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施图姆-刘维尔本征值问题课件1构成施图姆-刘维尔（Sturm-Liouville）本征值问题（本征值的全体称为给定问题的“谱”）。

§9.4施图姆-刘维尔本征值问题一、为本征值；为权重因子（权函数）构成施图姆-刘维尔（Sturm-Liouville）本2例：例：3施图姆-刘维尔本征值问题课件4施图姆-刘维尔本征值问题课件5贝塞尔方程（本征值问题参阅P328）贝塞尔方程（本征值问题参阅P328）6（即厄米特方程（见P487）（即厄米特方程（见P487）7（即拉盖尔方程）（见P490）（即拉盖尔方程）（见P490）8①以上各例中，在区间上都取正值；注意：②关于自然边界条件是否存在：如端点a或b是k(x)的一阶零点，在该端点就存在自然边界条件.①以上各例中，在区间上都取正值；注意：②关于自然边界条件是否9共同条件：则存在无限多个本征值且相应有无限多个本征函数二、施图姆-刘维尔本征值问题的性质：定理1：若在且最多以上连续，为一阶极点，共同条件：则存在无限多个本征值且相应有无限多个本征函数二、施10证明对应的本征函数为，是方程的根.本征值设:则证明对应的本征函数为，是方程的根.本征值设:则11施图姆-刘维尔本征值问题课件12讨论：对第一、第二类边界条件：对第三类边界条件：讨论：对第一、第二类边界条件：对第三类边界条件：13上式大于零，因为第一项同理第二项得上式大于零，因为第一项同理第二项得14证明：定理2：相应于不同本征值的本征函数在区间即上带权重正交，两式分别乘以，相减证明：定理2：相应于不同本征值的本征函数在区间即上带权重正交15逐项积分逐项积分16讨论(证明同上):又讨论(证明同上):又17则必可展为绝对且一致收敛的广义傅立叶级数称为广义傅立叶系数；完备的，即若函数满足广义的狄利克雷条件：定理3：所有的本征函数族是(1)具有连续一阶导数和逐段连续二阶导数；所满足的边界条件，(2)满足本征函数族则必可展为绝对且一致收敛的广义傅立叶级数称为广义傅立叶系数；18其中模方证明：当正交关系和模是今后研究特殊函数的两个重要课题其中模方证明：当正交关系和模是今后研究特殊函数的两个重要课题19关于归一化问题：正交关系即归一化本征函数族。，当，对本征函数族，可用作为新的关于归一化问题：正交关系即归一化本征函数族。，当，对本征函数20一般定义：正交关系：复数本征函数族模：广义傅里叶级数及系数公式：一般定义：正交关系：复数本征函数族模：广义傅里叶级数及系数公2

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