工业机器人技术(运动学)课件

第3章工业机器人运动学和动力学第3章工业机器人运动学和动力学第三章工业机器人运动学和动力学3.1工业机器人的运动学3.2工业机器人的动力学3.3工业机器人的运动轨迹规划第三章工业机器人运动学和动力学3.1工业机器人的运动学3.1工业机器人的运动学正向运动学：所有关节变量已知，可用正向运动学来确定机器人末端手部的位姿。逆向运动学：对于给定的机器人手部的位姿，可用逆向运动学来计算每一个关节变量的值。3.1.1工业机器人位姿描述1.点的位置描述如图3.1，空间任一点P的位置在直角坐标系｛A｝中可用（3ⅹ1）的位置矢量Ap表示为:其中Px、Py、Pz

是点P的三个位置坐标分量。3.1工业机器人的运动学3.1.1工业机器人位姿描述其中Px2.点的齐次坐标上述坐标用（4ⅹ1）列阵表示，称为三维空间点P的齐次坐标，形如齐次坐标并不唯一，列阵每一项分别乘以一个非零因子ω时都表示P点。2.点的齐次坐标齐次坐标并不唯一，列阵每一项分别乘以一个非零3、坐标轴方向的描述直角坐标系中，可用、、用齐次坐标来描述x、y、z轴的方向：

规定：以列阵，且a2+b2+c2=1表示某矢量的方向。中第四个元素不为零，如列阵表示x,y,z轴的单位向量则表示空间某点的位置。3、坐标轴方向的描述用齐次坐标来描述x、y、z轴的方向：如图3.2中矢量的方向可表示为其中a=cosα，b=cosβ，c=cosγv点坐标为：如图3.2中矢量的方向可表示为其中a=cosα，b=cos4、动坐标系位姿的描述用位姿矩阵对动坐标系原点位置和坐标系各轴方向进行描述，如原始的直角坐标系可描述为

如描述一个任意坐标系R，则用其三个坐标轴xR、yR、zR在原始坐标系中表示的矢量齐次列阵，和列阵[0001]T组成。4、动坐标系位姿的描述如描述一个任意坐标系R，则用其三个坐5、刚体位姿的描述机器人每一个连杆都可看做一个刚体。给定刚体上某一点的位置和该刚体在空中的姿态，则刚体在空间上的位姿是唯一确定的，可用唯一一个位姿矩阵进行描述。如图3.3刚体o’x’y’z’是固连于刚体的一个坐标系，称为动坐标系。刚体Q在固定坐标系OXYZ中的位置的齐次坐标形式为：5、刚体位姿的描述如图3.3刚体o’x’y’z’是固连于刚体刚体的位姿表示为齐次矩阵：分别为x’,y’,z’坐标轴的单位向量：刚体的位姿表示为齐次矩阵：分别为x’,y’,z’坐标轴的单位6、手部位姿的描述如图3.4机器人手的位姿可用固连于手的坐标系{B}的位姿表示(3)姿态矢量：手指连线方向的矢量（4）法相矢量：(1)原点：手部中心点为原点OB(2)接近矢量：关节轴方向的单位向量即法向矢量同时垂直于接近矢量和姿态矢量。{B}：6、手部位姿的描述(3)姿态矢量：手指连线方向的矢量（4）手部位置矢量为从固定参考坐标系OXYZ原点指向手部坐标系{B}原点的矢量P，手部的位姿矩阵为：手部位置矢量为从固定参考坐标系OXYZ原点指向手部坐标系{B任何一种物体在空间的位置和姿态都可以用齐次矩阵来表示。图3.5楔块Q在图a的情况可用6个点来描述：使Q①绕z轴旋转90°：Rot（z，90°）②再绕y轴旋转90°：Rot（y，90°）③再沿x轴方向平移4：Trans（4，0，0）楔块变为图（b）状态。7.目标物位姿的描述任何一种物体在空间的位置和姿态都可以用齐次矩阵来表示。使Q刚体的平移、旋转运动均可由齐次变换矩阵表示，刚体变换后的位姿可由其原始描述矩阵乘以齐次变换矩阵得到。平移的齐次变换如图3.6，A点（x，y，z）平移至A’（x’，y’，z’）即即：记为其中称为平移算子。注：①算子左乘，表示点的平移是相对固定坐标系进行坐标变换。②算子右乘，表示点的平移是相对动坐标系进行的坐标变换。3.1.2齐次变换及运算刚体的平移、旋转运动均可由齐次变换矩阵表示，刚体变换后的位姿2.旋转的齐次变换如图3.7，A点绕z轴旋转角后移至A’，即推导：设A点在xoy平面上投影的长度为r，与x轴夹角为α则

