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文档简介
(2lim
x
ln
xxfi
0+lim
xxxfi
02lim
(sin
x
)tanx
1
tan
xln
xlim
a
lim
ln
xcot
xxfi
0+x
+
2
-
x2
+
1
)limlim
xfi
a
x
-
axfi
¥xfi
p
xfi
0+
x
00¥¥¥
-
¥0
¥001¥¥
0不定型（式）0
表示无穷小；
¥
表示无穷大：1
表示极限为
1
的函数．§3.3洛必达法则0
与¥
型不定式0
¥¥-¥
,0
¥
,00
,1¥
,¥
0
型不定式几点注意0一、
0
与¥
型不定式0
¥xfi
a
xfi
a(1)
设lim
f
(x
)=
0, lim
g
(x
)=
0首先讨论
x
fi
a
时
0
的情形．
求
lim
f
(x
)g
(x
)xfi
a(2)
设f
(x),g
(x
)在某N
(a,d
)内可导，且g
¢(x
)„0解法：设x
˛
N
(a,d
)(1)
定义f
(a)=g
(a)=0,
则f
(x),g
(x)在[a,x]或[x,
a]上连续．(2)
f
(x
),g
(x
)在(a,x)或(x,a)内可导，且g
¢(x
)„0.由Cauchy中值定理得：$x
˛
(a,
x
)
or
(x,
a
)
，使f
¢(x
)
f
(x
)-
f
(a
)
f
(x
)=
=g
(x
)-
g
(a
)
g
(x
)g
¢(x
)
x
fi
a
x
fi
a
f
(x
)g
(x
)f
¢(x
)\
limxfi
a=
limxfi
a
g
¢(x
)limxfi
a
g
¢(x
)f
¢(x
)g
¢(x
)f
¢(x
)存在=======
limx
fi
a洛必达法则：若f
(x
),g
(x
)满足：lim
f
(x
)=
0, lim
g
(x
)=
0xfi
a
xfi
af
(x
),g
(x
)在某N
(a,d
)内可导，且g
¢(x
)„0x
fi
ag
¢(x
)(3)
lim
f
¢(x
)=A
(或¥
)则有g
(x
)x
fi
ax
fi
ag
¢(x
)lim
f
(x
)=lim
f
¢(x
)=A
(或¥
)说明(1)
xfi
a
可以改为
x
fi
a+
或
x
fi
a-¥0(3)洛必达法则对
x
fi
¥
(x
fi
+¥或
x
fi
-¥
)时
0
或
¥的情形仍成立．(2)
x
fi
a
时不定型¥
也有相应的洛必达法则．¥xfi
0xm【例1】lim
(1
+x
)-
1001m
-1xfi
0==
lim
m
(1
+
x
)
=
mx
fi
0,
(1
+
x
)m
-
1
~
mx32【例2】limxfi
1
xx3
-
3
x
+
2-
x
-
x
+
12xfi
1
3
x3
x2
-
300==
lim-
2
x
-
100==
limxfi
1
6
x
-
26
xxfi
1
6×=
lim
6
=
1=
32注意0
¥(1)必须是0
或¥
型不定式才可以考虑用洛必达法则．f
¢(x
)(2)若lim
仍属g
¢(x
)0
或
¥型，则可继续用洛必达法则．0
¥【例3】lim
ln
x(m
>
0)xfi
+¥xm1
xm
-1xfi
+¥
mx¥¥==
lim1mxfi
+¥
mx=
lim=
0一般=
0
(m
>
0)lnk
xlimxfi
+¥xm【例4】lim(n
自然数¥)exnxfi
+¥xexxfi
+¥
nx¥¥==
limex¥n-1==
limxfi
+¥
n
(n
-
1)xxfi
+¥
n!n-2
=
=
limex=
¥一般=
¥
(m
˛
R)limxfi
+¥exxm注意sin
1xfi
+¥洛必达法则是求未定式的一种有效方法，但与其它求极限方法结合使用，效果更好.p
-
arctan
x【例5】
lim
2
=
11x=lim
2
xfi
+¥xp
-
arctan
x0=0=x
2-
1-
1
+
x
21limxfi
+¥2【例6】lim
tan
xxfi
p
tan
3
x2x3
sec
3
x¥p22sin
3
x
cos
x==
limpxfi22lim
cos
3
xxfi
