【解析】2023年四川省中考数学真题分类汇编：图形认识初步、相交线与平行线

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2023年四川省中考数学真题分类汇编：图形认识初步、相交线与平行线

一、选择题

1．（2023·广元）如图，是的直径，点C，D在上，连接，若，则的度数是（）

A．B．C．D．

【答案】C

【知识点】圆周角定理；邻补角

【解析】【解答】解：∵是的直径，∠BOD=124°，

∴∠AOD=180°-∠BOD=56°，

∴∠ACD=∠AOD=×56°=28°；

故答案为：C.

【分析】利用邻补角的定义求出∠AOD的度数，再利用圆周角定理可得∠ACD=∠AOD，继而得解.

2．（2023·泸州）如图，，若，则的度数为（）

A．B．C．D．

【答案】A

【知识点】平行线的性质

【解析】【解答】解：∵AB//CD，∠D=55°，

∴∠1=180°-55°=125°，

故答案为：A.

【分析】结合图形，利用平行线的性质计算求解即可。

3．（2023·内江）如图，在中，点D、E为边的三等分点，点F、G在边上，，点H为与的交点．若，则的长为（）

A．1B．C．2D．3

【答案】C

【知识点】平行线的性质；相似三角形的判定与性质；三角形的中位线定理

【解析】【解答】解：∵点D、E为边的三等分点，，

∴HF=HA，DA=EB=DE，FB=FG=GC，

∴AB=3BE，DH为△FEA的中位线，

∴，

∵CA∥FE，

∴∠CAB=∠FEB，∠ACB=∠EFB，

∴△CAB∽△FEB，

∴，

解得FE=4，

∴DH=2，

故答案为：C

【分析】先根据题意结合平行的性质即可得到HF=HA，DA=EB=DE，FB=FG=GC，进而得到AB=3BE，DH为△FEA的中位线，再根据三角形中位线的性质即可得到，进而根据平行线的性质结合相似三角形的判定与性质即可得到EF，进而即可求解。

4．（2023·眉山）如图，切于点B，连接交于点C，交于点D，连接，若，则的度数为（）

A．B．C．D．

【答案】C

【知识点】平行线的性质；三角形内角和定理；切线的性质

【解析】【解答】解：连接BO，如图所示：

∵切于点B，

∴∠OBA=90°，

∵，，

∴∠BDC=25°，

∴∠COB=2∠CDB=50°，

∴∠A=90°-50°=40°，

故答案为：C

【分析】连接BO，先根据圆的切线即可得到∠OBA=90°，再根据平行线的性质结合三角形的内角和定理即可求解。

5．（2023·宜宾）如图，，且，，则等于（）

A．B．C．D．

【答案】D

【知识点】平行线的性质；三角形的外角性质

【解析】【解答】解：

∵，

∴∠A=∠ACD=40°，

∵∠ACD为△DCE的外角，

∴∠E=40°-24°=16°，

故答案为：D

【分析】先根据平行线的性质即可得到∠A=∠ACD=40°，再根据三角形外角的性质即可求解。

6．（2023·达州）如图，，平分，则（）

A．B．C．D．

【答案】B

【知识点】平行线的性质；三角形内角和定理；角平分线的性质

【解析】【解答】解：∵，

∴，

∵平分，

∴∠1=∠ACE=35°，

∴∠BCD=70°，

∴∠B=180°-60°-70°=50°，

故答案为：B

【分析】先根据平行线的性质得到，再根据角平分线的性质得到∠1=∠ACE=35°，最后根据三角形内角和定理即可求解。

7．（2023·达州）下列图形中，是长方体表面展开图的是（）

A．B．

C．D．

【答案】C

【知识点】几何体的展开图

【解析】【解答】解：

A、图中有7个面，不为长方体，A不符合题意；

B、该展开图无法还原成长方体，B不符合题意；

C、该展开图可以还原成长方体，C符合题意；

D、图中只有5个面，不为长方体，D不符合题意；

故答案为：C

【分析】根据长方体有6个面结合题意即可判断。

8．（2023·凉山）光线在不同介质中的传播速度是不同的，因此光线从水中射向空气时，要发生折射．由于折射率相同，所以在水中平行的光线，在空气中也是平行的．如图，，则（）

A．B．C．D．

【答案】C

【知识点】平行线的性质

【解析】【解答】解：由题意得AB∥CD，∠1=∠3，

∴∠2＋∠4=180°，

∵，

∴∠4=60°，

∴，

故答案为：C

【分析】根据平行线的性质判断出∠1=∠3，∠2＋∠4=180°，再结合题意即可求解。

9．（2023·自贡）如图，某人沿路线行走，与方向相同，，则（）

A．B．C．D．

【答案】C

【知识点】平行线的性质

【解析】【解答】解：∵与方向相同，

∴AB∥CD，

∴，

故答案为：C

【分析】根据题意即可得到AB∥CD，再根据平行线的性质即可求解。

10．（2023·自贡）如图，分别经过原点和点的动直线，夹角，点是中点，连接，则的最大值是（）

A．B．C．D．

【答案】A

【知识点】平行线的性质；三角形的面积；勾股定理；相似三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义；三角形的中位线定理

【解析】【解答】解：作△KOA为等边三角形，取D（8，0），则AM为△OBD的中位线，

∴，OK=OA=AK=4，AD=4，OD=8，

∴∠OKD=90°，，

∵OA=4，，

∴点B位于以k为圆心的圆上，

∴KB=OK=4，

∴当BD与圆K相切时，最大，

∴此时∠KBD=90°，

连接OK并延长与BD的延长线交于点N，过点N作NG⊥OD于点G，

由勾股定理得，，

∵∠KBD=∠KBN=90°，∠OKD=∠DKN=90°，

∴∠BKD＋∠NKB=90°，∠BKN+∠KNB=90°，

∴∠KNB=∠BKD，

∴△NKB∽△BKD，

∴，

∴KN=，

由勾股定理得，

∴（等面积法），

∴，

∴=

故答案为：A

【分析】作△KOA为等边三角形，取D（8，0），则AM为△OBD的中位线，根据中位线的性质和等边三角形的性质即可得到，OK=OA=AK=4，AD=4，OD=8，根据直角三角形斜边上的中线的性质结合平行线的性质即可得到∠OKD=90°，，再结合题意即可判断点B位于以k为圆心的圆上，且当BD与圆K相切时，最大，连接OK并延长与BD的延长线交于点N，过点N作NG⊥OD于点G，先根据勾股定理即可得到DK和BD的长，接着运用相似三角形的判定与性质证明△NKB∽△BKD，进而即可得到KN的长，再运用勾股定理即可得到BN的长，进而运用三角形的等面积法即可得到NG的长，最后根据锐角三角形函数的定义即可求解。

