2023年山东省烟台市开发区中考数学一模试卷（含解析）

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一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.的倒数是()

A.B.C.D.

2.下列图形是四届数学大会会标，其中不属于中心对称的有()

A.个B.个C.个D.个

3.计算的结果是()

A.B.C.D.

4.如图所示，该几何体的左视图是()

A.

B.

C.

D.

5.一个正多边形的内角和是，则这个正多边形的一个外角等于()

A.B.C.D.

6.第届冬奥会期间，小明收集到张卡片，正面图案如图所示，它们除此之外完全相同，把这张卡片背面朝上洗匀后摸出张，放回洗匀再摸出一张，则这两张卡片正面图案恰好是两张滑雪的概率是()

A.B.C.D.

7.将两块三角板按如图所示位置摆放，若，点在上，则的度数为()

A.B.C.D.

8.将一个长为，宽为的长方形纸片，用剪刀沿图中的虚线剪开，分成四块形状和大小都一样的小长方形纸片，然后按图的方式拼成一个正方形，则中间小正方形的面积为()

A.B.C.D.

9.在平面直角坐标系中，点，，在抛物线上，当时，下列说法一定正确的是()

A.若，则B.若，则

C.若，则D.若，则

10.如图，在平行四边形中，，，动点从点出发，以每秒个单位的速度沿线段运动到点停止，同时动点从点出发，以每秒个单位的速度沿折线运动到点停止．图是点、运动时，的面积与运动时间函数关系的图象，则的值是()

A.B.C.D.