即z坐标未变，故z’=z2.旋转的齐次变换如图3.7，A点绕z轴旋转角后移至A’，即写成矩阵形式为记为同理：写成矩阵形式为记为同理：(3.24)图3.8中为任意过原点的单位矢量，若A点绕其旋转齐次变换矩阵为Rot（k,θ）其在三个坐标轴上分量为kx，ky，kz，且旋转θ角，则可以证明，(3.24)图3.8中为任意过原点的单位矢量，若A点绕其注：

①

该式为一般旋转齐次变换通式，概括了绕X、Y、Z轴进行旋转变换的情况。反之,当给出一个旋转齐次变换矩阵,则可求得及θ角。②适用于点、矢量、

坐标系、

物体的旋转。③

左乘是相对固定坐标系的变换；右乘是相对动坐标系的变换。

3、平移加旋转的齐次变换用旋转算子乘上平移算子即是旋转加平移的齐次变换算子。注：②适用于点、矢量、坐标系、物体的旋转。3、平移加旋连杆长度：连杆两端关节轴线的公垂线长度an。连杆扭角：连杆两端关节轴线的夹角αn即将一条轴线沿公垂线平移至另一条轴线上的垂足时，两条直线的夹角。3.1.3工业机器人的连杆参数和齐次变换矩阵机器人运动学研究的是杆件尺寸、运动副类型、杆件相互关系（包括位移关系、速度关系和加速度关系）等。连杆参数及连杆坐标系建立如图3-9某机器人手臂连杆n，两端有关节n和n＋1。连杆长度：连杆两端关节轴线的公垂线长度an。3.1.3工业机每个连杆可以由四个参数来描述：连杆长度、扭角、连杆转角、连杆距离。前两个是连杆自身参数，后两个表示与相邻连杆的连接关系。旋转关节θn改变,为关节变量，其它三个参数不变；滑动关节dn改变,为关节变量。如图3.10，相邻连杆n与n-1的关系参数可由连杆转角和连杆距离描述。沿关节n轴线两个公垂线间的距离dn即为连杆距离。垂直于关节n轴线的平面内两个公垂线的夹角θn即为连杆转角。每个连杆可以由四个参数来描述：连杆长度、扭角、连杆转角、连杆连杆坐标系：①连杆n坐标系的坐标原点：位于n+1关节轴线上，是关节n+1的轴线与关节n轴线公垂线的垂足。②Z轴：与n+1关节轴线重合。③X轴：与公垂线重合;方向为从n指向n+1关节。④Y轴：由Z轴和X轴按右手螺旋法则确定。连杆坐标系：(1)令n-1绕Zn-1轴旋转θn角,使Xn-1与Xn平行,算子为Rot(z,θn)。(2)沿Zn-1轴平移dn,使Xn-1与Xn重合,算子为Trans(0,0,dn)。(3)沿Xn轴平移an,使两个坐标系原点重合,算子为Trans(an,0,0)。(4)绕Xn轴旋转αn角,使得n-1系与n系重合,算子为Rot(x,αn)。2.连杆坐标系之间的变换矩阵n-1坐标系与n坐标系间关系可以视为n坐标系是由n-1坐标系经由一系列的平移、旋转变化得到。(1)令n-1绕Zn-1轴旋转θn角,使Xn-1与Xn平即：实际中，多数机器人连杆参数取特殊值，如αn=0、dn=0，计算一般简单。即：实际中，多数机器人连杆参数取特殊值，如αn=0、dn=0齐次变换矩阵Ai表示连杆i坐标系相对于连杆坐标系i-1的位姿变换矩阵。如A1表示连杆1相对连杆0（基座），A2矩阵表示连杆1坐标系相对于连杆1坐标系的位姿变换。连杆2相对固定坐标系的位姿可用可用A2和A1的乘积表示T2=A1A2依此类推,对于六连杆机器人，有下列矩阵：T6=A1A2A3A4A5A6上述等式称为机器人运动学方程。Ｔ６表示手部坐标相对于固定参考系的位姿。3.1.4工业机器人运动学方程齐次变换矩阵Ai表示连杆i坐标系相对于连杆坐标系i-1的位姿或前三列表示手部的姿态；或第四列表示手部中心点的位置。