二、填空题

11．（2023·广元）如图，，直线l与直线a，b分别交于B，A两点，分别以点A，B为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点E，F，作直线，分别交直线a，b于点C，D，连接AC，若，则的度数为．

【答案】

【知识点】平行线的性质；三角形内角和定理；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质

【解析】【解答】解：由作图知CD垂直平分AB，

∴CA=CB，

∴∠CAB=∠CBA，

∵CD⊥AB，

∴∠ACE=∠BCE，

∵，，

∴∠BCE=，

∴∠ACB=2∠BCE=68°，

∴∠CAB=（180°-∠BCA）=56°；

故答案为：56°.

【分析】由线段垂直平分线的性质可得CA=CB，利用等腰三角形的性质可得∠CAB=∠CBA，∠ACE=∠BCE，由平行线的性质可得∠BCE=，从而得出∠ACB=2∠BCE=68°，根据等腰三角形的性质及三角形内角和即可求出∠CAB的度数.

12．（2023·广安）如图，圆柱形玻璃杯的杯高为，底面周长为，在杯内壁离杯底的点处有一滴蜂蜜，此时，一只蚂蚁正好在杯外壁上，它在离杯上沿，且与蜂蜜相对的点处，则蚂蚁从外壁处到内壁处所走的最短路程为．（杯壁厚度不计）

【答案】10

【知识点】几何体的展开图；勾股定理；轴对称的性质

【解析】【解答】解：将玻璃杯展开，作点B关于FE的对称点B'，过点B'作B'D⊥AE交AE的延长线于点D，连接AB'，如图所示：

由题意得AE=5cm，DE=1cm，

∴AD=6cm，

∴B'D=8cm，

由勾股定理得，

故答案为：10

【分析】先将玻璃杯展开，作点B关于FE的对称点B'，过点B'作B'D⊥AE交AE的延长线于点D，连接AB'，在运用轴对称的性质即可得到AE=5cm，DE=1cm，B'D=8cm，AD=6cm，进而根据勾股定理即可求解。

13．（2023·乐山）如图，点O在直线AB上，OD是的平分线，若，则的度数为．

【答案】

【知识点】角平分线的性质；邻补角

【解析】【解答】解：∵，

∴∠BOC=40°，

∵OD是的平分线，

∴，

故答案为：20°

【分析】先根据邻补角的性质即可得到∠BOC=40°，再根据角平分线的性质即可求解。

14．（2023·成都）如图，在中，D是边AB上一点，按以下步骤作图：①以点A为圆心，以适当长为半径作弧，分别交AB，AC于点M，N；②以点D为圆心，以AM长为半径作弧，交DB于点；③以点为圆心，以MN长为半径作弧，在内部交前面的弧于点；④过点作射线交BC于点E.若与四边形ACED的面积比为4：21，则的值为.

【答案】

【知识点】平行线的判定；相似三角形的性质

【解析】【解答】解：由作法可得：∠MAN=∠M'DN'，

∴DE//AC，

∵与四边形ACED的面积比为4：21，

∴与△BAC的面积比为4：25，

∴，

∴，

∴，

故答案为：.

