《线性代数》课程教学大纲

PAGEPAGE1线性代数课程教学大纲LINEARALGEBRA学时数：40其中：实验学时：0课外学时：0学分数：2.5适用专业：各有关专业一、课程的性质、目的和任务线性代数是一门公共基础课。通过本课程的学习，使学生理解和掌握矩阵、行列式、线性关系、线性方程组、二次型、线性空间、线性变换等方面的基本概念、基本理论和基本运算技能，为其它课程的学习打下一定的代数基础。同时培养学生的逻辑推理能力、抽象思维能力和自学能力，培养学生的分析问题的逻辑性和严密性。二、课程教学的基本要求（一）矩阵和行列式1.掌握矩阵的概念。2.掌握矩阵的各种运算的定义和所满足的运算律。3.理解矩阵的初等变换的概念。理解矩阵的等价关系及其性质。4.掌握阶行列式的概念与基本性质。5.掌握行列式按行（列）展开法则。6.理解方阵的行列式及其运算规律。7.掌握可逆矩阵和逆矩阵的概念，理解方阵可逆的充要条件一，掌握求逆矩阵的公式法。8.理解克拉默(Cramer)法则，会用于解线性方程组。9.理解齐次线性方程组的有关概念。10.理解分块矩阵的概念，了解分块矩阵的运算规则。（二）矩阵的秩与线性方程组1.理解初等矩阵的概念。了解初等变换与初等矩阵的联系。2.理解方阵可逆的充要条件二、三，掌握求逆矩阵的初等变换法。3.掌握矩阵的秩的概念，掌握用初等变换求矩阵的秩的方法，理解矩阵的秩的基本性质。4.理解线性方程组有解的充要条件。掌握用初等行变换求解线性方程组的做法。（三）向量组的线性相关性1.理解线性组合与线性表示的概念2.掌握线性相关与线性无关的概念和性质3.理解最大无关组与向量组的秩的概念4.掌握线性方程组解的结构（四）相似矩阵与矩阵的对角化1.掌握向量的内积、长度、夹角的概念及性质。2.掌握正交的有关概念。理解施密特(Schimidt)正交化过程。3.理解正交矩阵和正交变换的概念。4.掌握方阵的特征值、特征向量的概念与性质。5.理解相似矩阵的概念和性质。6.理解方阵对角化问题。掌握实对称矩阵对角化的方法。（五）二次型1.理解二次型的概念。2.理解二次型的标准形的概念。了解化二次型为标准形的初等变换法和配方法。掌握化实二次型为标准形的正交变换法。3.理解正定二次型、正定矩阵的概念和充要条件。（六）线性空间1.掌握线性空间的概念及其性质。2.掌握线性空间的维数、基、坐标的概念。3.理解向量空间同构的概念。4.理解基变换公式、过渡矩阵概念、坐标变换公式。三、课程的教学内容、重点和难点第一章矩阵和行列式一、矩阵（一）矩阵的概念（二）一些特殊的矩阵（三）同型矩阵与矩阵的相等二、矩阵的运算及应用举例（一）矩阵的加法、减法和数与矩阵的乘法（二）矩阵的乘法与线性方程组（三）矩阵的转置三、矩阵的初等变换与矩阵的等价（一）矩阵的初等变换的定义（二）矩阵的等价（三）行阶梯形和行最简形四、行列式（一）二阶与三阶行列式（二）排列及其逆序数（三）阶行列式的定义（四）行列式的性质和计算（五）方阵的行列式五、可逆矩阵（一）可逆矩阵的概念与性质（二）方阵可逆充要条件一及公式法求逆矩阵（三）克拉默(Cramer)法则（四）矩阵方程六、分块矩阵（一）分块矩阵的概念（二）分块矩阵的运算重点：重点：矩阵的初等变换，行列式的性质，行列式按行（列）展开。难点：行列式按行（列）展开。第二章矩阵的秩与线性方程组一、初等矩阵（一）初等矩阵的概念（二）初等矩阵与初等变换的联系（三）方阵可逆的充要条件二、三及初等变换法求逆矩阵二、矩阵的秩（一）矩阵的阶子式的概念（二）矩阵的秩的概念（三）用初等变换求矩阵的秩（四）矩阵的秩的一些基本性质三、线性方程组的求解（一）线性方程组有解的判别（二）齐次线性方程组的求解（三）非齐次线性方程组的求解重点：重点：求逆矩阵的初等变换法，用初等变换求矩阵的秩，线性方程组有解的判别。难点：初等变换和初等矩阵的关系。