复数概念表示法乘幂与方根区域课件

对象复变函数（自变量为复数的函数）主要任务研究复变数之间的相互依赖关系，具体地就是复数域上的微积分。主要内容复变函数的积分、级数、留数、共形映射等。复数与复变函数、解析函数、对象复变函数（自变量为复数的函数）主要任务研究复变数1学习方法复变函数中许多概念、理论、和方法是实变函数在复数域内的推广和发展，它们之间有许多相似之处。但又有不同之处，在学习中要善于比较、区别、特别要注意复数域上特有的那些性质与结果。学习方法复变函数中许多概念、理论、和2背景复数是十六世纪人们在解代数方程时引进的。为使负数开方有意义，需要再一次扩大数系，使实数域扩大到复数域。但在十八世纪以前，由于对复数的概念及性质了解得不清楚，用它们进行计算又得到一些矛盾，所以，在历史上长时期人们把复数看作不能接受的“虚数”。直到十八世纪，J.D’Alembert(1717-1783)与L.Euler(1707-1783)等人逐步阐明了复数的几何意义和物理意义，澄清了复数的概念，并且应用复数和复变函数研究了流体力学等方面的一些问题。复数才被人们广泛承认接受，复变函数论才能顺利建立和发展。背景复数是十六世纪人们在解代数方程时引进的。为使负数开方3复变函数的理论基础是十九世纪奠定的。A.L.Cauchy（1789-1866)和K.Weierstrass(1815-1897)分别应用积分和级数研究复变函数，G.F.B.Riemann(1826-1866)研究复变函数的映照性质。他们是这一时期的三位代表人物。经过他们的巨大努力，复变函数形成了非常系统的理论，且渗透到了数学的许多分支，同时，它在热力学，流体力学和电学等方面也得到了很多的应用。二十世纪以来，复变函数已被广泛地应用在理论物理、弹性理论和天体力学等方面，与数学中其它分支的联系也日益密切。复变函数的理论基础是十九世纪奠定的。A.L.Cauch4第一讲复数第一讲复数51.复数的概念

2.代数运算

3.共轭复数CH1§1复数及其代数运算1.复数的概念CH1§1复数及其代数运算6

一般,任意两个复数不能比较大小。1.复数的概念

定义对任意两实数x、y,称z=x+iy或z=x+yi为复数。复数z的实部Re(z)=x;虚部Im(z)=y.(realpart)(imaginarypart)

复数的模

判断复数相等一般,任意两个复数不能比较大小。1.复数的概念定义7定义z1=x1+iy1与z2=x2+iy2的和、差、积和商为：

z1±z2=(x1±x2)+i(y1±y2)

z1z2=(x1+iy1)(x2+iy2)=(x1x2-y1y2)+i(x2y1+x1y2)2.代数运算四则运算定义z1=x1+iy1与z2=x2+iy2的和、差、8z1+z2=z2+z1；z1z2=z2z1；(z1+z2)+z3=z1+(z2+z3)；z1(z2z3)=(z1z2)z3；z1(z2+z3)=z1z2+z1z3.运算规律复数的运算满足交换律、结合律、分配律。（与实数相同）即，z1+z2=z2+z1；运算规律复数的运算满足交换律、结合律9共轭复数的性质3.共轭复数定义若z=x+iy,称z=x-iy

为z的共轭复数.(conjugate)共轭复数的性质3.共轭复数定义若z=x+iy,称10复数概念表示法乘幂与方根区域ppt课件11复数概念表示法乘幂与方根区域ppt课件121.点的表示

2.向量表示法

3.三角表示法

4.指数表示法§2复数的表示方法1.点的表示§2复数的表示方法131.点的表示点的表示：

数z与点z同义.1.点的表示点的表示：数z与点z同义.142.向量表示法

oxy(z)P(x,y)xy

称向量的长度为复数z=x+iy的模或绝对值；以正实轴为始边,以为终边的角的弧度数称为复数z=x+iy的辐角.(z≠0时)2.向量表示法15辐角无穷多：Argz=θ=θ0+2kπ，k∈Z，把其中满足的θ0称为辐角Argz的主值，记作θ0=argz。

z=0时，辐角不确定。

计算argz(z≠0)

的公式辐角无穷多：Argz=θ=θ0+2kπ，k∈Z，把其中满16

当z落于一,四象限时，不变。

当z落于第二象限时，加。

当z落于第三象限时，减。

当z落于一,四象限时，不变。当z落于第二象限时17oxy(z)

z1z2

z1+z2z2-z1由向量表示法知3.三角表示法4.指数表示法oxy(z)z1z2z1+z2z2-z1由向量表示法知18引进复数的几何表示，可将平面图形用复数方程（或不等式）表示；反之，也可由给定的复数方程（或不等式）来确定它所表示的平面图形。例1

用复数方程表示:（1）过两点zj=xj+iyj

(j=1,2)的直线；（2）中心在点(0,-1),

半径为2的圆。oxy(z)Lz1z2z解（1）z=z1+t(z2-z1)