二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）

11.点，是反比例函数图象上的两点，那么，的大小关系是______．

12.已知样本数据，，，，，这组数据的方差是______．

13.如图，将个大小相同的正方形置于平面直角坐标系中，若顶点、的坐标分别为、，则顶点的坐标为______．

14.自由式滑雪女子型场地技巧赛是冬奥会的运动项目之一，其型场地的竖截面可简化为如图所示轴对称模型，数据如图所示，则该型场地竖截面的总长为______

15.如图，已知点是菱形的边延长线上一点，是上一点，并且，，若，则______．

16.如图，，，均为的半径，，，若点是弧上的一点，则的度数为．

三、解答题（本大题共8小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.本小题分

解不等式组：，并将不等式组的解集在数轴上表示出来．

18.本小题分

如图，在平行四边形中，，垂足为点，延长至点，使得，连接，．

求证：四边形是矩形．

19.本小题分

某公司要在甲、乙两人中招聘一名职员，对两人的学历，能力、经验这三项进行了测试．各项满分均为分，成绩高者被录用．图是甲、乙测试成绩的条形统计图，

分别求出甲、乙三项成绩之和，并指出会录用谁；

若将甲、乙的三项测试成绩，按照扇形统计图图各项所占之比，分别计算两人各自的综合成绩，并判断是否会改变的录用结果．

20.本小题分

如图，直立于地面上的电线杆，在阳光下落在水平地面和坡面上的影子分别是、，测得米，米，，在处测得电线杆顶端的仰角为，试求电线杆的高度结果保留根号

21.本小题分

鲍鱼是烟台人餐桌上的美味，小冬在海鲜市场选中，两种大小的鲍鱼，决定从该海鲜市场进货并销售两种大小的鲍鱼的进货价和销售价如下表：

进货价元个

销售价元个

第一次小冬用元购进了，两种大小鲍鱼共个，求两种大小鲍鱼各购进多少个；

第二次小冬进货时，海鲜市场规定种鲍鱼进货数量不得超过种鲍鱼进货数量的一半小冬计划购进两种大小鲍鱼共个，应如何设计进货方案才能获得最大利润，最大利润是多少？

小冬第二次进货时采取了中设计的方案，并且两次购进的鲍鱼全部售出，请从利润率的角度分析，对于小冬来说哪一次更合算？注：利润率利润成本．

22.本小题分

如图，是的外接圆，为的直径，，垂足为点，延长交的延长线于点．

是的切线吗？为什么？

若，，求的半径．

23.本小题分

问题情境：

如图，点为正方形内一点，，将绕点按顺时针方向旋转，得到点的对应点为点，延长交于点，连接．

猜想证明：

试判断四边形的形状，并说明理由；

如图，若，请猜想线段与的数量关系并加以证明；

解决问题：

如图，若，，请直接写出和的长．

24.本小题分

抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，点在抛物线上，设点的横坐标为．

求，的值以及直线的表达式；

如图，连接，，，若是以为斜边的直角三角形，求点的坐标：

如图，若点在直线上方的抛物线上，轴交于点，，垂足为点，线段是否有最大值？如果有，请求出最大值及此时点的坐标；如果没有，请说明理由．

答案和解析

1.【答案】

【解析】解：，的倒数是，

的倒数是．

故选：．

根据绝对值和倒数的定义作答．

一个负数的绝对值是它的相反数．若两个数的乘积是，我们就称这两个数互为倒数．

2.【答案】

【解析】解：第一个图形是中心对称图形，

第二个图形不是中心对称图形，

第三个图形是中心对称图形，

第四个图形不是中心对称图形，

不属于中心对称的有个．

故选：．

根据把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心进行分析即可．

此题主要考查了中心对称图形的定义，判断中心对称图形是要寻找对称中心，旋转度后与原图重合．

3.【答案】

【解析】解：．

故选：．

直接利用同底数幂的乘法运算法则计算得出答案．

此题主要考查了同底数幂的乘法运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．

4.【答案】

【解析】解：这个几何体的左视图为：

故选：．

根据简单几何体的三视图的画法画出它的左视图即可．

本题考查简单几何体的三视图，理解视图的定义，掌握简单几何体的三视图的画法和形状是正确判断的关键．

5.【答案】

【解析】解：设正多边形的边数为，

正多边形的内角和为，

，

解得：，

，

正九边形的每个外角，

故选：．

先根据多边形的内角和定理求得多边形的边数，然后求得内角即可，进而得出其外角度数．

本题主要考查了多边形内角和及外角和定理，任何多边形的外角和是．

6.【答案】

【解析】解：记高山滑雪，越野滑雪，速度滑冰，冰球分别为，，，，根据题意列表得：

共有种等可能的结果，其中两张卡片正面图案恰好是两张滑雪的有种，

所抽取的两名同学都是男生的概率是．

故选：．

列表求出所有等可能的情况，再由概率公式计算．

本题考查列树状图或列表求概念，解题的关键是掌握用列表法求出所有的结果数．

7.【答案】

【解析】解：由题意得，

，，

，

是的外角，

，

．

故选：．

由题意可得，再由平行线的性质得，利用三角形的外角性质即可求．

本题主要考查平行线的性质，解答的关键是熟记平行线的性质：两直线平行，内错角相等．

8.【答案】

【解析】

解：中间空的部分的面积大正方形的面积个小长方形的面积，

，

，

，

故选：．

【分析】

本题考查了完全平方公式，掌握小正方形面积的计算方法是解题的关键．

由图得，一个小长方形的长为，宽为，由图得：中间空的部分的面积大正方形的面积个小长方形的面积，代入计算即可．

9.【答案】

【解析】解：在抛物线中，，

抛物线开口向上，对称轴为直线，

，

，

当时，，异号，

，，

，选项A正确．

当时，，

选项B错误，

当时，，，

，选项C错误．

当时，，，中有个值为即可，

选项D错误．

故选：．

根据二次函数解析式可得抛物线对称轴及开口方向，根据各点横坐标可判断，进而求解．

本题考查二次函数图象的性质，二次函数图象上点的坐标特征，解题关键是掌握二次函数的性质，掌握二次函数图象与系数的关系．

10.【答案】

【解析】解：由题图得，时点停止运动，

点以每秒个单位速度从点运动到点用了秒，

，

，

由点和点的运动可知，，，

当点在上时，即时，，过点作于点，

，

，

此时的面积，

当点在上时，即时，

四边形是平行四边形，

，

，

由上可知，当点到达点时，，

即当时，，

故选：．

由点和点的运动可知，，，当点在上时，即时，及当点在上时，即时，分别表达出的面积，分析可知当点到达点时，，此时，再结合的面积公式求解即可．

本题主要考查了动点函数的图象，解决本题的关键是由点的运动结合图得出及的长．

11.【答案】

【解析】解：反比例函数中，，

图象在二、四象限，每个象限内随的增大而增大，

点与点都在反比例函数的图象上，且，

．

故答案为：．

直接利用反比例函数的增减性分析得出答案．

此题主要考查了反比例函数的增减性，掌握反比例函数的性质是解题关键．

12.【答案】

【解析】解：样本数据，，，，中平均数是，

方差是．

故答案为：．

根据平均数、方差的定义和计算公式分别进行分析即可．

本题考查方差和平均数，熟练记住方差公式是解题的关键．

13.【答案】

【解析】解：如图，

顶点、的坐标分别为、，

轴，，

正方形的边长为，

，

轴，

点，

，

轴，

点

故答案为．

由图形可得轴，，可求正方形的边长，根据边长推出点坐标即可求解．

本题考查了坐标与图形性质，读懂图形的意思，是本题的关键．

14.【答案】

【解析】解：竖截面的总长

，

故答案为：．

因为这是一个轴对称模型，所以，根据弧长公式求竖截面的总长即可．

本题考查了弧长的计算，掌握弧长公式：弧长为，圆心角度数为，圆的半径为是解题的关键．

15.【答案】

【解析】解：四边形是菱形，

，，

，，

，

，，

，

，

，

故答案为：．

由菱形的性质得，，则，，得，再证，则，即可得出结论．

本题考查了菱形的性质以及三角形的外角性质等知识，熟练掌握菱形的性质是解题的关键．

16.【答案】

【解析】

【分析】

本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．半圆或直径所对的圆周角是直角，的圆周角所对的弦是直径．