p
sin
3
x=
lim
sin
xcos
xxfi
p2=
-
lim
3
sin
3
xsin
xxfi
p00=
3【例7】lim4sin2
x
-
x
sin
x
cos
xln
(1
+
x
)xfi
0x4sin
x
(sin
x
-
x
cos
x
)=
limxfi
03xfi
0=
lim
sin
x
-
x
cos
xx2xfi
000==lim
x
sin
x
=
13
x
3＝－12
sec2
x
tan
x22¥¥
sisnecx2cxos
3
x
¥=
limxfi
p
18
sec
3
x
tan
3
x==
lim【例8】
设
f
¢(x
)在
x
=
a
连续，且
f
¢(a
)„
，0
求lim
f
(a
+
x
)+
f
(a
-
x
)-
2
f
(a
)x
f
(a
+
x
)-
f
(a
-
x
)
xfi
0xfi
0
f
(a
+
x
)+
f
(a
-
x
)-
2
f
(a
)【解】limx
f
(a
+
x
)-
f
(a
-
x
)
f
¢(a
+
x
)-
f
¢(a
-
x
)f
(a
+
x
)-
f
(a
-
x
)+
x
f
¢(a+
x
)+
f
¢(a
-
x
)
f
¢(a+
x
)+
f
¢(a
-
x
)00==
limxfi
000==
limxfi
0
2
f
¢(a+
x
)+
f
¢(a
-
x
)
+
x
f
¢(a
+
x
)-
f
¢(a
-
x
)
2
f
¢(a
)4
f
¢(a
)f
¢(a
)2
f
¢(a
)==二、其他不定型¥
-
¥
,
0
¥
, 00
, 1¥
,¥
0xfi
1【例1】lim
1x
-
x
-
1 ln
x
x
ln
x
-
x
+
1¥
-¥==
limxfi
100(x
-
1)ln
xln
x
+
1
-
1==
limxfi
1
x
-
1ln
x
+x
ln
xxxfi
1=
limx
ln
x
+
x
-
100==
lim=ln
x
+
1
1xfi
1
ln
x
+
2
2x
ln
x
-
x
+
1=
limxfi
1
(x
-
1)ln
(1
+
(x
-
1))xfi
1=
lim
x
ln
x
-
x
+1(x
-1)2=
0
0
0
0(¥-¥
型)步骤:
¥
-
¥
1
-
1
0
-
0
.1.
¥-¥
型【例2】(
)2limxfi
+¥x
+
2
x
-
x(+¥ -
(+¥型¥(¥
型)21
2t
t
tt
解法一：原式====lim
t
fi
0+
令x
=1+
-
t
1
=
lim
1+
2t
-1
t
fi
0+
00
1
==
lim
=
1t
fi
0+
1
+
2t
2
xx2
+
2
x
+
xxfi
+¥解法二：原式=lim2=
limxfi
+¥=
1x1
+
2
+
12.
0
¥
型步骤:¥0
¥
10¥
,
或
0
¥
0
1
.【例3】
lim
x
ln
xxfi
0+=
limxfi
0+ln
x1
x21
x=
0-1
x¥¥==
limxfi
0+lim
x
ln
x+xfi
0若化为型00xfi
0+
1
ln
x=
limx100==
limxfi
0+1
1-
ln2
x
x=
-
lim
x
ln2
xxfi
0+无法求出．(0
¥
型)【例4】求极限2lim(1
-
x
2
)
tan
p
xxfi
1【解】(
0
¥
型)2cos
p
x(1
-
x
2
)sin
p
x原极限
=
lim
2
xfi
1(
型)001
-
x
22=
limxfi
1
cos
p
x洛2
2lim-
2
xxfi
1
p
p-
sin
xpp2=
4
limx
=
4xfi
1
psin
x步骤:3. 00
,1¥
,¥
0
型
0
ln
¥
¥
0
ln
0取对数fi
1¥¥
0
00
ln1
0
¥
.【例5】lim
xxxfi
0+=
lim
ex
ln
xxfi
0+(00
型)lim
x
ln
x=
exfi
0+=
e
0
=
1(0
¥型)pxfi
1【例6】
lim
(2
-
x
)tan
2
x(
1¥型)2x
fi
1lim
ta
n
p
x
ln
(2
-
x
)=
e
ln
(2
-
x
)
=
exp
lim