（-∞<t<+∞）引进复数的几何表示，可将平面图形用复数方程例1用复数19xy(z)O(0,-1)2例2

方程表示什么图形？解xy(z)O(0,-1)2例2方程20注意.复数的各种表示法可以相互转化,以适应不同问题的需要.注意.复数的各种表示法可以相互转化,以适应211.复数的乘积与商

2.复数的乘幂

3.复数的方根§3复数的乘幂与方根1.复数的乘积与商§3复数的乘幂与方根22定理1

两个复数乘积的模等于它们的模相乘，两个复数乘积的辐角等于它们的辐角相加。证明设z1=r1(cosθ1+isinθ1)=r1eiθ1

z2=r2(cosθ2+isinθ2)=r2eiθ2

则z1z2=r1r2(cosθ1+isinθ1)(cosθ2+isinθ2)=r1r2[cos(θ1+θ2)+isin(θ1+θ2)]=r1r2ei(θ1+θ2)1.乘积与商因此|z1z2|=r1r2，Arg(z1z2)=Argz1+Argz2定理1两个复数乘积的模等于它们的模相乘，证明23几何意义将复数z1按逆时针方向旋转一个角度

Argz2，再将其伸缩到|z2|倍。

定理1可推广到n个复数的乘积。oxy(z)z1z2z2几何意义将复数z1按逆时针方向旋转一个角度定理1可推24要使上式成立,必须且只需k=m+n+1.要使上式成立,必须且只需k=m+n+1.25定理2

两个复数的商的模等于它们的模的商，两个复数的商的辐角等于被除数与除数的辐角之差。证明Argz=Argz2-Argz1即：由复数除法的定义z=z2/z1，即z1z=z2∵|z||z1|=|z2|及Argz1+Argz=Argz2（z1≠0）定理2两个复数的商的模等于它们的模的商，证明Ar26设z=reiθ，由复数的乘法定理和数学归纳法可证明zn=rn(cosnθ+isinnθ)=rneinθ。2.复数的乘幂定义n个相同的复数z的乘积，称为z的n次幂，记作zn，即zn=zzz（共n个）。定义特别：当|z|=1时，即：zn=cosnθ+isinnθ，则有

(cosθ+isinθ)n=cosnθ+isinnθ

一棣模佛(DeMoivre)公式。设z=reiθ，由复数的乘法定理和数学归纳法可证2.复数的27问题给定复数z=rei，求所有的满足ωn=z的复数ω。3.复数的方根（开方）——乘方的逆运算

当z≠0时，有n个不同的ω值与相对应，每一个这样的ω值都称为z的n次方根，问题给定复数z=rei，求所有的满足ωn=z28

当k=0，1，…，n-1时，可得n个不同的根，而k取其它整数时，这些根又会重复出现。几何上，的n个值是以原点为中心，为半径的圆周上n个等分点，即它们是内接于该圆周的正n边形的n个顶点。xyo当k=0，1，…，n-1时，可得n个不同的根，几何上，29复数概念表示法乘幂与方根区域ppt课件304.复球面

扩充复平面的一个几何模型就是复球面。(1)复平面上每一条直线都通过点∞，同时，没有一个半平面包括点∞。

关于新“数”∞还需作如下几点规定：4.复球面扩充复平面的一个几何模型就是复球面31(2)∞的实部，虚部及幅角都无意义，(3)b≠0(但可为∞)时，(4)a≠∞时，(5)运算∞±∞，0·∞，无意义(2)∞的实部，虚部及幅角都无意义，(3)32复数概念表示法乘幂与方根区域ppt课件331.区域的概念

2.简单曲线（或Jordan曲线)3.单连通域与多连通域§4区域1.区域的概念§4区域341.区域的概念邻域复平面上以z0为中心，任意δ>0为半径的圆|z-z0|<δ(或0<|z–z0|<δ)

内部的点的集合称为点z0的δ（去心）邻域。记为Ｕ(z0,δ)即，设G是一平面上点集内点对任意z0属于G，若存在Ｕ(z0,δ)，使该邻域内的所有点都属于G，则称z0是G的内点。1.区域的概念邻域复平面上以z0为中心，任意δ>0为35开集若G内的每一点都是内点，则称G是开集。连通是指区域设D是一个开集，且D是连通的，称

D是一个区域。D-区域边界与边界点已知点P不属于D，若点P的任何邻域中都包含D中的点及不属于D的点，则称P是D的边界点；内点外点D的所有边界点组成D的边界。P开集若G内的每一点都是连通是指区域设D是一个36有界区域与无界区域若存在R>0,对任意z∈D,均有z∈G={z||z|<R}，则D是有界区域；否则无界。闭区域区域D与它的边界一起构成闭区域,有界区域与无界区域闭区域区域D与它的边界一起构成闭区37复数概念表示法乘幂与方根区域ppt课件382.简单曲线（或Jardan曲线)令z(t)=x(t)+iy(t)a≤t≤b;则曲线方程可记为：z=z(t)，a≤t≤b有限条光滑曲线相连接构成一条分段光滑曲线。2.简单曲线（或Jardan曲线)令z(t)=x(t)+i39重点设连续曲线C：z=z(t)，a≤t≤b，对于t1∈(a，b),t2∈[a,b],当t1≠t2时，若z(t1)=z(t2)，称z(t1