【分析】根据作法求出∠MAN=∠M'DN'，再求出与△BAC的面积比为4：25，最后求解即可。

三、解答题

15．（2023·泸州）如图，点在线段上，，，．求证：．

【答案】证明：∵，

∴，

∴在和中，

，

∴，

∴．

【知识点】平行线的性质；三角形全等的判定（SAS）

【解析】【分析】根据平行线的性质求出，再利用全等三角形的判定与性质证明求解即可。

16．（2023·广安）如图，在四边形中，与交于点，，垂足分别为点，且．求证：四边形是平行四边形．

【答案】证明：，，

，

又，

，

，

∵，

，

四边形是平行四边形．

【知识点】平行线的判定；三角形全等及其性质；三角形全等的判定；等腰三角形的判定与性质；平行四边形的判定

【解析】【分析】先根据题意得到，进而运用三角形全等的判定与性质证明，进而得到，再运用等腰三角形的性质即可得到，进而运用平行线的判定和平行四边形的判定即可求解。

17．（2023·乐山）如图，已知AB与CD相交于点O，，求证：．

【答案】解：，

在和中，

，

．

．

【知识点】平行线的性质；三角形全等及其性质；三角形全等的判定

【解析】【分析】先根据平行的性质得到，再根据三角形全等的判定与性质证明，进而即可求解。

18．（2023·宜宾）已知：如图，，，．求证：．

【答案】证明：∵，

∴，

∵，

∴

即

在与中

，

∴，

∴．

【知识点】平行线的性质；三角形全等及其性质；三角形全等的判定

【解析】【分析】先根据平行线的性质即可得到，再根据题意即可得到，再根据三角形全等的判定与性质即可求解。

四、综合题

19．（2023·内江）如图，在中，D是的中点，E是的中点，过点A作交的延长线于点F．

（1）求证：；

（2）连接，若，求证：四边形是矩形．

【答案】（1）证明：∵，

∴，

∵点E为的中点，

∴，

在和中，

，

∴；

∴，

∵，

∴；

（2）证明：，

∴四边形是平行四边形，

∵，

∴，

∴平行四边形是矩形．

【知识点】平行线的性质；三角形全等及其性质；三角形全等的判定；平行四边形的判定；矩形的判定

【解析】【分析】（1）先根据平行线的性质即可得到，进而根据题意得到，运用三角形全等的判定与性质证明即可得到，进而结合题意即可求解；

（2）先根据平行四边形的判定证明四边形是平行四边形，再根据题意结合矩形的判定即可求解。

20．（2023·广安）如图，以的直角边为直径作，交斜边于点，点是的中点，连接．

（1）求证：是的切线．

（2）若，求的长．

（3）求证：．

【答案】（1）证明：连接，

在中，，

是的直径，

即，

在中，点是的中点，

，

又，

，

，

在上

是的切线．

（2）解：由（1）中结论，得，

在中，，

，

，

，

，

，

；

（3）证明：，

，

，

，

，

，

由（1）中结论，得，

，

，

即．

【知识点】平行线的判定与性质；三角形全等及其性质；勾股定理；切线的判定；相似三角形的判定与性质

【解析】【分析】（1）连接，先根据等腰直角三角形的性质得到，再运用三角形全等的判定与性质证明，进而即可得到，再根据切线的判定即可求解；

（2）先运用锐角三角函数的定义得到，再运用勾股定理即可求出CD的长，再根据相似三角形的判定与性质即可得到，进而即可求解；

（3）先根据平行线的判定与性质得到，再根据相似三角形的判定与性质结合三角形全等的性质得到，进而即可求解。

21．（2023·南充）如图，在中，点，在对角线上，．求证：

（1）；

（2）．

【答案】（1）证明：四边形为平行四边形，

，，，

．

，，

．

．

．

（2）证明：由（1）得，

．

，，

．

．

【知识点】平行线的判定；三角形全等及其性质；三角形全等的判定；平行四边形的性质

【解析】【分析】（1）先根据平行四边形的性质得到，，，进而根据平行线的性质得到，再运用三角形全等的判定与性质证明，进而即可求解；

（2）根据三角形全等的性质即可得到，再结合题意根据平行线的判定即可求解。

22．（2023·眉山）如图，中，点E是的中点，连接并延长交的延长线于点F．

（1）求证：；

（2）点G是线段上一点，满足，交于点H，若，求的长．

【答案】（1）证明：四边形是平行四边形，

，，

，

是的中点，

，

，

，

∴，

；

（2）解：四边形是平行四边形，

，，

，，

，

，

，

，

，

，

设，则，

可得方程，

解得，

即的长为．

【知识点】平行线的性质；三角形全等及其性质；三角形全等的判定；平行四边形的性质；相似三角形的判定与性质

【解析】【分析】（1）先根据平行四边形的性质得到，，进而根据平行线的性质得到，再运用三角形全等的判定与性质结合题意即可求解；

（2）先根据平行四边形的性质得到，，再根据平行线的性质得到，，进而运用相似三角形的判定与性质证明，进而得到，设，则，根据已知条件即可列出分式方程，进而即可求解。

23．（2023·遂宁）如图，四边形中，，点O为对角线的中点，过点O的直线l分别与、所在的直线相交于点E、F．（点E不与点D重合）

（1）求证：；

（2）当直线时，连接、，试判断四边形的形状，并说明理由．

【答案】（1）证明：∵点O为对角线的中点，

∴，

∵，

∴，，

在和中，

，

∴；

（2）解：四边形为菱形，理由如下：

连接、，如图所示：

根据解析（1）可知，，

∴，

∵，

∴四边形为平行四边形，

∵，即，

∴四边形为菱形．

【知识点】平行线的性质；三角形全等及其性质；三角形全等的判定；平行四边形的判定；菱形的判定

【解析】【分析】（1）先根据题意结合平行线的性质即可得到，，，再根据三角形全等的判定即可求解；

（2）四边形为菱形，连接、，先根据三角形全等的性质即可得到，再根据平行四边形的判定结合菱形的判定即可求解。

24．（2023·成都）如图，以的边AC为直径作，交BC边于点D，过点C作交于点E，连接AD，DE，.

（1）求证：；

（2）若，，求AB和DE的长.

【答案】（1）略；

（2），.

【知识点】平行线的性质；勾股定理；圆的综合题

【解析】【解答】（1）证明：∵CE//AB，

∴∠ACE=∠BAC，

∵弧AE=弧AE，

∴∠ADE=∠ACE，

∴∠BAC=∠ADE，

∵∠B=∠ADE，

∴∠B=∠BAC，

∴AC=BC；

（2）解：如图所示：连接AE，过点E作EF⊥AD交AD于点F，

∴∠DAE+∠DCE=180°，DF=，

∵CE//AB，

∴∠B+∠DCE=180°，

∴∠DAE=∠B，

∵∠B=∠ADE，

∴∠ADE=∠DAE，

∴弧AE=弧DE，

∵AC为圆O的直径，

∴∠ADC=90°，

∴∠ADB=90°，

∴，

令BD=x，则AD=2x，

∵CD=3，

∴BC=x+3，

∴AC=x+3，

∵，

∴，

解得：x=2或x=0（舍去），

∴BD=2，AD=4，DF=2，

∴AB=，

∵，∠B=∠ADE，

∴，

∴，

∴.

