高等数学定积分及其计算教学课件

第五章定积分及其应用第一节定积分及其计算第二节定积分在几何上的应用第三节定积分在物理上的应用第五章定积分及其应用第一节定积分及其计算1第一节定积分及其计算

一.定积分的概念与性质二.微积分基本公式本节主要内容:三.定积分的积分法四.反常积分第一节定积分及其计算

一.定积分的概念与性质2一.积分的概念与性质(一)定积分问题举例1.曲边梯形的面积设曲边梯形是由连续曲线以及两直线所围成,求其面积A.一.积分的概念与性质(一)定积分问题举例1.曲边梯形的3显然,小矩形越多,矩形总面积越接近曲边梯形面积.观察下列演示过程,注意当分割加细时,矩形面积和与曲边梯形面积的关系.显然,小矩形越多,矩形总面积越接近曲边梯形面积.4观察下列演示过程,注意当分割加细时,矩形面积和与曲边梯形面积的关系.播幻灯片75放观察下列演示过程,注意当分割加细时,5解决步骤:1)分割2)取近似

3)求和

4)取极限

解决步骤:1)分割2)取近似3)求和4)取极限6解决步骤:1)分割

在区间[a,b]中任意插入

n–1个分点

用直线将曲边梯形分成n

个小曲边梯形;2)取近似

在第i

个窄曲边梯形上任取作以为底,为高的小矩形,并以此小梯形面积近似代替相应窄曲边梯形面积得解决步骤:1)分割在区间[a,b]中任意插73)求和

4)取极限

令则曲边梯形面积3)求和4)取极限令则曲边梯形面积82.变速直线运动的路程

解决步骤:1)分割

2)取近似

3)求和

4)取极限

设某物体作直线运动,上连续,的路程s.已知速度在求在运动时间内物体所经过2.变速直线运动的路程解决步骤:1)分割2)取9解决步骤:1)分割

将它分成在每个小段上物体经2)近似

得n

个小段过的路程为2.变速直线运动的路程

设某物体作直线运动,上连续,的路程s.已知速度在求在运动时间内物体所经过解决步骤:1)分割将它分成在每个小段上物体经2)近似103)求和

4)取极限3)求和4)取极限11上述两个问题的共性:解决问题的方法步骤相同:“分割,近似,求和,取极限”所求量极限结构式相同:特殊乘积和式的极限上述两个问题的共性:解决问题的方法步骤相同:“分割,12(二)定积分的概念定义5.1.1

设函数f(x)在区间[a,b]上有定义,分割:任取分点把区间[a,b]分割成n个小区间[xi-1,xi],第i个小区间的长度为，记．近似:

在每个小区间[xi-1,xi]上任取一点i

(i=1,2…n)求和：作和式(二)定积分的概念定义5.1.1设函数f13取极限：当0时,若极限存在(这个极限值与区间[a,b]的分法及点i

的取法无关)，则称函数f(x)在[a,b]上可积,并称这个极限为函数f(x)在区间[a,b]上的定积分，记作,即

取极限：当0时,若极限14积分上限积分下限被积函数被积表达式积分变量积分和积分上限积分下限被积函数被积表达式积分变量积分和15说明：1.闭区间上的连续函数是可积的;闭区间上只有有限个间断点的有界函数也是可积的．2.定积分是一个确定的常数，它取决于被积函数f(x)和积分区间[a,b]，而与积分变量使用的字母的选取无关，即有3.在定积分的定义中,有a<b

,为了今后计算方便，我们规定:说明：1.闭区间上的连续函数是可积的;闭区间上只有有限个16(三)定积分的几何意义

:介于曲线f(x)

,x轴及两条直线x=a,x=b之间的各部分面积的代数和设A为曲边梯形面积,则各部分面积的代数和(三)定积分的几何意义17例1

利用定积分的几何意义,证明令，显然则由和直线x=-1,x=1,y=0所围成的曲边梯形是单位圆位于x轴上方的半圆.因为单位圆的面积，所以半圆的面积为/2

.例1利用定积分的几何意义,证明令，显然则由和直线x=-18思考思考19(四)定积分的性质

性质1

性质2此性质可推广到有限多个函数之和的情况(四)定积分的性质性质1性20

性质3(积分区间的可加性):

对任意的点c，有不论a,b,c的相对位置如何,上式总成立.

性质4

如果被积函数f(x)=C(C为常数)，则特别地,当c=1时，有性质3(积分区间的可加性):对任意的点c，有不21性质5(积分的保序性):如果在区间[a,b]上,恒有f(x)g(x),则例2比较定积分与的大小.因为在区间[0,1]上,有x2x3由定积分保序性质得性质5(积分的保序性):如果在区间[a,b]上,恒有22性质6(积分估值定理)如果函数f(x)在区间[a,b]上有最大值

M和最小值m,则MM(ba)m

y=f(x)

f(x)dxm(ba)Ox

y

a

b性质6(积分估值定理)如果函数f(x)在区间[a,23则

f(x)在[-1,1]上的最小值为m=1/e,最大值为M=1，由定积分的估值性质，例3估计定积分的值.设令得驻点

x=0，比较

x=0及区间端点

x=±1的函数值，有则f(x)在[-1,1]上的最小值为m=1/e,最大24性质7(积分中值定理)如果函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，则在积分区间[a,b]上至少存在一个点x，使下式成立:性质7(积分中值定理)如果函数f(x)在闭区间[a,b25exitexit26性质8(对称区间上奇偶函数的积分性质)设f(x)在对称区间[-a,a]上连续，①如果f(x)为奇函数，则;②如果f(x)为偶函数，则.性质8(对称区间上奇偶函数的积分性质)设f(x)在对称区27例如

