2023学年九年级数学上册单元题型精练（基础题型+强化题型）（人教版） 等边三角形手拉手模型（强化）（解析版）

等边三角形手拉手模型【例题精讲】如图将绕点顺时针旋转得点的对应点恰好落在的延长线上连接相交于点．（1）求证：是等边三角形；（2）直接写出的度数．【解答】解：（1）将绕点顺时针旋转得是等边三角形；（2）如图：点的对应点恰好落在的延长线上由（1）知是等边三角形将绕点顺时针旋转得；故答案为：．如图点是等边三角形内的一点将绕点按顺时针方向旋转一定的角度得到连接．（1）求的度数；（2）试判断与的位置关系并说明理由；（3）若求的长（直接写出结果）．【解答】解：（1）由旋转的性质得即三角形是等边三角形为等边三角形；（2）与的位置关系是：理由如下：由（1）知将绕点按顺时针方向旋转一定的角度得到；（3）由旋转的性质得为等边三角形在中由勾股定理得：．【题组训练】如图等边点为延长线上一点连接将线段绕点逆时针旋转得到线段．连接．求证：．【解答】证明：是等边三角形由旋转的性质可得：在和中．如图与为等边三角形点在直线同侧连接．（1）求证：；（2）可以看作是经过旋转得到的请利用旋转的知识进行说明．【解答】（1）证明：与为等边三角形即在和中；（2）可以看作是绕点顺时针旋转得到．如图①和都是等边三角形．（1）若、、在同一条直线上与相交于点与相交于点与相交于点试判断与的数量关系为；度数为；（2）将绕点顺时针旋转、、不在一条直线上时如图②则（1）中的结论是否成立？若成立请写出证明过程；若不成立请说明理由．【解答】解：（1）是等边三角形是等边三角形即在和中在中故答案为：；（2）成立．证明：和都是等边三角形即在和中又．如图为等边三角形点是线段上一点（点不与重合）连接过点作垂足为点将线段绕点顺时针旋转得到线段连接．（1）如图1求证：；（2）如图2延长交于点求证：为的中点．【解答】证明：（1）将线段绕点顺时针旋转得到线段．是等边三角形．为等边三角形．．在和中．．．即；（2）如图过点作交的延长线于点．．．．在和中．．点是中点．如图1为等边内一点将线段绕点逆时针旋转得到连接的延长线与交于点与交于点．（1）求证：；（2）如图2连接小颖对该图形进行探究得出结论：．小颖的结论是否正确？若正确请给出证明；若不正确请说明理由．【解答】（1）证明：如图1线段绕点逆时针旋转得到在和中（2）解：结论正确理由如下：如图2过作的垂线段分别交于点又在和中．如图1已知点、、在同一条直线上和都是等边三角形交于点交于点．（1）求出的度数；（2）请在图1中找出一对全等的三角形并说明全等的理由；（3）若将绕点转动到如图2所示的位置其余条件不变（2）中的结论是否还成立试说明理由．【解答】解：（1）和都是等边三角形点、、在同一条直线上；（2）．理由：和都是等边三角形在和中；（3）（2）中的结论还成立．和都是等边三角形．．如图1等边三角形中为内一点将绕点按逆时针方向旋转角得到点的对应点分别为点、且、、三点在同一直线上．（1）填空：；（2）若过点作于点然后探究线段之间的数量关系并证明你的结论．【解答】解：（1）如图将绕点按逆时针方向旋转角得到是等边三角形故答案为：；（2）理由如下：将绕点按逆时针方向旋转角得到是等边三角形．与都是等边三角形连接、．（1）如图①当点、、在同一条直线上时则120度；（2）将图①中的绕着点逆时针旋转到如图②的位置．求证：．【解答】解：（1）是等边三角形点、、在同一条直线故答案为：120；（2）与都是等边三角形在和中．如图点是等边三角形内的一点将绕点按顺时针方向旋转一定的角度得到连接．（1）求的度数；（2）试判断与的位置关系并说明理由；（3）若求的长（直接写出结果）．【解答】解：（1）由旋转的性质得即三角形是等边三角形为等边三角形；（2）与的位置关系是：理由如下：由（1）知将绕点按顺时针方向旋转一定的角度得到；（3）由旋转的性质得为等边三角形在中由勾股定理得：．如图点是等边内一点．将绕点按顺时针方向旋转得连接．（1）求证：是等边三角形；（2）当时试判断的形状并说明理由；（3）探究：当为多少度时是等腰三角形？