方程，那么只需验证产2,2.5,6和3哪个为方程==—=

3+x2+x

的根，逐一代入，选C.

例15.在正〃棱锥中，相邻两侧面所成的二面角的取值范围是()

(A)(-~-Jt,n)(B)(-~-n,it)

nn

,、，乃、2n-1

(C)(0,—)3)(-------n,——Jt)

2nn