或前三列表示手部的姿态；或第四列表示手部中心点的位置。正向运动学：已知各个关节的变量，求手部的位姿。图3.11为SCARA装配机器人，其三个关节轴线是相互平行的。{0}、{1}、{2}、{3}分别表示固定坐标系、连杆1的动坐标系、连杆2的动坐标系、连杆3的动坐标系。原点分别位于关节1、关节2、关节3和手部中心。连杆运动为旋转运动,连杆参数θn为变量,其余参数均为常量。参数见表3-2.2.正向运动学及实例正向运动学：已知各个关节的变量，求手部的位姿。2.正向运动连杆转角变量θn连杆间距dn连杆长度an连杆扭角αn1θ1010002θ2010003θ30200表3-2连杆转角变量θn连杆间距dn连杆长度an连杆扭角αn1θ10该平面关节型机器人的运动学方程为T3=A1A2A3

A1——连杆1的坐标系相对于固定坐标系的齐次变换矩阵；A2——连杆2的坐标系相对于连杆1坐标系的齐次变换矩阵；A3——手部坐标系相对于连杆2坐标系的齐次变换矩阵。T3为手部坐标系的位姿。A1，A2，A3相乘可以得到T3表达式矩阵（包括转角变量θ1，θ2，θ3）T3=A1A2A3该平面关节型机器人的运动学方程为T3=A1A2A3T3为手如图3.11（b），转角变量分别为θ1=30°,θ2=-60°,θ3=-30°时，代入可得：如图3.11（b），转角变量分别为θ1=30°,θ2=-6已知手部的位姿，求出关节变量，也称逆运动学。3.反向运动学及实例其运动学方程为：如图3.12为六自由度STANFORD机器人，其连杆坐标系图如图3.13。坐标系0与坐标系1原点重合。已知手部的位姿，求出关节变量，也称逆运动学。3.反向运动学及现在给出T6矩阵及各杆的参数a、α、d，求关节变量θ1～θ6，其中θ3＝d3。（坐标系3相对2的参数为平移量）其中A1为坐标系{1}相对于固定坐标系转换矩阵。相当于固定坐标系{0}的Z0轴旋转，然后绕自身坐标系X1轴做-90的旋转。如下图。其中分为转角θ1为0和不为0两种情况。现在给出T6矩阵及各杆的参数a、α、d，求关节变量θ1～θ6列出A1的逆矩阵，有展开方程两边矩阵，对比对应项，可求得θ1，再利用求得θ2.同样可顺次求得θ3～θ6.列出A1的逆矩阵，有展开方程两边矩阵，对比对应项上述求解过程称为分离变量法。逆解求解可能存在的问题：解不存在和有多重解。解不存在：一般是给定的工作位置落到了工作区域之外时，则解不存在。有多重解时：1由于实际关节活动范围的限制，机器人有多组解时，可能有某些解不能达到。2非零的连杆参数越多，达到某一目标的方式越多，运动学逆解的数目越多。3在避免碰撞的前提下，按“最短路程”的原则来择优。根据连杆的尺寸大小不同，应遵循“多移动小关节，少移动大关节”的原则。上述求解过程称为分离变量法。有多重解时：3.2.1工业机器人的动力学分析(1)工业机器人速度雅可比矩阵雅可比矩阵是一个多元函数的偏导矩阵，机器人的速度分析和静力学分析常遇到雅克比矩阵。以图3.14二自由度机器人为例。机器人为手部坐标(x,y)相对于关节变量(θ1,θ2)有3.2工业机器人的动力学即3.2.1工业机器人的动力学分析3.2工业机器人的动力学即求微分:写成矩阵为令则其中运算得：其中s1表示sinθ1，c1表示cosθ1，s12表示sin(θ1+θ2)，c12表示cos(θ1+θ2)偏导数矩阵J即为速度雅可比矩阵求微分:写成矩阵为令则其中运算得：其中s1表示sinθ1，c对于n自由度机器人，关节变量q=［q1q2…qn］T，当关节为转动关节时，qi=θi；当关节为移动关节时，qi=di，则dq=[dq1dq2…dqn]T反映关节空间的微小运动。由X=X(q)可知，dX=J(q)dq其中J(q)是(6×n)的偏导数矩阵，称为n自由度机器人速度雅可比矩阵。