【分析】（1）根据平行线的性质求出∠ACE=∠BAC，再求出∠ADE=∠ACE，最后证明即可；

（2）先作图，再根据平行线的性质求出∠B+∠DCE=180°，最后利用锐角三角函数和勾股定理等计算求解即可。

25．（2023·内江）如图，以线段为直径作，交射线于点C，平分交于点D，过点D作直线，交的延长线于点E，交的延长线于点F．连接并延长交的延长线于点M．

（1）求证：直线是的切线；

（2）当时，判断的形状，并说明理由；

（3）在（2）的条件下，，连接交于点P，求的长．

【答案】（1）证明：连接，

∵平分，

∴，

∵，

∴，

∴，

∴，

∵，

∴，

∵是的半径，

∴直线是的切线；

（2）解：是等边三角形，理由如下：

∵，，

∴，

∴，

∴，

∵为的直径，

∴，

∴，

∴，

∴是等边三角形；

（3）解：∵是等边三角形，

∴，则，

∵，

∴，

∴，

∵为的直径，，

∴，

∵，，即，

∴．

【知识点】平行线的判定与性质；角平分线的性质；等边三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；圆周角定理；切线的判定

【解析】【分析】（1）连接，先根据角平分线的性质即可得到，再根据等腰三角形的性质即可得到，进而得到，再根据平行线的判定与性质即可得到，进而根据切线的判定即可求解；

（2）是等边三角形，理由如下：根据题意得到，进而根据圆周角定理即可得到，再结合题意得到，进而根据等边三角形的判定即可求解；

（3）先根据等边三角形的性质即可得到，则，进而根据含30°角的直角三角形的性质即可得到，进而得到，再运用特殊角的三角函数值结合锐角三角函数的定义即可求解。

26．（2023·南充）如图，与相切于点A，半径，与相交于点D，连接．

（1）求证：；

（2）若，求的长．

【答案】（1）证明：连接，如图所示：

∵与相切于点A，

∴，

∵，

∴，

∴，

∵，

∴，

∴；

（2）解：过点A作，过点C作交的延长线于点F，如图所示：

由（1）得，

∴为等腰直角三角形，

∵，

∴，

∵，

∴，，

由（1）得，

∵，

∴四边形为矩形，

∵，

∴四边形为正方形，

∴，

∵，

∴，

∴即，

解得：，

∴．

【知识点】平行线的性质；勾股定理；正方形的判定与性质；切线的性质；相似三角形的判定与性质；等腰直角三角形

【解析】【分析】（1）连接，先根据切线的性质得到，再根据平行线的性质得到，进而根据等腰直角三角形的性质即可求解；

（2）过点A作，过点C作交的延长线于点F，根据等腰直角三角形的性质即可得到，再运用解直角三角形和勾股定理即可得到，，再根据矩形的判定、正方形的判定与性质即可得到，进而根据相似三角形的判定与性质证明，进而即可得到，从而即可求解。

27．（2023·眉山）如图，中，以为直径的交于点E．平分，过点E作于点D，延长交的延长线于点P．

（1）求证：是的切线；

（2）若，求的长．

【答案】（1）证明：如图，连接，

，

，

平分，

，

，

，

，

，

是的切线；

（2）解：

设，则，

，解得，

，

，

根据勾股定理可得，，

，

是直径，

，

，

，

，

，

，

．

【知识点】平行线的判定与性质；角平分线的性质；勾股定理；圆周角定理；切线的判定；相似三角形的判定与性质；解直角三角形

【解析】【分析】（1）连接，先根据等腰三角形的性质即可得到，再根据角平分线的性质结合题意即可得到，再根据平行线的判定与性质即可得到，最后根据切线的判定即可求解；

（2）设，则，先运用解直角三角形的知识即可求出x的值，再根据勾股定理即可得到PE和DP的长，进而得到ED的长，再根据圆周角定理即可得到，进而结合题意即可得到，再根据相似三角形的判定与性质即可求解。

28．（2023·眉山）在平面直角坐标系中，已知抛物线与x轴交于点两点，与y轴交于点，点P是抛物线上的一个动点．

（1）求抛物线的表达式；

（2）当点P在直线上方的抛物线上时，连接交于点D．如图1．当的值最大时，求点P的坐标及的最大值；

（3）过点P作x轴的垂线交直线于点M，连接，将沿直线翻折，当点M的对应点恰好落在y轴上时，请直接写出此时点M的坐标．

【答案】（1）解：把，代入得：

，

解得：，

∴抛物线的解析式为．

（2）解：过点P作轴，交于点Q，如图所示：

设直线的解析式为，把，代入得：

，

解得：，

∴直线的解析式为，

设点P的坐标为，则点，

∵点P在直线上方的抛物线上，

∴，

∵轴，

∴，

∴

∵，

∴

，

∴当时，有最大值，

此时点P的坐标为．

（3）点M的坐标为：，

【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求二次函数解析式；平行线的性质；相似三角形的判定与性质；二次函数y=ax^2+bx+c的图象；二次函数y=ax^2+bx+c的性质；直角坐标系内两点的距离公式

【解析】【解答】

解：根据折叠可知，，，，

∵轴，

∴，

∴，

∴，

∴，

设，，

，

，

∵，

∴，

∴，

整理得：，

∴或，

解得：或或，

∵当时，点P、M、C、四点重合，不存在，

∴，

∴点M的坐标为，．

【分析】（1）直接根据待定系数法求二次函数解析式即可求解；

（2）过点P作轴，交于点Q，先根据待定系数法求一次函数即可得到直线AC的解析式，设点P的坐标为，则点，进而根据相似三角形的判定与性质证明，从而得到，再结合题意即可求解；

（3）先根据折叠的性质即可得到，，，再根据平行线的性质即可得到，进而得到，设，，根据坐标系中两点间的距离公式结合题意即可得到或或，进而即可求解。

29．（2023·遂宁）如图，四边形内接于，为的直径，，过点的直线l交的延长线于点，交的延长线于点，且．

（1）求证：是的切线；

（2）求证：；

（3）当，时，求的长．

【答案】（1）证明：连接，，如图：

∵，

∴，

∵四边形内接于，为的直径，

∴，

∴，

∴是等腰三角形，

又∵，

∴垂直平分，

∵，

∴，

∴，

即是的切线；

（2）证明：连接，如图：

∵

∴，

∵，

∴，，

∴，

∴，

∵，，，

∴，

∴，

即，

又∵，

∴；

（3）解：令与交于点，如图：

∵，

∴，

∵，

∴，

∴，

∵，

∴，

∴，

在中，，

∴，

在中，，

∵，，，

∴四边形为矩形，

∴，

∴

∵，

∴，

∴

即，

∴，

∴．

【知识点】平行线的判定与性质；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的判定与性质；圆周角定理；圆内接四边形的性质；相似三角形的判定与性质