【解答】（1）证明：将绕点按顺时针方向旋转得是等边三角形．（2）解：当时是直角三角形．理由是：将绕点按顺时针方向旋转得又是等边三角形不是等腰直角三角形即是直角三角形．（3）解：①要使需；②要使需．；③要使需．解得．综上所述：当的度数为或或时是等腰三角形．阅读下面材料并解决问题：（1）如图①等边内有一点若点到顶点、、的距离分别为345求的度数．为了解决本题我们可以将绕顶点旋转到处此时这样就可以利用旋转变换将三条线段、、转化到一个三角形中从而求出；（2）基本运用请你利用第（1）题的解答思想方法解答下面问题已知如图②中、为上的点且求证：；（3）能力提升如图③在中点为内一点连接且求的值．【解答】解：（1）、、由题意知旋转角为等边三角形易证△为直角三角形且；故答案为：；（2）如图2把绕点逆时针旋转得到由旋转的性质得在和△中△由勾股定理得即．（3）如图3将绕点顺时针旋转至△处连接在中绕点顺时针方向旋转△如图所示；绕点顺时针方向旋转得到△是等边三角形、、、四点共线在△中．已知：为等边三角形（1）若为外一点满足求证：．（2）若为内一点求的度数（3）若为内一点则（直接写出答案）【解答】解：（1）如图1以为边作等边在和中．．即．（2）如图2以为边作等边在和中．由可得所以．（3）如图3以为边作等边在和中．在中可得．在中如图4过点作垂直于延长线于点则．．在中．故答案为．（1）如图1为等边内一点平分为边上一点且连接取中点连接直接写出与的位置关系并直接用等式表示与的数量关系；（2）如图2把图1中的绕点顺时针旋转其它条件不变连接点为中点连接试问（1）中的结论还成立吗？若成立请证明；若不成立请说明理由．【解答】解：（1）如图1中延长至使连接、四边形是平行四边形在和中是等边三角形．（2）结论成立．证明：如图2中延长至使连接、、、由（1）可知即四边形是平行四边形在和中是等边三角形．如图将等边绕点顺时针旋转得到的平分线交于点连接、．（1）求度数；（2）求证：．【解答】解：（1）是等边三角形等边绕点顺时针旋转得到．（2）证明：和是等边三角形平分．如图在中将绕点逆时针旋转得到点、的对应点分别是、点是边中点连结、．（1）求证：是等边三角形；（2）判断与有怎样的数量关系并说明理由．【解答】（1）证明：将绕点逆时针旋转得到是等边三角形；（2）解：理由如下：是等边三角形点是边中点在和中．如图是等边三角形内一点将线段绕点顺时针旋转得到线段连接．（1）求证：；（2）连接若求的度数．【解答】解：（1）证明：是等边三角形．线段绕点顺时针旋转得到线段．．．在和中．（2）如图为等边三角形．．．如图1为等边三角形点为边上一点连接并将线段绕点逆时针旋转得到连接（1）求证：；（2）如图2当点为中点时连接交于点直接写出长度等于的所有线段．【解答】证明：（1）是等边三角形将线段绕点逆时针旋转得到且（2）为等边三角形点为中点是等边三角形且且．为等边内的一点将绕点顺时针旋转到位置．（1）判断的形状并说明理由；（2）求的度数．【解答】解：（1）是等边三角形；理由如下：绕点顺时针旋转到位置是等边三角形；（2）’是等边三角形’是直角三角形．（1）如图1是等边内一点连接、、且将绕点顺时针旋转后得到连接．求：①旋转角的度数；②线段的长；③求的度数．（2）如图2所示是等腰直角内一点连接、、将绕点顺时针旋转后得到连接．当、、满足什么条件时？请给出证明．【解答】解：（1）①为等边三角形绕点顺时针旋转后得到旋转角的度数为；②绕点顺时针旋转后得到而为等边三角形；；③为等边三角形绕点顺时针旋转后得到在中为直角三角形；（2）时．理由如下：绕点顺时针旋转后得到为等腰直角三角形当时为直角三角形当、、满足时．如图1为等边内一点将线段绕点逆时针旋转得到连接的延长线与交于点与交于点．（1）求证：；（2）如图2连接小颖对该图形进行探究得出结论：．小颖的结论是否正确？若正确请给出证明；若不正确请说明理由．【解答】（1）证明：如图1线段绕点逆时针旋转得到在和中（2）解：结论正确理由如下：如图2过作的垂线段分别交于点又在和中．如图点