高等数学-第一节-定积分的概念与性质课件

第五章积分学不定积分定积分定积分

在一切理论成就中，未必再有什么象17世纪下半叶微积分的发现那样被看作人类精神的最高胜利了。如果在某个地方我们看到人类精神的纯粹的和唯一的功绩，那也就是正是在这里。恩格斯第五章积分学不定积分定积分定积分在一切理论1第一节一、定积分问题举例二、定积分的定义三、定积分的近似计算定积分的概念与性质第五章四、定积分的性质第一节一、定积分问题举例二、定积分的定义三、定积分的近似2一、定积分问题举例1.曲边梯形的面积设曲边梯形是由连续曲线以及两直线所围成,求其面积A.矩形面积梯形面积一、定积分问题举例1.曲边梯形的面积设曲边梯形是由连续曲线3ab思路与方法：变“曲”为“直”，首先用小矩形面积的和近似取代曲边梯形面积，再通过极限得到面积的精确值。

显然，小矩形越多，矩形总面积越接近曲边梯形面积．（四个小矩形）（九个小矩形）abxyoxyo

问题1：如何找出计算面积的方法。微积分的最大功绩在于，用干净利索的方法解决了这一问题，并用非常有效的方法解决了相当复杂的图形的面积的计算问题。ab思路与方法：变“曲”为“直”，首先用小矩形面积的和近似取4

观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系．显然，分的越细，小矩形越多，矩形总面积越接近曲边梯形面积．观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与5解决步骤:1)

大化小.在区间[a,b]中任意插入n–1个分点用直线将曲边梯形分成n个小曲边梯形;2)

常代变.在第i个窄曲边梯形上任取作以为底,为高的小矩形,并以此小梯形面积近似代替相应窄曲边梯形面积得解决步骤:1)大化小.在区间[a,b]中任意插入63)近似和.4)取极限.令则曲边梯形面积3)近似和.4)取极限.令则曲边梯形面积72.变速直线运动的路程设某物体作直线运动,且求在运动时间内物体所经过的路程s.解决步骤:1)大化小.将它分成在每个小段上物体经2)常代变.得已知速度n个小段过的路程为

问题2：当速度v随时间t而变化时：v=v(t)，如何求出物体在时间段[a,b]上运动的距离？2.变速直线运动的路程设某物体作直线运动,且求在运动时间内83)近似和.4)取极限.上述两个问题的共性:解决问题的方法步骤相同:“大化小,常代变,近似和,取极限”所求量极限结构式相同:特殊乘积和式的极限曲边梯形的面积3)近似和.4)取极限.上述两个问题的共性:解决问题9二、定积分定义任一种分法任取总趋于确定的极限I,则称此极限I为函数在区间上的定积分,即此时称f(x)在[a,b]上可积.记作二、定积分定义任一种分法任取总趋于确定的极限I,则称此10积分上限积分下限被积函数被积表达式积分变量积分和(1)定积分仅与被积函数及积分区间有关,而与积分变量用什么字母表示无关,即注意：积分上限积分下限被积函数被积表达式积分变量积分和(1)定积分11（2）在定积分的定义中为什么极限过程是

0而不是n

?abxy0

只有0，才能保证每个小区间的长度趋于0从而小矩形的面积接近窄曲边梯形的面积。

而分点的个数n

则不能保证（如右图）0xbay（2）在定积分的定义中为什么极限过程是0而不是12定积分的几何意义:曲边梯形面积曲边梯形面积的负值各部分面积的代数和定积分的几何意义:曲边梯形面积曲边梯形面积的负值各部分面积的13几何意义：物理意义：物体以变速v=v(t)作直线运动，在时间段[a,b]上经过的路程：介于x轴,直线x=a,x=b及曲线y=

f(x)之间的各部分面积的代数和。其中，在x轴上方的面积取正，下方的面积取负。几何意义：物理意义：物体以变速v=v(t)作直线运动14定理1.定理2.且只有有限个间断点可积的充分条件:(证明略)例1.