因为表示的是6个自由度上的速度，所以是6列矩阵对于n自由度机器人，关节变量q=［q1q2…qn］T，当关(2)工业机器人速度分析即:

其中：V——机器人末端在操作空间中的广义速度，;J(q)——速度雅可比矩阵;——机器人关节在关节空间中的关节速度。

把上式两边各除以dt，得二自由度手部速度为(2)工业机器人速度分析即:其中：J(q)——速度若已知关节上与是时间的函数,则可求出该机器人手部在某一时刻的速度V=f(t),即手部瞬时速度。反之,给定机器人手部速度,可由V=J(q)q解出相应的关节速度，式中为机器人逆速度雅可比矩阵。逆速度雅可比J-1出现奇异解的情况如下:①工作域边界上的奇异:机器人手臂全部伸开或全部折回时,叫奇异形位。该位置产生的解称为工作域边界上的奇异。②工作域内部奇异:机器人两个或多个关节轴线重合引起的奇异。当出现奇异形位时,会产生退化现象,即在某空间某个方向(或子域)上,不管机器人关节速度怎样选择,手部也不可能动。若已知关节上与是时间的函数,则可求出该机器人手部在各关节的驱动力矩（或力）与末端操作器施加的力（广义力，包括力和力矩）之间的关系就是机器人操作臂力控制的基础。静力平衡：假定各关节“锁定”，机器人成为一个机构。该“锁定”用的关节力与手部所支持的载荷或受到外界环境作用力取得静力平衡。求解这种“锁定用”的关节力，或求解在已知驱动力矩作用下手部的输出力就是对机器人操作臂的静力计算。3.2.2.工业机器人静力学分析各关节的驱动力矩（或力）与末端操作器施加的力（广义力，包括力图3.15单个杆件受力分析静力平衡条件：杆上所受合力、合力矩为零。手部端点的力和力矩可写成一个6维矢量1.操作臂的静力已知末杆受力（力矩），可先分析末杆对上一连杆的力和力矩，依次分析反推，直至分析第一连杆对基座力和力矩，从而计算全部连杆的受力情况。和各有关于轴的三个分量。图3.15单个杆件受力分析1.操作臂的静力已知末杆受力（力矩各关节驱动力矩、力可写成n维矢量的形式。即2.机器人力雅克比矩阵忽略各关节摩擦力和杆件重力有-广义关节力矩；F-机器人手部端点力；—（n×6）阶雅克比矩阵。机器人力雅克比正好是速度雅克比的转置。体现了手部端点受力和各关节驱动力矩的关系。各关节驱动力矩、力可写成n维矢量的形式。2.机器人力雅克比3、