作所对的圆周角，如图，先判断为等腰直角三角形，则，利用平行线的性质得到，利用圆周角定理得到，然后根据圆内接四边形的性质计算的度数．

【解答】

解：作所对的圆周角，如图，

，

，

，

为等腰直角三角形，

，

，

，

，

，

，

．

故答案为．

17.【答案】解：，

解不等式得：，

解不等式得：，

原不等式组的解集为：，

该不等式组的解集在数轴上表示如图所示：

【解析】按照解一元一次不等式组的步骤进行计算，即可解答．

本题考查了解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式的解集，熟练掌握解一元一次不等式组的步骤是解题的关键．

18.【答案】证明：四边形是平行四边形，

，，

，

，

即，

，

四边形是平行四边形，

又，

，

平行四边形是矩形．

【解析】由平行四边形的性质得，，再证，则四边形是平行四边形，然后证，即可得出结论．

本题考查了矩形的判定、平行四边形的判定与性质等知识；熟练掌握矩形的判定是解题的关键．

19.【答案】解：由题意得，甲三项成绩之和为：分，

乙三项成绩之和为：分，

，

会录用甲；

由题意得，甲三项成绩之加权平均数为：

分，

乙三项成绩之加权平均数为：

分，

，

会改变的录用结果．

【解析】分别把甲、乙二人的三项成绩相加并比较即可；

分别计算出甲、乙二人的三项成绩的加权平均数并比较即可．

此题考查了数据的描述与加权平均数的应用能力，关键是能根据统计图获得实际问题中的信息，并能通过求解加权平均数对问题进行分析．

20.【答案】解：如图，延长交的延长线于点，作于点．

，

，

又米，

米，米，

由题意得，

米，

米，

米，

答：电线杆的高度为米．

【解析】延长交的延长线于点，作于点，根据直角三角形的性质和勾股定理求出、的长，根据正切的定义求出，得到的长，根据正切的定义解答即可．

本题考查的是解直角三角形的应用，掌握仰角俯角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．

21.【答案】解：设种鲍鱼购进个，种鲍鱼购进个，根据题意得，

，解得，

答：种鲍鱼购进个，种鲍鱼购进个；

设种鲍鱼购进个，种鲍鱼购进个，总利润为元，根据题意得，

，解得，

，

，

随的增大而增大，

时，，

个，

综上，种鲍鱼购进个，种鲍鱼购进个，总利润最大为元；

第一次：，

第二次：，

，

第一次更合算．

【解析】设种鲍鱼购进个，种鲍鱼购进个，根据题目中的数量关系，列出二元一次方程组，求解即可；

设种鲍鱼购进个，种鲍鱼购进个，总利润为元，根据题意列出不等式和一次函数关系式，再根据一次函数的性质求解即可；

分别求出两次的利润率，比较大小即可．

本题考查了二元一次方程组解应用题，一次函数的性质和应用，根据题意找出等量关系列出方程和函数关系式是解题的关键．

22.【答案】解：是的切线，

理由：连接，

，

，

，

，

，

，

，

是的半径，

是的切线；

为的直径，，

，

，

∽，

，

，

，

的半径为．

【解析】连接，根据等腰三角形的性质得到，求得，根据平行线的性质得到，根据切线的判定定理即可得到结论；

根据圆周角定理和垂直的定义得到，根据相似三角形的判定和性质定理即可得到结论．

本题考查了切线的判定，相似三角形的判定和性质，圆周角定理，正确地作出辅助线是解题的关键．

23.【答案】解：四边形是正方形，理由如下：

如图，

四边形是正方形，

，

由旋转得，，，

，

四边形是矩形，

由旋转得，，

四边形是正方形；

，证明如下：

如下图，过点作于点，

则，

，

，

四边形是正方形，

，，

，

，

，

≌，

；

四边形是正方形，

，

，

由旋转得，，

，

，

；

如图，过点作于点，

，，

，

，且，

，

解得：或不符合题意，舍去，

，，

由得，≌，

，，

，

，

．

【解析】由旋转的特征可得到，，，再由，可判定四边形是正方形；

过点作于点，由得，再证明≌，且由四边形是正方形，得到，可证得结论；

过点作于点，由旋转及四边形是正方形可得如下关系：，在中根据勾股定理求出，的长，可得的长；由可知，≌，