例如28exitexit29二.微积分基本公式在变速直线运动中,已知位置函数s(t)与速度函数之间有关系:考虑时间间隔实际问题变速直线运动中路程为另一方面这段路程可表示为这种积分与原函数的关系在一定条件下具有普遍性.二.微积分基本公式在变速直线运动中,已知位置函数s(t30(一)积分上限函数

积分上限函数:函数f(x)在[a,b]上的定积分(1)积分上限函数的自变量是上限x,与积分变量无关.(2)(一)积分上限函数积分上限函数:函数f(x)在[a31定理5.1.1

如果函数f(x)在区间[a,b]上连续,则变上限积分函数在[a,b]上可导，且它的导数是f(x),即定理5.1.1如果函数f(x)在区间[a,32思考以下积分上限函数求导问题:思考以下积分上限函数求导问题:33例4计算例5计算例6计算例4计算例5计算例6计算34例4计算例5计算例6计算例4计算例5计算例6计算35说明：1.解决了原函数的存在性问题:[a,b]上的连续函数一定存在原函数,且(x)是f(x)的一个原函数这一基本结论.为寻找定积分的计算方法提供了理论依据,说明：1.解决了原函数的存在性问题:为寻找定积分的计算方36(二)

微积分基本公式(牛顿—莱布尼兹公式)定理5.1.2

设

f(x)在[a,b]上连续,且F(x)是f(x)原函数,则在计算定积分时,我们只要先求出被积函数的一个原函数,再求这个原函数在积分上、下限的函数值之差即可.(二)微积分基本公式(牛顿—莱布尼兹公式)定理5.1.37例11计算例7计算例8

计算例9计算例10设求

例11计算例7计算例8计算例9计算例1038例7计算例8

计算例7计算例8计算39例9计算例9计算40例10设求例10设41例11计算例11计算42练一练练一练43三.定积分的积分法(一)定积分的换元积分法

定理5.1.2

设函数f(x)在区间[a,b]上连续,并且满足下列条件:(1)x=(t),其值域含于[a,b],且a=(),b=();(2)(t)在区间[,

]或[,

]上有连续的导数(t);则有三.定积分的积分法(一)定积分的换元积分法定理5.1.44说明：说明：45例12计算例13计算例14计算例15计算例16计算例17计算例12计算例13计算例14计算例15计算例146例12计算法一设t=cosx,则dt=-sinxdx法二例12计算法一设t=cosx,则dt=-si47例13计算例14计算设

,则x=t2-1,dx=2tdt例13计算例14计算设48例15计算例15计算49例16计算例16计算50例17计算原式例17计算原式51例18设f(x)在区间[-a,a]上连续,证明:(1)如果f(x)为奇函数,则;(2)如果f(x)为偶函数,则例18设f(x)在区间[-a,a]上连续,证明:52高等数学定积分及其计算教学ppt课件53例19

设函数f(x)在[0,1]上连续,证明:设例19设函数f(x)在[0,1]上连续,证明:设54例20求下列定积分:(1)例20求下列定积分:(1)55例21求定积分:奇函数原式偶函数单位圆的面积例21求定积分:奇函数原式偶函数单位圆的面积56练一练练一练57(二)分部积分法定理5.1.4

设函数u=u(x)和v=v(x)在区间[a,b]上有连续的导数,则有:(二)分部积分法定理5.1.4设函数u=u(x)和58例26求

例22求

例23求

例24求

例25求

例26求例22求例23求例24求例59例22求

例22求60例23求

例23求61例24求

令则例24求令则62例25求例25求63例26求

例26求64例27

证明例27证明65解得In的递推公式,,继续使用递推公式知道I1和I0,得解得In的递推公式,66例28求

例29求

例28求例29求67四.广义积分(一)无穷区间上的广义积分——无穷积分

定义5.1.2

设函数f(x)在区间[a,+)上连续,取b>a，若极限存在,则称此极限为函数f(x)在[a,+)上的广义积分,记作，即此时也称广义积分收敛;如果上述极限不存在,就称发散.四.广义积分(一)无穷区间上的广义积分——无穷积分定义568类似可定义:只要有一个极限不存在,就称发散.类似可定义:只要有一个极限不存在,就称发散.69引入记号则有类似N–L公式的计算表达式:引入记号则有类似N–L公式的计算表达式:70例30求

例31

讨论

的敛散性.例32

求例33

求例30求例31讨论71例30求

例30求72例31

讨论

的敛散性.例31讨论73例32

求例32求74例33

求例33求75(二)无界函数的广义积分——瑕积分定义5.1.3

设函数

f(x)在区间(a,b]上连续且.取A>a,如果极限

存在,则称此极限为函数

f(x)在

(a,b]上的广义积分,记作即此时也称广义积分收敛,否则就称广义积分

发散.A称为瑕点

.(二)无界函数的广义积分——瑕积分定义5.1.376类似可定义:（1）x=b为f(x)的无穷间断点时:（2）无穷间断点x=c位于区间(a,b)内:类似可定义:（1）x=b为f(x)的无穷间断点时:77若瑕点的计算表达式:则也有类似牛–莱公式的若b

为瑕点,则若a

为瑕点,则若a,b

都为瑕点,则则当上式右边两个广义积分都收敛,称广义积分收敛.若瑕点的计算表达式:则也有类似牛–莱公式的若b为78例34

求所以广义积分发散.例34求所以广义积分发散.79例35

讨论

的敛散性.例35讨论80内容小结:

1.定积分的概念与性质2.微积分基本公式3.定积分的积分法4.反常积分8个性质积分上限函数

内容小结:

1.定积分的概念与性质2.微