x
fi
1
cos
(p
x
2
)
1
-
x=
exp
lim
x
fi
1
cos
(p
x
2)
【例7】lim
(cot
x
)sin
xxfi
0(¥
0
型)lim
s
in
x
ln
c
o
t
xx
fi
0=
ecsc
x
ln
cot
x
=
exp
lim
x
fi
0
-tan
x
csc2
x
2xfi
0sin
x
=
1-csc
x
cot
xcos
x
=
exp
lim
=
exp
lim
xfi
0
(
)
(
)
2px
2=
e
-
p
2 sin
p
-
1
=
exp
limxfi
1说明0
¥
,
00
, 1¥
,¥
00
¥0
¥不定型：
, ,
¥
-
¥
,洛必达法则00
,1¥
,¥
0
型¥-¥
型
0
0
型型¥¥f1
gf g
=1
g
-
1
ff
-
g
=
1
g
1
f令y
=f
g取对数0
¥
型注：
1¥
型=e计算．1x
fi
0可利用重要极限lim
(1
+x
)xlim
f
(x
)g(x
)
,
其中f
(x
)fi
1,
g
(x
)fi
¥解法一：(凑法)(
)(
)g
xlim
f
x(
)(
)(
)
1
g(x
)
f
(x
)-1
1=
limf x
-
1
+
f
x
-
1
A=
e其中A
=lim
g
(x
)
f
(x
)-1
\
lim
f
(x
)g
(x
)
=
e
lim
g
(x
)
f
(x
)-1
解法二：(取对数法)(
)g
xlim
f
x(
)
lim
g
(x
ln
f
(x=
elim
g
(x
)ln
1
+
(f
(x
)-
1
)
=
elim
g
(x
)
f
(x
)-1
=
e
x
x2
+1x
【例8】lim
2e1+x
-1
xfi
0
x
x2
+
1
x
=
exp
lim
xfi
0
2e1+
x
-
1
-
1
x2
+
1
xxfi
0
=
exp
2
lim
x
1
+
x
=
e2xfi
0
x
x2
+
1
x
=
exp
2
lim
e1+
x
-
1
三、洛必达法则在求数列极限中的应用xfi
+¥定理对于数列{an
},若存在在区间[1,+¥
)上有定义的函数f
(x
)使f
(n)=
an
,并且
lim
f
(x
)=
L
(L为有限数或¥
),则lim
an
=
L
.nfi
¥证明xfi
+¥由
lim
f
(x)=
L
知,"
e
>
0,
$X
>
0,f
(x)-
L
<
e取
N
=
X
],
则当
n
>
N
时,必有
n
>
X,
于是有f
(n)-
L
<
e,即an
-L
<e,\
lim
an
=
L
.nfi
¥使当x
>X
时必有【例9】计算极限lim
ln
nnfi
¥n【解】设则f
(x)=
ln
x
,x
nf
(n)=
ln
n
,由于x
xlim
f
(x)=
lim
ln
x
=
lim
1
=
0
,xfi
+¥xfi
+¥
xfi
+¥所以n
xnfi
¥xfi
+¥lim
ln
n
=
lim
ln
x
=
0注:数列极限的求法不能直接用洛必达法则.【例10】计算极限【解】 先求
+
．
4
n
nlim
tannfi
¥p
1xfi
+¥
4
x
lim
tan
x
+
p
1
p
1
lim
x
tan
+
-1
4
x
==exfi
+¥¥1t
4lim
=====
etfi
0+tan
p
+t
-1t令x
=12lim
secp+
+t
4
=
etfi
02=
enfi
¥\
lim
tann
p
+
1
=
e2
4
n
【例11】已知1
11(0
<
a
<
+¥)2
3n
nfi
¥
lim
1+
+
+
+
-ln(n
+1)
=
a1
1
1lnn1+
+
+
+计算
lim
2
3
nnfi
¥【解】由已知得1
1
1lnnnfi
¥lim
2
3
n
=
01+
+
+
+
-ln(n+1)1
1
1lnn\
lim
2
3
n1+
+
+
+nfi
¥ln(n
+1)=
limnfi
¥lnnxfi
+¥
lim
ln(x
+1)
=
lim
1
x
+1
=1ln
x
1
xxfi
+¥\原式=1四、几点注意1．首先判定是否为不定型1x
2【例1】lim
x
ex
fi
¥【例2】l
i
m1