【解析】【分析】（1）连接，，先根据等腰三角形的性质即可得到，再根据圆内角多边形的性质结合圆周角定理即可得到，，进而根据等腰三角形的判定与性质得到，再运用垂直平分线的性质结合切线的判定即可求解；

（2）连接，先根据圆的性质即可得到，进而根据平行线的判定与性质即可得到，，再运用相似三角形的判定与性质即可得到，进而结合题意即可求解；

（3）令与交于点，先根据锐角三角函数的定义即可得到，进而得到HD的长，再运用勾股定理即可得到AH和CB的长，进而根据矩形的判定与性质即可得到，再根据相似三角形的判定与性质即可得到BM的长，进而即可求解。

30．（2023·达州）

（1）如图①，在矩形的边上取一点，将沿翻折，使点落在上处，若，求的值；

（2）如图②，在矩形的边上取一点，将四边形沿翻折，使点落在的延长线上处，若，求的值；

（3）如图③，在中，，垂足为点，过点作交于点，连接，且满足，直接写出的值．

【答案】（1）解：如图①，∵四边形是矩形，

∴，，，

由翻折性质得，，

在中，，

∴，

设，则，

在中，由勾股定理得，

∴，解得，

∴，，

∴；

（2）如图②，∵四边形是矩形，

∴，，，

由翻折性质得，，，，

∴

∴，

∴，

∴，即，又，

∴，

∴，

在中，，

∴，则，

∴；

（3）∵，，

∴，

∴，

∵，

∴，

∴，则；

设，，

过点D作于H，如图③，则，

∴；

∵，

∴，

∴，

又∵，，

∴，

∴，

在中，由勾股定理得，

∴，解得，

∴，，

在中，，

在图③中，过B作于G，则，

∴，

∴，

∴，，

∵，，

∴，则，

在中，，，

∵，

∴，则，

∴．

【知识点】平行线的判定与性质；三角形全等及其性质；勾股定理；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）；相似三角形的判定与性质

【解析】【分析】（1）根据矩形的性质、折叠的性质、勾股定理即可得到，设，则，再根据勾股定理结合题意即可求解；

（2）先根据矩形的性质和折叠性质得到，再根据相似三角形的判定与性质证明，进而得到，再结合勾股定理即可求解。

（3）先根据相似三角形的判定与性质得到，，，设，，过点D作于H，再根据三角形全等判定证明，再根据三角形全等的性质结合勾股定理得到k的值，进而即可求出AC的值，过B作于G，根据平行线的判定与性质得到，再根据锐角三角函数的性质得到，，再结合题意运用边的转化即可求解。

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2023年四川省中考数学真题分类汇编：图形认识初步、相交线与平行线

一、选择题

1．（2023·广元）如图，是的直径，点C，D在上，连接，若，则的度数是（）

A．B．C．D．

2．（2023·泸州）如图，，若，则的度数为（）

A．B．C．D．

3．（2023·内江）如图，在中，点D、E为边的三等分点，点F、G在边上，，点H为与的交点．若，则的长为（）

A．1B．C．2D．3

4．（2023·眉山）如图，切于点B，连接交于点C，交于点D，连接，若，则的度数为（）

A．B．C．D．

5．（2023·宜宾）如图，，且，，则等于（）

A．B．C．D．

6．（2023·达州）如图，，平分，则（）

A．B．C．D．

7．（2023·达州）下列图形中，是长方体表面展开图的是（）

A．B．

C．D．

8．（2023·凉山）光线在不同介质中的传播速度是不同的，因此光线从水中射向空气时，要发生折射．由于折射率相同，所以在水中平行的光线，在空气中也是平行的．如图，，则（）

A．B．C．D．

9．（2023·自贡）如图，某人沿路线行走，与方向相同，，则（）

A．B．C．D．

10．（2023·自贡）如图，分别经过原点和点的动直线，夹角，点是中点，连接，则的最大值是（）

A．B．C．D．

二、填空题

11．（2023·广元）如图，，直线l与直线a，b分别交于B，A两点，分别以点A，B为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点E，F，作直线，分别交直线a，b于点C，D，连接AC，若，则的度数为．

12．（2023·广安）如图，圆柱形玻璃杯的杯高为，底面周长为，在杯内壁离杯底的点处有一滴蜂蜜，此时，一只蚂蚁正好在杯外壁上，它在离杯上沿，且与蜂蜜相对的点处，则蚂蚁从外壁处到内壁处所走的最短路程为．（杯壁厚度不计）

13．（2023·乐山）如图，点O在直线AB上，OD是的平分线，若，则的度数为．

14．（2023·成都）如图，在中，D是边AB上一点，按以下步骤作图：①以点A为圆心，以适当长为半径作弧，分别交AB，AC于点M，N；②以点D为圆心，以AM长为半径作弧，交DB于点；③以点为圆心，以MN长为半径作弧，在内部交前面的弧于点；④过点作射线交BC于点E.若与四边形ACED的面积比为4：21，则的值为.

三、解答题

15．（2023·泸州）如图，点在线段上，，，．求证：．

16．（2023·广安）如图，在四边形中，与交于点，，垂足分别为点，且．求证：四边形是平行四边形．

17．（2023·乐山）如图，已知AB与CD相交于点O，，求证：．

18．（2023·宜宾）已知：如图，，，．求证：．

四、综合题

19．（2023·内江）如图，在中，D是的中点，E是的中点，过点A作交的延长线于点F．

（1）求证：；

（2）连接，若，求证：四边形是矩形．

20．（2023·广安）如图，以的直角边为直径作，交斜边于点，点是的中点，连接．

（1）求证：是的切线．

（2）若，求的长．

（3）求证：．

21．（2023·南充）如图，在中，点，在对角线上，．求证：

（1）；

（2）．

22．（2023·眉山）如图，中，点E是的中点，连接并延长交的延长线于点F．

（1）求证：；

（2）点G是线段上一点，满足，交于点H，若，求的长．

23．（2023·遂宁）如图，四边形中，，点O为对角线的中点，过点O的直线l分别与、所在的直线相交于点E、F．（点E不与点D重合）

（1）求证：；

（2）当直线时，连接、，试判断四边形的形状，并说明理由．

24．（2023·成都）如图，以的边AC为直径作，交BC边于点D，过点C作交于点E，连接AD，DE，.