第三章向量组的线性相关性一、向量与向量组（一）由元有序数组构成的向量（二）向量组及其线性组合（三）两向量组等价的概念及等价的性质二、向量组的线性相关性（一）线性相关与线性无关的概念与性质（二）线性相关与线性无关的判别（三）向量组与其延长向量组的线性相关性三、向量组的秩（一）极大无关组与向量组的秩（二）矩阵的秩与它的行（列）向量组的秩四、线性方程组的解的结构（一）齐次线性方程组的解的结构（二）非齐次线性方程组的解的结构重点：重点：线性相关与线性无关的概念与性质，线性方程组的解的结构。难点：线性相关与线性无关的判别。第四章相似矩阵与矩阵的对角化一、向量的内积与正交矩阵（一）向量的内积（二）正交向量组与规范正交组（三）正交矩阵二、方阵的特征值与特征向量（一）方阵的特征值、特征向量和特征多项式的概念（二）方阵的特征值、特征向量的性质与计算三、相似矩阵（一）相似矩阵的概念和基本性质（二）方阵的对角化问题四、实对称矩阵的对角化（一）实对称矩阵的特征值的性质（二）实对称矩阵的对角化重点：重点：方阵的特征值、特征向量的性质与计算，实对称矩阵的对角化。难点：实对称矩阵的对角化。第五章二次型一、二次型及其矩阵表示（一）二次型的概念（二）二次型的矩阵形式（三）矩阵的合同二、化二次型为标准形（一）用配方法化二次型为标准形（二）用初等变换法化二次型为标准形（三）用正交变换法化二次型为标准形（四）实二次型的规范形三、正定二次型（一）正定二次型与正定矩阵的概念（二）正定二次型与正定矩阵的判别重点：重点：用初等变换法、正交变换法化二次型为标准形，正定矩阵的判别。难点：正定矩阵的判别。第六章线性空间一、线性空间的定义与性质（一）线性空间的概念与例子（二）线性空间的一些基本性质（三）子空间二、维数、基与坐标（一）线性空间中向量的线性关系（二）生成子空间（三）基、维数与坐标三、基变换与坐标变换（一）基变换与过渡矩阵（二）坐标变换公式四、线性空间的同构（一）满射、单射与双射（二）同构映射与线性空间的同构重点：重点：维数、基与坐标，过渡矩阵，坐标变换公式。难点：基变换与过渡矩阵。四、课程各教学环节要求（一）注意指导课前预习通过指导课前预习，进一步培养学生的自学能力，因为在大学学习，很重要的一点是学会自学。（二）课堂教学宜多使用电化教学设备行列式、矩阵、线性方程组的书写都需要占用不少时间，故课堂教学宜多使用电化教学设备，提高课堂教学的效率，把时间用在分析、讲解上。（三）习题课和课外作业注意培养学生的严谨性本课程的例题与习题有相当部分是论证，对学生的逻辑性、严谨性的培养是一个很好的机会。教师要注意积累学生在完成课外作业所暴露出来的论证问题方面的缺陷，在习题课除了典型例题分析外，应注意评讲学生在论证问题时的逻辑性、严谨性的缺陷。（四）适当组织课堂讨论适当组织课堂讨论可以提高学习兴趣，且有的问题可以越辩越明，学生在争辩中发现的问题是印象更深刻的。（五）考试宜采用闭卷考试方式。由于本课程的基本概念、基本运算技能是需要学生记忆的。而由于知识所限，较难有应用的课题，故不宜用开卷考试或小论文等形式考核。五、学时分配教学内容各教学环节学时分配作业题量备注章节主要内容讲授实验讨论习题课外其它小计一矩阵和行列式921117二矩阵的秩与线性方程组5169三向量组的线性相关性61711四相似矩阵与矩阵的对角化71812五二次型4046六线性空间4044合计3554059六、课程与其它课程的联系线性代数课程是高等学校有关专业的一门公共基础课。通过这门课程的学习，将为有关专业的专业课学习打下一定的代数基础。这门课程的学习，基本上只需要有中等数学的基础，因而可以尽早开设，以供学习其它课程时使用。七、教材与教学参考书（一）教材同济大学数学系.线性代数及其应用（第二版）.北京：高等教育出版社，2008。（二）教学参考书[1]同济大