第46讲9.1.2不等式的性质

于箱老师最牛课堂之初中数学知识点第46讲

不等式的性质等式的基本性质1：在等式两边都加上（或减去）同一个数或整式，结果仍相等．等式的基本性质2：在等式两边都乘以或除以同一个数（除数不为0），结果仍相等．等式的这些性质适用于不等式吗？不等式有哪些性质呢？新课导入（甲）（乙）100g50g加入20g加入20g结论：

100>50100+20>50+20120>70120－20>70－20用“<”或“>”填空，并找一找其中的规律．（2）2<5，2+3____5+3，2－3____5－3;（1）9>6，9+3____6+3，9－3____6－3；当不等式两边加或减去同一个数时，不等号的方向______．不变结论

当不等式的两边同乘同一个负数时，不等号的方向________．（3）8＞3，8×5____3×5，8×(-5)____3×(-5)；（4）1<3，1×6____3×6，1×(-6)____3×(-6)．

当不等式的两边同乘同一个正数时，不等号的方向______；不变改变结论不等式的性质1不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变．即如果a＞b，那么a+c＞b+c，a-c＞b-c.知识要点不等式的性质2不等式的两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变．如果a＞

b，c>0那么ac＞bc，a/c＞b/c．不等式的性质3不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．如果a＞b，c＜0那么ac<bc，a/c<b/c.如果a>b，且c>d，那么a+c>b+d.如果a>b，那么b<a；如果b<a，那么a>b．如果a>b，且b>c，那么a>c.不等式的对称性：不等式的传递性：例1用不等式的性质解下列不等式，并将解集在数轴上表示出来．（1）x－6＞15（2）4x<3x－2（3）－2x﹥50

（1）解：为了使不等式x-6＞15中不等号的一边变为x，根据不等式的性质１，不等式两边都加6，不等号的方向不变，得x-6+6﹥15+6，解得x﹥21．这个不等式的解集在数轴上的表示如图，0214x-3x﹤3x－2-3xx﹤－2（2）解：为了使不等式4x<3x－2中不等号的一边变为x，根据不等式的性质1，不等式两边都减去3x，不等号的方向不变，得这个不等式的解集在数轴上的表示如图，－20（3）解：为了使不等式-2x﹥50中的不等号的一边变为x，根据不等式的性质3，不等式两边都除以－2，不等号的方向改变，得x﹤－25这个不等式的解集在数轴上的表示如图．0－25例2已知a<0，试比较2a与a的大小．解法一：∵2＞1，a＜0，∴2a＜a（不等式的性质3）

解法二：在数轴上分别表示2a和a的点（a＜0），如图：2a位于a的左边，所以2a＜a．0a2a∣a∣∣a∣解法三：∵2a-a=a，又∵a＜0，∴2a-a＜0，∴2a<a（不等式的基本性质1）

例3放鞭炮时，如果导火索燃烧的速度是0.8cm/s，人跑开的速度是每秒4m，为了使点导火索的人在鞭炮燃放时跑到100m以外的安全区域，这个导火索的长度应大于多少㎝？解：设导火索的长度是xcm．根据题意，得答：导火索的长度应大于20cm．解得：x＞20×4＞100．例4试证明三角形中任意两边之差小于第三边．acb三角形中任意两边之差小于第三边．

证明：如图，设a，b，c为任意一个三角形的三条边的长，则a＋b＞c，b＋c＞a，c＋a＞b．由式子a＋b＞c移项可得a＞c－b，b＞c－a．类似地，由式子b+c＞a及c+a＞b移项可得c＞a-b，b＞a-c及c＞b-a，a＞b-c例5我国于2001年12月11日正式加入世界贸易组织（WTO）．加入前，产品A的进口税超过产品B的进口税的1倍以上；加入后，这两种产品的进口税都下调了15%．你认为加入后产品A的进口税仍超过产品B的进口税的1倍以上吗？请说明理由．

解：设加入前产品A，B的进口税分别为a，b．由题意，得a>2b．加入后A，B两种产品的进口税分别为：（1-15%）a，（1-15%）b，∵

1-15%＞0∴（1-15%）a＞2（1-15%）b由不等式的基本性质3，即表示产品A的进口税仍超过产品B的进口税的1倍以上．解：不等式x+3＜7的两边都减去3，得：

x+3-3＜7-3∴x＜4而满足x＜4的正整数有1，2，3，所以不等式的正整数解为1，2，3．例6求不等式x+3＜7的正整数解．解一元一次不等式的一般步骤：（1）去分母：各项都乘以分母的最小公倍数；（2）去括号：注意符号问题；（3）移项：移项要变号；（4）合并同类项：系数相加，字母及字母的指数不变；

（5）系数化为1：不等式两边同除以未知数的系数．（或同乘以未知数系数的倒数）解：去分母，得去括号，得移项、得合并同类项，得两边都除以5，得3(x－3)≥2(8－x)3x－9≥16－2x3x＋2x≥16＋95x≥25x≥5例7利用不等式的性质解不等式．解：移项得：5x-4x>-4-10合并得x>-14例8解不等式5(x+2)>4x-4．去括号得：5x+10>4x-4解：移项得：2x-3x＜-9-6合并得：-x＜-15例9解不等式2（x+3）＜3（x-3）．去括号得：2x+6＜3x-9x＞15系数化为1得：例10解不等式：解：去分母，得

3(2x＋1)＜2(13x－2)－4(6x＋4)

去括号，得

6x＋3＜26x－4－24x－16

移项，得

6x－26x＋24x＜－4－16－3

合并，得

4x＜－23例11当x取何正整数时，代数式的值减的差比1大？解：根据题意，得>1，

2（x＋5）－3（3x－2）>6，

2x＋10－9x＋6>6，

－7x＋16>6，－7x>－10，

得x<所以，当x=1时，满足题意要求．

a>0a=0a<0b>0b＝0b<0ax>b｛x︱x>b/a｝空集空集R｛x︱x<b/a｝ax<b｛x︱x<b/a｝R空集空集｛x︱x>b/a｝一元一次不等式ax>b和ax<b（其中a、b都是已知数）的解集是

条件解集类型一元一次方程一元一次不等式

解法步骤解的情况（1）去分母（2）去括号（3）移项（4）合并同类项（5）系数化为1（1）去分母（2）去括号（3）移项（4）合并同类项（5）系数化为1在(1)与(5)这两步若乘以(或除以)负数，要把不等号方向改变两边同时除以未知数的系数一般只有一个解一般解集含有无数个解一元一次方程与一元一次不等式的解法步骤比较

不等式的性质1

不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变．

不等式的性质2

不等式的两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变．

不等式的性质3

不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．课堂小结解一元一次不等式的一般步骤：（1）去分母：各项都乘以分母的最小公倍数；（2）去括号：注意符号问题；（3）移项：移项要变号；

（4）合并同类项：系数相加，字母及字母的指数不变；

（5）系数化为1：不等式两边同除以未知数的系数．（或同乘以未知数系数的倒数）>><5>11．若-m>6，则m_______－6．2．如果>0，那么xy______0．3．如果a>-2，那么a-b_____-2-b．4．-1.5＜-0.3，两边都除以(-0.3)，得_______．5．－3x≤6，两边都除以－3，得_______．x≥2随堂练习6．已知a>b，c>d，求证a-d>b-c．证明：由a>b知a-b>0，由c＞d知c-d>0∵(a-d)-(b-c)=(a-b)+(c-d)>0∴a-d>b-c7．解不等式3－x＜2x＋6并把它的解集表示在数轴上．解：两边都加上ｘ，得3＜2x+6+x

合