（1）求证：；

（2）若，，求AB和DE的长.

25．（2023·内江）如图，以线段为直径作，交射线于点C，平分交于点D，过点D作直线，交的延长线于点E，交的延长线于点F．连接并延长交的延长线于点M．

（1）求证：直线是的切线；

（2）当时，判断的形状，并说明理由；

（3）在（2）的条件下，，连接交于点P，求的长．

26．（2023·南充）如图，与相切于点A，半径，与相交于点D，连接．

（1）求证：；

（2）若，求的长．

27．（2023·眉山）如图，中，以为直径的交于点E．平分，过点E作于点D，延长交的延长线于点P．

（1）求证：是的切线；

（2）若，求的长．

28．（2023·眉山）在平面直角坐标系中，已知抛物线与x轴交于点两点，与y轴交于点，点P是抛物线上的一个动点．

（1）求抛物线的表达式；

（2）当点P在直线上方的抛物线上时，连接交于点D．如图1．当的值最大时，求点P的坐标及的最大值；

（3）过点P作x轴的垂线交直线于点M，连接，将沿直线翻折，当点M的对应点恰好落在y轴上时，请直接写出此时点M的坐标．

29．（2023·遂宁）如图，四边形内接于，为的直径，，过点的直线l交的延长线于点，交的延长线于点，且．

（1）求证：是的切线；

（2）求证：；

（3）当，时，求的长．

30．（2023·达州）

（1）如图①，在矩形的边上取一点，将沿翻折，使点落在上处，若，求的值；

（2）如图②，在矩形的边上取一点，将四边形沿翻折，使点落在的延长线上处，若，求的值；

（3）如图③，在中，，垂足为点，过点作交于点，连接，且满足，直接写出的值．

答案解析部分

1．【答案】C

【知识点】圆周角定理；邻补角

【解析】【解答】解：∵是的直径，∠BOD=124°，

∴∠AOD=180°-∠BOD=56°，

∴∠ACD=∠AOD=×56°=28°；

故答案为：C.

【分析】利用邻补角的定义求出∠AOD的度数，再利用圆周角定理可得∠ACD=∠AOD，继而得解.

2．【答案】A

【知识点】平行线的性质

【解析】【解答】解：∵AB//CD，∠D=55°，

∴∠1=180°-55°=125°，

故答案为：A.

【分析】结合图形，利用平行线的性质计算求解即可。

3．【答案】C

【知识点】平行线的性质；相似三角形的判定与性质；三角形的中位线定理

【解析】【解答】解：∵点D、E为边的三等分点，，

∴HF=HA，DA=EB=DE，FB=FG=GC，

∴AB=3BE，DH为△FEA的中位线，

∴，

∵CA∥FE，

∴∠CAB=∠FEB，∠ACB=∠EFB，

∴△CAB∽△FEB，

∴，

解得FE=4，

∴DH=2，

故答案为：C

【分析】先根据题意结合平行的性质即可得到HF=HA，DA=EB=DE，FB=FG=GC，进而得到AB=3BE，DH为△FEA的中位线，再根据三角形中位线的性质即可得到，进而根据平行线的性质结合相似三角形的判定与性质即可得到EF，进而即可求解。

4．【答案】C

【知识点】平行线的性质；三角形内角和定理；切线的性质

【解析】【解答】解：连接BO，如图所示：

∵切于点B，

∴∠OBA=90°，

∵，，

∴∠BDC=25°，

∴∠COB=2∠CDB=50°，

∴∠A=90°-50°=40°，

故答案为：C

【分析】连接BO，先根据圆的切线即可得到∠OBA=90°，再根据平行线的性质结合三角形的内角和定理即可求解。

5．【答案】D

【知识点】平行线的性质；三角形的外角性质

【解析】【解答】解：

∵，

∴∠A=∠ACD=40°，

∵∠ACD为△DCE的外角，

∴∠E=40°-24°=16°，

故答案为：D

【分析】先根据平行线的性质即可得到∠A=∠ACD=40°，再根据三角形外角的性质即可求解。

6．【答案】B

【知识点】平行线的性质；三角形内角和定理；角平分线的性质

【解析】【解答】解：∵，

∴，

∵平分，

∴∠1=∠ACE=35°，

∴∠BCD=70°，

∴∠B=180°-60°-70°=50°，

故答案为：B

【分析】先根据平行线的性质得到，再根据角平分线的性质得到∠1=∠ACE=35°，最后根据三角形内角和定理即可求解。

7．【答案】C

【知识点】几何体的展开图

【解析】【解答】解：

A、图中有7个面，不为长方体，A不符合题意；

B、该展开图无法还原成长方体，B不符合题意；

C、该展开图可以还原成长方体，C符合题意；

D、图中只有5个面，不为长方体，D不符合题意；

故答案为：C

【分析】根据长方体有6个面结合题意即可判断。

8．【答案】C

【知识点】平行线的性质

【解析】【解答】解：由题意得AB∥CD，∠1=∠3，

∴∠2＋∠4=180°，

∵，

∴∠4=60°，

∴，

故答案为：C

【分析】根据平行线的性质判断出∠1=∠3，∠2＋∠4=180°，再结合题意即可求解。

9．【答案】C

【知识点】平行线的性质

【解析】【解答】解：∵与方向相同，

∴AB∥CD，

∴，

故答案为：C

【分析】根据题意即可得到AB∥CD，再根据平行线的性质即可求解。

10．【答案】A

【知识点】平行线的性质；三角形的面积；勾股定理；相似三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义；三角形的中位线定理