ln
x-
a
r
c
t
a
n
x
x
fi +
¥
p
2
limxfi
+¥ln
xln
p
-arctan
x
2
(
)2=
-
limx
fi
+¥-
arctan
x1
+
xxp
2
1
+
x
2=
-
limx
fi
+¥2p
-
arctan
xxx
2
+
100=
-
limx
fi
+¥x
2
-
1=
-100(
)21
x¥¥xfi
+¥
p
-1-arctan
x
1+
x
2
==
lim
取对数∴
原式＝e
-1=
¥f
¢(x
)2．limg
¢(x
)g
(x
)不存在(非¥
)
lim
f
(x
)不存在．2x2
sin
1xfi
0
x+
sin
x221x
sinxx2
x
sin
1
+
x2
cos
1
-
1
x
¢
x
lim
=
limxfi
0xfi
0
(x2
+
sin
x
)¢
2
x
+
cos
xcos
12
x
sin
1xfi
0
2
x
+
cos
x
xfi
0
2
x
+
cos
xlim
x
=0, lim
x
不存在21x
sin¢
x
\
lim
xfi
0
(x2
+
sin
x
)¢不存在，洛必达法则失效x
sin1
x=
=
0xfi
0
x
+
sin
x
x【例3】lim
x
0
lim03．洛必达法则的条件一直满足，但,f
¢(x
)f
¢(x
)
【例4】lime
x
+
e
-
xx
fi
+¥g
¢(x
)
g
¢(x
)一直是不定型或越求越复杂，洛必达法则失效．e
x
-
e
-
x【例5】limxfi
0(e1-cos
x
-
esin3
x
)ln(1
+
tan
x)1
+
x
-
1
+
sin
xesin3
x
(e1-cos
x
-sin3
x
-
1)
x
(=
limx
fi
01
+
x
+1
+
sin
x
)x
-
sin
xx(1
-
cos
x
-
sin3
x)x
-
sin
x1
-
cos
x
-
sin3
x
+
x(sin
x
-
3
sin2
x
cos
x)=
2
limxfi
04.利用其它方法或许比用洛必达法则更加有效．或将洛必达法则与其他技巧结合使用．00=
2
limxfi
01
-
cos
xsin3
x
x
sin
x
3
x
sin2
x
cos
x
1
x21
x2
1
x21
x2
1
-
cos
x=
2
lim
xfi
0
22
22-+-
＝6
另解：(e1-cos
x
-
esin3
x
)ln(1
+
tan
x)limxfi
01
+
x
-
1
+
sin
xesin3
x
(e1-cos
x
-sin3
x
-
1)
x
(=
limx
fi
01
+
x
+1
+
sin
x
)x
-
sin
xx(1
-
cos
x
-
sin3
x)=
2
limxfi
0x2
lim1
-
cos
xx2
sin3
x
3
x2xfi
0-x
1
-
cos
xx
-
sin
xx3=
2
limxfi
03x
-
sin
xx(1
-
cos
x
-
sin3
x)=
2
lim
xfi
0
＝6【例6】计算arctan(3
3
1
-
cos2
x
)ln(e
sin
x
+
3
1
-
cos
x
)
-
sin
xlimxfi
0【解】0这是一个 型的不定型,
但直接利用洛必达0法则计算比较复杂恒等变形原式
esin
x
3
1
-
cos
x
ln
1
+lim
xfi
0
arctan(
3
3
1
-
cos2
x)等价代换esin
x3
1
-
cos
xlim31
-
cos2
xxfi
0
3变形整理lim3
1
-
cos
x3
1
-
cos
x
3
1
+
cos
xxfi
0
33
211=3
xfi
0
3
1
+
cos
x
3=
1
lim【例7】计算limx
ln(1
+
sin
x)e
x
-cos
x
-
ex
-1xfi
00【解】
这是一个
0
型的不定型,
但直接利用洛必达法则计算比较繁琐,先利用等价代换简化问题分子:e
x
-cos
x
-
e
x
-1
=
e
x
-1
(e1-cos
x
-1)~
ex
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