新教材高中数学第二章一元二次函数方程和不等式1第1课时不等关系与不等式学案

第1课时不等关系与不等式课标解读课标要求素养要求1.能用不等式（组）表示实际问题中的不等关系.2.初步学会用作差法比较两个实数的大小.1.数学抽象——会用不等式（组）表示实际问题中的不等关系.2.数学运算——能用作差法比较两个实数的大小.自主学习·必备知识教材研习教材原句要点一实数a,b大小的比较关于实数a,b大小的比较,有以下基本事实：如果a-b是正数,那么①a＞b;如果a-b等于0,那么②a=b;如果a-b是负数,那么③a＜b.反过来也对.这个基本事实可以表示为a>b⇔a-b>0；a=b⇔a-b=0;a<b⇔a-b<0.要点二重要不等式一般地，∀a,b∈R,有a2+b自主思考1.x2+1与2x两式都随x的变化而变化,其大小关系并不明显,你能想个办法比较x2答案：提示作差,因为x2+1-2x=(x-1)P39a,b表示？答案：提示小正方形的面积为(a-b)名师点睛1.不等关系强调的是关系,可用符号“＞”“＜”“≠”“≥”或“≤”表示,而不等式则是表示两者的不等关系,可用式子“a＞b”“a＜b”“a≠b”“a≥b”或“a≤b”表示,不等关系是可以通过不等式来体现的.2.不等式中文字语言与符号语言之间的转换：文字语言大于,高于,超过小于,低于,少于大于等于,至少,不低于小于等于,至多,不多于,不超过符号语言＞＜≥≤互动探究·关键能力探究点一用不等式（组）表示不等关系精讲精练例某钢铁厂要把长度为4000 mm的钢管截成500 mm和600 mm两种,按照生产的要求,600 答案：设截得500 mm的钢管x根,截得600 mm的钢管依题意,可得不等式组：500x+600y≤4000,3x≥y,即5x+6y≤40,解题感悟将实际的不等关系写成对应的不等式时,应注意实际问题中关键性的文字语言与对应的数字符号之间的正确转换,这关系到能否正确地用不等式表示出不等关系.迁移应用1.李辉准备存零花钱买一台学习机,他现在已存60元．计划从现在起以后每个月节省30元,直到他至少有400元．设x个月后他至少有400元,则可以用于计算所需要的月数x的不等式是()A.30x-60≥400B.30x+60≥400C.30x-60≤400D.30x+60≤400答案：B解析：x个月后他至少有400元,可表示为30x+60≥400.故选B.xkm,如果该汽车每天行驶的路程均比原来多19 km,那么在8天内它行驶的路程将超过2200 答案：8(x+19)＞2200解析：因为该汽车每天行驶的路程比原来多19 km,所以汽车每天行驶的路程为(x+19)km,则在8天内它行驶的路程为8(x+19)km,因此,不等关系“在8天内它行驶的路程将超过2200 探究点二作差法比较大小精讲精练例已知x≤1,比较3x3与答案：3=(3=3x因为x≤1,所以x-1≤0,3x所以(3x2+1)(x-1)≤0解题感悟作差法比较a,b大小的基本步骤迁移应用x3+6x与答案：(===(x-1)(x因为x2+6＞0,所以当x＞1时,(x-1)(x当x=1时,(x-1)(x2+6)=0当x＜1时,(x-1)(x即x探究点三利用作差法证明不等式精讲精练例已知a＞0,求证：a+1答案：证明∵a＞0,∴a+1解题感悟用作差法证明不等式的关键是对差式进行变形,通过配方、通分、分解因式等方式确定等式的符号,从而证明不等式.迁移应用a,b均为正实数,证明：a3答案：证明a3当a=b时,a-b=0,则a3当a≠b时,(a-b)因为a,b均为正实数,所以a+b＞0,则a3综上所述,a3评价检测·素养提升课堂检测1.下列能表示“a不比b小”的不等关系的是()A.a-b＞0B.a-b＜0C.a-b≥0D.a-b≤0答案：C2.(★)某校对高一美术生划定录取分数线,专业成绩x不低于95分,文化课总分y高于380分,体育成绩z超过45分,则用不等式组表示为()A.x≥95y≥380z>45B.x≥95y>380z≥45答案：D3.（2020黑龙江宾县第一中学高一期中）设M=x2,N=-x-1,则M答案：M＞N解析：由作差法,可得M-N=x2-(-x-1)=x∈R,证明：x答案：证明x1+x230 m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园,墙长18 m,要求菜园的面积不小于110 m答案：由于矩形菜园靠墙的一边长为x m,且墙长为18 m,所以0＜x≤18,矩形菜园的另一条边长为因此菜园面积S=(15-x依题意有S≥110,即(15-x故题中的不等关系可用不等式组表示为0<x≤1815-素养演练数学建模——不等关系的实际应用1.某公司有20名技术人员,计划开发A、B两类电子器件共50件,每类每件所需人员和预计产值如下：产品种类每件需要人员数每件产值（万元/件）A类1B类16现欲使总产值最高,则应开发A类电子器件件,最高产值为万元.答案：20;330解析：设应开发A类电子器件x(0≤x≤50,x∈N*)件,总产值为y万元,则开发B由x2+50-x由题意,得总产值y=7.5x+6×(50-x)=300+1.5x≤330,当且仅当x=20时,y取得最大值,且最大值为330.所以应开发A类电子器件20件,最高产值为330万元.素养探究：（1）根据实际问题列不等式（组）的关键是通过分析找出问题中的不等关系,并确定不等号,然后写出不等号两边的代数式.（2）根据实际问题列出不等式（组）,应从实际意义出发,而不能拘于某一种形式.迁移应用x(0＜x＜30)个,用不等式组将题目中的不等关系表示出来,并求出所有符合题意的组建方案.答案：因为组建中型图书角x个,所以组建小型图书角(30-x)个,则0<x<30,80x+30(30-x)≤1900,x∈解得18≤x≤20,x∈所以x的取值是18,19,20.当x=18