【解析】【解答】解：作△KOA为等边三角形，取D（8，0），则AM为△OBD的中位线，

∴，OK=OA=AK=4，AD=4，OD=8，

∴∠OKD=90°，，

∵OA=4，，

∴点B位于以k为圆心的圆上，

∴KB=OK=4，

∴当BD与圆K相切时，最大，

∴此时∠KBD=90°，

连接OK并延长与BD的延长线交于点N，过点N作NG⊥OD于点G，

由勾股定理得，，

∵∠KBD=∠KBN=90°，∠OKD=∠DKN=90°，

∴∠BKD＋∠NKB=90°，∠BKN+∠KNB=90°，

∴∠KNB=∠BKD，

∴△NKB∽△BKD，

∴，

∴KN=，

由勾股定理得，

∴（等面积法），

∴，

∴=

故答案为：A

【分析】作△KOA为等边三角形，取D（8，0），则AM为△OBD的中位线，根据中位线的性质和等边三角形的性质即可得到，OK=OA=AK=4，AD=4，OD=8，根据直角三角形斜边上的中线的性质结合平行线的性质即可得到∠OKD=90°，，再结合题意即可判断点B位于以k为圆心的圆上，且当BD与圆K相切时，最大，连接OK并延长与BD的延长线交于点N，过点N作NG⊥OD于点G，先根据勾股定理即可得到DK和BD的长，接着运用相似三角形的判定与性质证明△NKB∽△BKD，进而即可得到KN的长，再运用勾股定理即可得到BN的长，进而运用三角形的等面积法即可得到NG的长，最后根据锐角三角形函数的定义即可求解。

11．【答案】

【知识点】平行线的性质；三角形内角和定理；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质

【解析】【解答】解：由作图知CD垂直平分AB，

∴CA=CB，

∴∠CAB=∠CBA，

∵CD⊥AB，

∴∠ACE=∠BCE，

∵，，

∴∠BCE=，

∴∠ACB=2∠BCE=68°，

∴∠CAB=（180°-∠BCA）=56°；

故答案为：56°.

【分析】由线段垂直平分线的性质可得CA=CB，利用等腰三角形的性质可得∠CAB=∠CBA，∠ACE=∠BCE，由平行线的性质可得∠BCE=，从而得出∠ACB=2∠BCE=68°，根据等腰三角形的性质及三角形内角和即可求出∠CAB的度数.

12．【答案】10

【知识点】几何体的展开图；勾股定理；轴对称的性质

【解析】【解答】解：将玻璃杯展开，作点B关于FE的对称点B'，过点B'作B'D⊥AE交AE的延长线于点D，连接AB'，如图所示：

由题意得AE=5cm，DE=1cm，

∴AD=6cm，

∴B'D=8cm，

由勾股定理得，

故答案为：10

【分析】先将玻璃杯展开，作点B关于FE的对称点B'，过点B'作B'D⊥AE交AE的延长线于点D，连接AB'，在运用轴对称的性质即可得到AE=5cm，DE=1cm，B'D=8cm，AD=6cm，进而根据勾股定理即可求解。

13．【答案】

【知识点】角平分线的性质；邻补角

【解析】【解答】解：∵，

∴∠BOC=40°，

∵OD是的平分线，

∴，

故答案为：20°

【分析】先根据邻补角的性质即可得到∠BOC=40°，再根据角平分线的性质即可求解。

14．【答案】

【知识点】平行线的判定；相似三角形的性质

【解析】【解答】解：由作法可得：∠MAN=∠M'DN'，

∴DE//AC，

∵与四边形ACED的面积比为4：21，

∴与△BAC的面积比为4：25，

∴，

∴，

∴，

故答案为：.