机器人静力计算的两类问题①

已知外界对手部作用力F′，求满足静力平衡条件的关节驱动力矩τ()。②

已知关节驱动力矩τ,确定机器人手部对外界环境的作用力F或负荷质量。当自由度n>6时，力雅可比可能不是方阵，JT没有逆解，一般情况下不一定能得到惟一的解。

3、机器人静力计算的两类问题②已知关节驱动力矩τ,确定3.2.3.工业机器人动力学分析1.动力学分析的两类问题①给出已知的轨迹点的关节变量即机器人的关节位置、速度和加速度，求相应的关节力矩向量τ，用以实现对机器人的动态控制。②已知关节驱动力矩，求机器人系统的相应的各瞬时的运动,用于模拟机器人运动。动力学分析方法:有拉格朗日方法、牛顿-欧拉方法、高斯方法、凯恩方法等。其中,拉格朗日方法不仅求解复杂的系统动力学方程简单,而且容易理解。3.2.3.工业机器人动力学分析①给出已知的轨迹点的关2.拉格朗日方程定义拉格朗日函数EK-机械系统动能，EP-势能的函数，势能EP是的函数。的函数。动能EK是关节变量和因此L是和拉格朗日方程为：Fi-关节广义驱动力（移动关节为驱动力，转动关节为驱动力矩）。i=1.2.3……n2.拉格朗日方程EK-机械系统动能，EP-势能的函数，势能E建立动力学方程步骤：1)选取坐标系，选定独立的广义关节变量(i=1.2.....n)；2)选定相应的广义力Fi；3)求各构件的动能与势能，构造拉格朗日函数；4)代入拉格朗日方程，求得机器人的动力学方程。建立动力学方程步骤：关节空间：n个自由度操作臂末端位姿x是由n个关节变量决定的，这n个关节变量叫n维关节矢量q，q所构成的空间称关节空间。操作空间：末端操作器的位姿是在直角坐标系空间中描述的，这个空间叫操作空间。3.关节空间和操作空间动力学针对图3.17二自由度机器人，关节空间动力学方程为：关节空间：n个自由度操作臂末端位姿x是由n个关节变量决定的，是（n×1）离心力和哥氏力矢量：是（n×1）的重力矢量：是（n×1）离心力和哥氏力矢量：是（n×1）的重力矢量：在笛卡尔操作空间中，可用末端操作器的位姿矢量来表示机器人的动力学方程：其中：——为操作空间的惯性矩阵；——离心力和哥氏力矢量；F——广义操作力矢量。——重力矢量；两个空间之间的关系：在笛卡尔操作空间中，可用末端操作器的位姿矢量来表示机器人的动3.3.1路径和轨迹机器人的轨迹：指操作臂在运动过程中的位移、速度和加速度。路径：是机器人位姿的一定序列，而不考虑机器人位姿参数随时间变化的因素。见图3.183.3工业机器人的运动轨迹规划3.3.1路径和轨迹3.3工业机器人的运动轨迹规划①运动轨迹的描述—对机器人的任务，及运动轨迹的描述；②根据已经确定的轨迹参数,在计算机上模拟所要求的轨迹。③对轨迹进行实际计算，即在运行时间内按一定的速率计算出位置、速度和加速度，从而生成运动轨迹。是指根据作业任务要求确定轨迹参数，并实时计算和生成运动轨迹三个轨迹规划的一般问题3.3.2轨迹规划规划中，要规定机器人运动起始点和终止点，而且要给出中间点（路径点）的位姿及路径点之间的时间分配，即给出两个路径点之间的运动时间。①运动轨迹的描述—对机器人的任务，及运动轨迹的描述；是指轨迹规划：在关节空间中：将所有关节变量表示为时间函数。用其一、二阶导数描述机器人的预期动作。在直角坐标空间中：将手部位姿参数表示为时间函数，相应的关节位置，速度，加速度由手部信息导出。以二自由度平面关节机器人为例，解释轨迹规划基本原理。轨迹规划：以二自由度平面关节机器人为例，解释轨迹规划基本原理A点：；B点：图3.19中，两杆均以最大速率运动图3.20中，两个关节运动用公共因子做归一化处理，速率分别为和运动均匀。下杆2s到达，上杆3秒到达，路径不均匀。A点：；B点：图3.19中，两杆均以最大速率图3.21中，手部沿AB直线运动，可用插值法；将直线分为n份，逐点计算出相应的角。显然运动精度与点数有关，属于直角坐标空间的规划。图3.21中，