利用定义计算定积分解:将[0,1]n等分,分点为取定理1.定理2.且只有有限个间断点可积的充分条件:(证明略15注注16[注]

利用得两端分别相加,得即[注]利用得两端分别相加,得即17思考x1y面积值为圆的面积的思考x1y面积值为圆的面积的18例2.

用定积分表示下列极限:解:例2.用定积分表示下列极限:解:19三.定积分的近似计算根据定积分定义可得如下近似计算方法:将[a,b]分成n等份:1.左矩形公式例12.右矩形公式三.定积分的近似计算根据定积分定义可得如下近似计算方法:将20推导3.梯形公式4.抛物线法公式推导3.梯形公式4.抛物线法公式21抛物线法公式的推导上作抛物线(如图)则以抛物线为顶的小曲边梯形面积经推导可得：抛物线法公式的推导上作抛物线(如图)则以抛物线为顶的小曲边梯22例3.

用梯形公式和抛物线法公式解:计算yi(见右表)的近似值.ixiyi00.04.0000010.13.9604020.23.8461530.33.6697240.43.4482850.53.2000060.62.9411870.72.6845680.82.4390290.92.20994101.02.00000(取n=10,计算时取5位小数)用梯形公式得用抛物线法公式得积分准确值为计算定积分例3.用梯形公式和抛物线法公式解:计算yi(见右表)的近似23四、定积分的性质对定积分的补充规定:说明

在下面的性质中，假定定积分都存在，且不考虑积分上下限的大小．即：定积分的上、下限互换时，定积分变号。四、定积分的性质对定积分的补充规定:说明在下面的性24证此性质可以推广到有限多个函数代数和的情况性质1性质2证证此性质可以推广到有限多个函数代数和的情况性质1性质2证25证:当时,因在上可积,所以在分割区间时,可以永远取c为分点,于是性质3证:当时,因在上可积,所以在分割区间时,可以永远取26当a,b,c的相对位置任意时,例如则有（定积分对于积分区间具有可加性）性质4当a,b,c的相对位置任意时,例如则有（定积27性质5.若在[a,b]上则证:推论1.若在[a,b]上则说明：如果f(x)和g(x)在[a,b]上都连续，f(x)

g(x)

,

则进一步有性质5.若在[a,b]上则证:推论1.若在[28例1：比较积分解：因为在区间[1，2]上，和的大小。练习：1.比较积分和的大小。2。设则I,J,K的大小关系为2011数学一例1：比较积分解：因为在区间[1，2]上，和的大小29推论2.证:即说明：

可积性是显然的.推论2.证:即说明：30性质6(估值定理)则设证（此性质可用于估计积分值的大致范围）该性质有明显的几何意义性质6(估值定理)则设证（此性质可用于估计积分值的大致范围31解解32例3.

试证:证:设则在上,有即故即例3.试证:证:设则在上,有即故即33性质7.积分中值定理则至少存在一点使证:则由性质6可得根据闭区间上连续函数介值定理,使因此定理成立.性质7.积分中值定理则至少存在一点使证:则由性质6可得根34说明:可把故它是有限个数的平均值概念的推广.积分中值定理对因说明:可把故它是有限个数的平均值概念的推广.积分中值35例4.

计算从0秒到T秒这段时间内自由落体的平均速度.解:已知自由落体速度为故所求平均速度例4.计算从0秒到T秒这段时间内自由落体的平均速度36解：由积分中值定理知有使解：由积分中值定理知有使37内容小结1.定积分的实质—乘积和式的极限矩形公式梯形公式近似计算2.定积分的思想和方法：分割化整为零求和积零为整取极限精确值——定积分求近似以直（不变）代曲（变）取极限内容小结1.定积分的实质—乘积和式的极限矩形公式梯形公383.定积分的性质积分中值定理连续函数在区间上的平均值公式（注意估值性质、积分中值定理的应用）4.典型问题（１）估计积分值；（２）不计算定积分比较积分大小．3.定积分的性质积分中值定理连续函数在区间上的平均值公式