【分析】根据作法求出∠MAN=∠M'DN'，再求出与△BAC的面积比为4：25，最后求解即可。

15．【答案】证明：∵，

∴，

∴在和中，

，

∴，

∴．

【知识点】平行线的性质；三角形全等的判定（SAS）

【解析】【分析】根据平行线的性质求出，再利用全等三角形的判定与性质证明求解即可。

16．【答案】证明：，，

，

又，

，

，

∵，

，

四边形是平行四边形．

【知识点】平行线的判定；三角形全等及其性质；三角形全等的判定；等腰三角形的判定与性质；平行四边形的判定

【解析】【分析】先根据题意得到，进而运用三角形全等的判定与性质证明，进而得到，再运用等腰三角形的性质即可得到，进而运用平行线的判定和平行四边形的判定即可求解。

17．【答案】解：，

在和中，

，

．

．

【知识点】平行线的性质；三角形全等及其性质；三角形全等的判定

【解析】【分析】先根据平行的性质得到，再根据三角形全等的判定与性质证明，进而即可求解。

18．【答案】证明：∵，

∴，

∵，

∴

即

在与中

，

∴，

∴．

【知识点】平行线的性质；三角形全等及其性质；三角形全等的判定

【解析】【分析】先根据平行线的性质即可得到，再根据题意即可得到，再根据三角形全等的判定与性质即可求解。

19．【答案】（1）证明：∵，

∴，

∵点E为的中点，

∴，

在和中，

，

∴；

∴，

∵，

∴；

（2）证明：，

∴四边形是平行四边形，

∵，

∴，

∴平行四边形是矩形．

【知识点】平行线的性质；三角形全等及其性质；三角形全等的判定；平行四边形的判定；矩形的判定

【解析】【分析】（1）先根据平行线的性质即可得到，进而根据题意得到，运用三角形全等的判定与性质证明即可得到，进而结合题意即可求解；

（2）先根据平行四边形的判定证明四边形是平行四边形，再根据题意结合矩形的判定即可求解。

20．【答案】（1）证明：连接，

在中，，

是的直径，

即，

在中，点是的中点，

，

又，

，

，

在上

是的切线．

（2）解：由（1）中结论，得，

在中，，

，

，

，

，

，

；

（3）证明：，

，

，

，

，

，

由（1）中结论，得，

，

，

即．

【知识点】平行线的判定与性质；三角形全等及其性质；勾股定理；切线的判定；相似三角形的判定与性质

【解析】【分析】（1）连接，先根据等腰直角三角形的性质得到，再运用三角形全等的判定与性质证明，进而即可得到，再根据切线的判定即可求解；

（2）先运用锐角三角函数的定义得到，再运用勾股定理即可求出CD的长，再根据相似三角形的判定与性质即可得到，进而即可求解；

（3）先根据平行线的判定与性质得到，再根据相似三角形的判定与性质结合三角形全等的性质得到，进而即可求解。

21．【答案】（1）证明：四边形为平行四边形，

，，，

．

，，

．

．

．

（2）证明：由（1）得，

．

，，

．

．

【知识点】平行线的判定；三角形全等及其性质；三角形全等的判定；平行四边形的性质

【解析】【分析】（1）先根据平行四边形的性质得到，，，进而根据平行线的性质得到，再运用三角形全等的判定与性质证明，进而即可求解；

（2）根据三角形全等的性质即可得到，再结合题意根据平行线的判定即可求解。

22．【答案】（1）证明：四边形是平行四边形，

，，

，

是的中点，

，

，

，

∴，

；

（2）解：四边形是平行四边形，

，，

，，

，

，

，

，

，

，

设，则，

可得方程，

解得，

即的长为．

【知识点】平行线的性质；三角形全等及其性质；三角形全等的判定；平行四边形的性质；相似三角形的判定与性质

【解析】【分析】（1）先根据平行四边形的性质得到，，进而根据平行线的性质得到，再运用三角形全等的判定与性质结合题意即可求解；

（2）先根据平行四边形的性质得到，，再根据平行线的性质得到，，进而运用相似三角形的判定与性质证明，进而得到，设，则，根据已知条件即可列出分式方程，进而即可求解。

23．【答案】（1）证明：∵点O为对角线的中点，

∴，

∵，

∴，，

在和中，

，

∴；

（2）解：四边形为菱形，理由如下：

连接、，如图所示：

根据解析（1）可知，，

∴，

∵，

∴四边形为平行四边形，

∵，即，

∴四边形为菱形．

【知识点】平行线的性质；三角形全等及其性质；三角形全等的判定；平行四边形的判定；菱形的判定

【解析】【分析】（1）先根据题意结合平行线的性质即可得到，，，再根据三角形全等的判定即可求解；

（2）四边形为菱形，连接、，先根据三角形全等的性质即可得到，再根据平行四边形的判定结合菱形的判定即可求解。

24．【答案】（1）略；

（2），.

【知识点】平行线的性质；勾股定理；圆的综合题

【解析】【解答】（1）证明：∵CE//AB，

∴∠ACE=∠BAC，

∵弧AE=弧AE，

∴∠ADE=∠ACE，

∴∠BAC=∠ADE，

∵∠B=∠ADE，

∴∠B=∠BAC，

∴AC=BC；

（2）解：如图所示：连接AE，过点E作EF⊥AD交AD于点F，

∴∠DAE+∠DCE=180°，DF=，

∵CE//AB，

∴∠B+∠DCE=180°，

∴∠DAE=∠B，

∵∠B=∠ADE，

∴∠ADE=∠DAE，

∴弧AE=弧DE，

∵AC为圆O的直径，

∴∠ADC=90°，

∴∠ADB=90°，

∴，

令BD=x，则AD=2x，

∵CD=3，

∴BC=x+3，

∴AC=x+3，

∵，

∴，

解得：x=2或x=0（舍去），

∴BD=2，AD=4，DF=2，

∴AB=，

∵，∠B=∠ADE，

∴，

∴，

∴.

【分析】（1）根据平行线的性质求出∠ACE=∠BAC，再求出∠ADE=∠ACE，最后证明即可；

（2）先作图，再根据平行线的性质求出∠B+∠DCE=180°，最后利用锐角三角函数和勾股定理等计算求解即可。

25．【答案】（1）证明：连接，

∵平分，

∴，

∵，

∴，

∴，

∴，

∵，

∴，

∵是的半径，

∴直线是的切线；

（2）解：是等边三角形，理由如下：

∵，，

∴，

∴，

∴，

∵为的直径，

∴，

∴，

∴，

∴是等边三角形；

（3）解：∵是等边三角形，

∴，则，

∵，

∴，

∴，

∵为的直径，，

∴，

∵，，即，

∴．

【知识点】平行线的判定与性质；角平分线的性质；等边三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；圆周角定理；切线的判定

【解析】【分析】（1）连接，先根据角平分线的性质即可得到，再根据等腰三角形的性质即可得到，进而得到，再根据平行线的判定与性质即可得到，进而根据切线的判定即可求解；

（2）是等边三角形，理由如下：根据题意得到，进而根据圆周角定理即可得到，再结合题意得到，进而根据等边三角形的判定即可求解；

（3）先根据等边三角形的性质即可得到，则，进而根据含30°角的直角三角形的性质即可得到，进而得到，再运用特殊角的三角函数值结合锐角三角函数的定义即可求解。

26．【答案】（1）证明：连接，如图所示：

∵与相切于点A，

∴，

∵，

∴，

∴，

∵，

∴，

∴；

（2）解：过点A作，过点C作交的延长线于点F，如图所示：

由（1）得，

∴为等腰直角三角形，

∵，

∴，

∵，

∴，，

由（1）得，

∵，

∴四边形为矩形，

∵，

∴四边形为正方形，

∴，

∵，

∴，

∴即，

解得：，

∴．

【知识点】平行线的性质；勾股定理；正方形的判定与性质；切线的性质；相似三角形的判定与性质；等腰直角三角形

【解析】【分析】（1）连接，先根据切线的性质得到，再根据平行线的性质得到，进而根据等腰直角三角形的性质即可求解；

（2）过点A作，过点C作交的延长线于点F，根据等腰直角三角形的性质即可得到，再运用解直角三角形和勾股定理即可得到，，再根据矩形的判定、正方形的判定与性质即可得到，进而根据相似三角形