第八节-函数的连续性与连续函数的运算课件

一、函数的连续性1.函数的增量一、函数的连续性1.函数的增量1第八节---函数的连续性与连续函数的运算课件22.连续(continuous)的定义定义1

设函数在内有定义，如果当自变量的增量趋向于零时，对应的函数的增量也趋向于零，即或,那末就称函数在点连续，称为的连续点.2.连续(continuous)的定义定义1设函数3定义2

设函数在内有定义,如果函数当时的极限存在,且等于它在点处的函数值,即那末就称函数在点连续.

定义3设函数在内有定义,

称函数在点连续.

定义2设函数在内有定义,如果定4例1证例1证5由定义2可推得：例由定义2可推得：例63.单侧连续定理3.单侧连续定理7例例8例2解例2解9例2解右连续但不左连续,例2解右连续但不左连续,104.连续函数(continuousfunction)与连续区间4.连续函数(continuousfunction)与连11在区间上每一点都连续的函数,称函数在该区间上连续，或者叫做在该区间上的连续函数.连续函数的图形是一条连续而不间断的曲线.基本初等函数在其定义区间内是连续的.重要结论基本初等函数，在其定义域内的每点处的极限都存在且等于函数在该点处的值.在区间上每一点都连续的函数,称函数在该区间上连续，或者叫做在12例3证例3证13例4解例4解14例5解例5解15第八节---函数的连续性与连续函数的运算课件16二、函数的间断点二、函数的间断点17第八节---函数的连续性与连续函数的运算课件18(1)跳跃间断点例1解1.第一类间断点(1)跳跃间断点例1解1.第一类间断点19(2)可去间断点例2例3(2)可去间断点例2例320例2解例2解21注意

可去间断点只要改变或者补充间断处函数的定义,则可使其变为连续点.如例2中,跳跃间断点与可去间断点统称为第一类间断点.特点如例3中,注意可去间断点只要改变或者补充间断处函数的定义,则可222.第二类间断点(1)无穷间断点例如2.第二类间断点(1)无穷间断点例如23例4解例4解24(2)振荡间断点例5解(2)振荡间断点例5解25注意不要以为函数的间断点只是个别的几个点.注意不要以为函数的间断点只是个别的几个点.26间断点的分类：第一类间断点第二类间断点间断点可去间断点：跳跃间断点：无穷间断点振荡间断点间断点的分类：第一类第二类间断点可去间断点：跳跃间断点：无穷27三、连续函数的运算

1、四则运算的连续性定理1三、连续函数的运算

1、四则运算的连续性定理128例如,三角函数在其定义域内皆连续.例如,三角函数在其定义域内皆连续.29例例302、反函数的连续性定理2

严格单调的连续函数必有严格单调的连续反函数.例如,同理：反三角函数在其定义域内皆连续.2、反函数的连续性定理2严格单调的连续函数必有严格单调的313、复合函数的连续性定理3例如,3、复合函数的连续性定理3例如,32意义1.极限符号可以与函数符号互换;注意定理3是定理4的特殊情况.定理4意义1.极限符号可以与函数符号互换;注意定理3是定理4的特33例1解例1解34例2解同理可得例2解同理可得354、初等函数的连续性三角函数及反三角函数在它们的定义域内是连续的.★★★★(均在其定义域内连续)4、初等函数的连续性三角函数及反三角函数在它们的定义域内是连364、初等函数的连续性定理5

基本初等函数在定义域内是连续的.定理6

一切初等函数在其定义区间内都是连续的.定义区间是指包含在定义域内的任一区间区间.4、初等函数的连续性定理5基本初等函数在定义域内是连续的37例1解例2解

1.初等函数求极限的方法——代入法.注意例1解例2解1.初等函数求极限的方法——代入法.注意382.初等函数仅在其定义区间内连续,在其定义域内不一定连续;例如,这些孤立点的邻域内没有定义.在点x=0的邻域内没有定义.求f(x)的连续区间,就是求f(x)的定义区间.2.初等函数仅在其定义区间内连续,在其定义域内不一定393.分段函数的连续性：各段内部的连续性及各分段点处的连续性.3.分段函数的连续性：各段内部的连续性及各分段点处的连续性40解解41第八节---函数的连续性与连续函数的运算课件42四、小结1.函数在一点连续必须满足的三个条件;3.间断点的分类与判别;2.区间上的连续函数;第一类间断点:可去型,跳跃型.第二类间断点:无穷型,振荡型.间断点四、小结1.函数在一点连续必须满足的三个条件;3.间断点的分43⒋连续函数的和差积商的连续性.⒍复合函数的连续性.⒎初等函数的连续性.定义区间与定义域的区别;求极限的又一种方法.两个定理;两点意义.⒌反函数的连续性.⒋连续函数的和差积商的连续性.⒍复合函数的连续性.⒎初等44思考题思考题45思考题1解答且思考题1解答且46但反之不成立.例但但反之不成立.例但47思考题2解答是它的可去间断点思考题2解答是它的可去间断点48练习题一练习题一49第八节---函数的连续性与连续函数的运算课件50练习题一答案练习题一答案51第八节---函数的连续性与连续函数的运算课件52练习题二练习题二53第八节---函数的连续性与连续函数的运算课件54第八节---函数的连续性与连续函数的运算课件55练习题二答案练习题二答案56定理3证定理3证57将上两步合起来:将上两步合起来:58狄利克雷函数在定义域R内每一点处都间断,且都是第二类间断点.仅在x=0处连续,其余各点处处间断.★★狄利克雷函数在定义域R内每一点处都间断,且都是第二类间断点.59在定义域R内每一点处都间断,但其绝对值处处连续.★判断下列间断点类型:在定义