函数的单调性与导数 课件

1.3导数在研究函数中的应用

1.3.1函数的单调性与导数

1.3导数在研究函数中的应用

过山车是一项富有刺激性的娱乐工具.那种风驰电掣、有惊无险的快感令不少人着迷.

过山车是一项富有刺激性的娱乐工具.那种风驰电掣、有惊

过山车在设计过程中用到了那些数学知识呢，本节课我们就研究一下导数在实际生活中的应用吧！过山车在设计过程中用到了那些数学知识呢，本节课我们就1.正确理解利用导数判断函数的单调性的原理.

（重点）

2.利用导数判断函数单调性.（难点）

3.掌握利用导数判断函数单调性的方法.1.正确理解利用导数判断函数的单调性的原理.（重点）图(1)表示高台跳水运动员的高度

随时间t

变化的函数的图象,图(2)表示高台跳水运动员的速度

随时间t

变化的函数的图象.运动员从起跳到最高点,以及从最高点到入水这两段时间的运动状态有什么区别?aabbttvhOO(1)(2)探究：函数的单调性与其导函数的关系图(1)表示高台跳水运动员的高aabbttvhOO(1)(2aabbttvhOO①运动员从起跳到最高点,离水面的高度h随时间t的增加而增加,即h(t)是增函数.相应地,②从最高点到入水,运动员离水面的高度h随时间t的增加而减小,即h(t)是减函数.相应地,(1)(2)aabbttvhOO①运动员从起跳到最高点,离水面的高度OOOOOOOO函数的单调性与导数ppt课件函数的单调性与导数ppt课件例1

已知导函数的下列信息:当1<x<4时,当x>4,或x<1时,当x

=4,或x

=1时,试画出函数f（x）图象的大致形状.例1已知导函数的下列信息:当1<x<4时解:

当1<x

<4时,可知在此区间内单调递增;

当x

>4,或x

<1时,可知在这两个区间内单调递减;

当x

=4,或x

=1时,

综上,函数图象的大致形状如图所示.xyO14y=解:当1<x<4时,可例2

判断下列函数的单调性,并求出单调区间:解:(1)因为,所以因此,函数在上单调递增.如图(1)所示例2判断下列函数的单调性,并求出单调区间:解:(1)函数的单调性与导数ppt课件单调递减单调递减单调递增单调递减单调递增单调递减函数的单调性与导数ppt课件根据导数确定函数的单调性步骤：1.确定函数f(x)的定义域.2.求出函数的导数.3.解不等式f´(x)>0,得函数单调增区间;

解不等式f´(x)<0,得函数单调减区间.总结提升根据导数确定函数的单调性步骤：1.确定函数f(x)的定义域.4.利用导数研究函数单调性时应注意的三个问题(1)定义域优先的原则：解决问题的过程只能在定义域内，通过讨论导数的符号来判断函数的单调区间.(2)注意“临界点”和“间断点”：在对函数划分单调区间时，除了必须确定使导数等于零的点外，还要注意在定义域内的间断点.(3)单调区间的表示：如果一个函数的单调区间不止一个，这些单调区间之间不能用“∪”连接，而只能用“逗号”隔开.4.利用导数研究函数单调性时应注意的三个问题函数的单调性与导数ppt课件函数的单调性与导数ppt课件函数的单调性与导数ppt课件例4（补充例）

已知函数f(x)＝ax3＋3x2－x＋1在(－∞，＋∞)上是减函数，求实数a的取值范围．【解析】f′(x)＝3ax2＋6x－1，由题意得3ax2＋6x－1≤0在(－∞，＋∞)上恒成立．当a＝0时，6x－1≤0，x≤不满足题意，∴a≠0.当a≠0时，由题意得，解得a≤－3.综上可知，实数a的取值范围是a≤－3.例4（补充例）已知函数f(x)＝ax3＋3x2－x＋1在1.函数y=3x－x3的单调增区间是()A.(0，+∞)B.(－∞，－1)C.(－1，1)D.(1，+∞)C

1.函数y=3x－x3的单调增区间是()C2.（2014·新课标全国2）若函数

在区间

单调递增，则k的取值范围是()A.B.C.D.D2.（2014·新课标全国2）若函数D3．函数y=xlnx在区间(0，1)上是()A.单调增函数B.单调减函数C.在(0,)上是减函数，在(,1)上是增函数D.在(,1)上是减函数，在(0,)上是增函数C3．函数y=xlnx在区间(0，1)上是()C4．函数y=x2(x+3)的单调递减区间是

，单调递增区间是

.(－2，0)

(－∞，－2),(0，+∞)5．函数f(x)=cos2x的单调递减区间是

.4．函数y=x2(x+3)的单调递减区间是做一做(请把正确的答案写在横线上)(1)函数y=x3+x在(-∞，+∞)上的图象是________(填“上升”或“下降”)的.(2)若f(x)=ax3+bx2+cx+d(a>0)在R上为增函数，则a，b，c的关系式为____________.(3)函数y=x3+x2-5x-5的单调递增区间是____________.做一做(请把正确的答案写在横线上)【解析】(1)由于y′=3x2+1>0对于任何实数恒成立，所以函数y=x3+x在(-∞，+∞)上是增函数，则图象是上升的.答案：上升(2)因为f′(x)=3ax2+2bx+c≥0恒成立，则得a>0，且b2≤3ac.答案：a>0，且b2≤3ac【解析】(1)由于y′=3x2+1>0对于任何实数恒成立，所(3)令y′=3x2+2x-5>0，得x<或x>1.答案：(-∞，)，(1，+∞)(3)令y′=3x2+2x-5>0，【思维拓展】(1)函数y=f(x)是定义在R上的增函数，f′(x)>0是否一定成立?提示：不一定成立.例如，y=x3在R上是增函数，但其在0处的导数为零，故f′(x)>0是y=f(x)在某区间上是增函数的充分不必要条件.【思维拓展】(2)函数y=x2与y=x3在y′=0的点是函数的临界点吗?提示：因为函数y=x2的导数是y′=2x，在y′=0的点左边和右边导数符号不同，是函数单调递增与单调递减的临界点；而函数y=x3的导数是y′=3x2，在y′=0的点左边和右边导数符号相同，不是函数单调递增与单调递减的临界点.(2)函数y=x2与y=x3在y′=0的点是函数的临