高等数学一阶微分方程教学课件

第六章常微分方程第一节微分方程的基本概念第二节一阶微分方程第三节可降阶的高阶微分方程第四节二阶线性微分方程解的结构第五节二阶常系数线性齐次微分方程第六章常微分方程第一节微分方程的基本概念第二节第二节一阶微分方程本节主要内容:一、可分离变量的一阶微分方程二、齐次方程三、一阶线性微分方程第二节一阶微分方程本节主要内容:一、可分离变量的一阶微分

一、可分离变量的一阶微分方程下面介绍几种常用的一阶微分方程的基本类型及其解法．一阶微分方程的一般形式为

(1)

的形式，称(1)式为可分离变量的微分方程．其中f(x)只是x的函数,g(y)只是y的函数.(2)如果一阶微分方程(1)式可以化为形如或

下面介绍几种常用的一阶微分方程的基本类型及其解法．一阶微这类方程的特点是：经过适当整理，可使方程的一边只含有一个变量和其微分.这类方程的特点是：经过适当整理，可使方程的一边只含有一个变量高等数学一阶微分方程教学课件这个通解是以隐函数形式给出的，也可以显化为得方程的通解两边积分解

将方程分离变量，得例1求微分方程

y′-eysinx=0的通解．

这个通解是以隐函数形式给出的，也可以显化为得方程的通解两边积例2求微分方程的通解解

将方程分离变量，有两边积分得故通解为例2求微分方程的通解解将方程分离变量，有两边例3求微分方程解

将方程分离变量，有两边积分得的通解例3求微分方程解将方程分离变量，有两边积分得的(3)因为是不为零的任意常数，把它记作C，便得到方程的通解可以验证C=0时，,它们也是原方程的解，因此（3）式中的C可设为任意常数．

(3)因为是不为零的任意常数

解方程中，如果积分后出现对数，理应都需作类似上述的讨论．为方便起见，例2可作如下简化处理：两边积分得分离变量后得故通解为其中C为任意常数．解方程中，如果积分后出现对数，理应都需作类似上述的讨论两边积分得方程通解解

方程变形后分离变量得，得由初始条件故所求特解为求微分方程例4满足初始条件的特解．两边积分得方程通解解方程变形后分离变量得，得由1.定义的微分方程称为齐次方程.2.解法作变量代换,令代入原式可分离变量的方程

二、齐次方程分离变量，得1.定义的微分方程称为齐次方程.2.解法作变量代换,令代入原解

将方程变形为齐次方程的形式例5

求微分方程的通解．令,则方程化为解将方程变形为齐次方程的形式例5

求微分方程分离变量后，得两边积分，得即以代回，得通解分离变量后，得两边积分，得即以代回，得通解例6求解微分方程解例6求解微分方程解微分方程的通解为即微分方程的通解为即例7求解微分方程解微分方程的通解为例7求解微分方程解微分方程的通解为解令则代入化简并分离变量两边积分换回原变量或例8解令则代入化简并分离变量两边积分换回原变量或例8利用变量代换求微分方程的解解代入原方程原方程的通解为利用变量代换求微分方程的解解代入原方程原方程的通解为三、一阶线性微分方程(5)的方程（其中称为一阶线性微分方程，是x的已知函数），称为自由项．Q(x)1.Q(x)≡0，方程(5)变为(6)形如方程(6)称为一阶线性齐次微分方程；三、一阶线性微分方程(5)的方程（其中称为一阶线性微分方2.Q(x)≡0，方程(5)变为(7)方程(7)称为一阶线性非齐次微分方程；例如线性的;非线性的.2.Q(x)≡0，方程(5)变为(7)方程(7)称为一阶线1.一阶线性齐次微分方程的解法齐次方程的通解为是可分离变量的方程，一阶线性齐次微分方程：分离变量得两边积分得(8)1.一阶线性齐次微分方程的解法齐次方程的通解为是可分离变量的为了书写方便，约定以后不定积分符号只表示被积函数的一个原函数，如符号是P(x)的一个原函数.说明：为了书写方便，约定以后不定积分符号只表示被积函数的一个原函数常数变易法把齐次方程通解中的常数变易为待定函数的方法实质:未知函数的变量代换.作变换2.一阶线性非齐次微分方程的解法的形式，其中C(x)是待定的函数．常数变易法把齐次方程通解中的常数变易为待定函数的方法实质:积分得一阶线性非齐次微分方程的通解为:对应齐次方程通解非齐次方程特解积分得一阶线性非齐次微分方程的通解为:对应齐次方程通解非齐次非齐次线性方程的通解相应齐方程的通解=非齐次方程的一个特解即非齐通解=齐通解+非齐特解——线性微分方程解的结构，是很优良的性质。+非齐次线性方程的通解相应齐方程的通解=非齐次方程的一个特解即

原方程即解两边积分，得解法一

用常数变易法：的通解．分离变量得先求故例10求微分方程的通解。原方程即解两边积分，得解法一用常数变易法：的通解变换常数C1，令，则整理得把y,y′代入原方程，得于是变换常数C1，令，则整理得把y,y′代入原方程，得代入得到该非齐次方程的通解.把解法二利用通解公式求解，这时必须把方程化成(5)的形式．有代入得到该非齐次方程的通解.把解法二利用通解公式求解，这故故例11解求解微分方程例11解求解微分方程例12求微分方程满足初始条件的特解.将原方程变形为解例12求微分方程满足初始条件的特解.将原方程变形所以原方程的通解为把初始条件代入上式，得故所求方程的特解为所以原方程的通解为把初始条件代入上式，得故所求方程的特解例13求解微分方程解将方程变形为这是一个一阶线性微分方程，其中例13求解微分方程解将方程变形为这是一个一阶线性高等数学一阶微分方程教学课件