山西省忻州市解原联合学校2022年高三数学理上学期期末试卷含解析

山西省忻州市解原联合学校2022年高三数学理上学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知函数f（x）=sin（x﹣φ），且f（x）dx=0，则函数f（x）的图象的一条对称轴是（）A．x= B．x= C．x= D．x=参考答案：A【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；定积分．【专题】三角函数的图像与性质．【分析】由f（x）dx=0求得cos（φ+）=0，故有φ+=kπ+，k∈z．可取φ=，则f（x）=sin（x﹣）．令x﹣=kπ+，求得x的值，可得函数f（x）的图象的一条对称轴方程．【解答】解：∵函数f（x）=sin（x﹣φ），f（x）dx=﹣cos（x﹣φ）=﹣cos（﹣φ）﹣[﹣cos（﹣φ）]=cosφ﹣sinφ=cos（φ+）=0，∴φ+=kπ+，k∈z，即φ=kπ+，k∈z，故可取φ=，f（x）=sin（x﹣）．令x﹣=kπ+，求得x=kπ+，k∈Z，则函数f（x）的图象的一条对称轴为x=，故选：A．【点评】本题主要考查定积分，函数y=Asin（ωx+φ）的图象的对称性，两角和差的三角公式的应用，属于中档题．2.已知是定义在上的奇函数，满足,当时,，则函数在区间上的零点个数是

A．3

B．5

C．7

D．9参考答案：D3.设函数的导函数为，若为偶函数，且在上存在极大值，则的图象可能为（

）A.B.

C.

D.

参考答案：C4.已知O为坐标原点，F是双曲线C：（a＞0，b＞0）的左焦点，A，B分别为左、右顶点，过点F做x轴的垂线交双曲线于点P，Q，连接PB交y轴于点E，连结AE交QF于点M，若M是线段QF的中点，则双曲线C的离心率为（）A．2 B． C．3 D．参考答案：C【考点】双曲线的简单性质．【分析】利用已知条件求出P的坐标，然后求解E的坐标，推出M的坐标，利用中点坐标公式得到双曲线的离心率即可．【解答】解：由题意可得P（﹣c，），B（a，0），可得BP的方程为：y=﹣（x﹣a），x=0时，y=，E（0，），A（﹣a，0），则AE的方程为：y=（x+a），则M（﹣c，﹣），M是线段QF的中点，可得：2=，即2c﹣2a=a+c，可得e=3．故选：C．5.下列不等式一定成立的是（

）A．（） B．（）C．（） D．（）参考答案：C6.函数的图像如图所示，在区间上可找到个不同的数使得则的取值范围是（A）

（B）（C）

（D）参考答案：B7.某企业为节能减排，用9万元购进一台新设备用于生产，第一年需运营费用2万元，从第二年起，每年运营费用均比上一年增加2万元，该设备每年生产的收入均为11万元，设该设备使用了n()年后，盈利总额达到最大值(盈利额等于收入减去成本)，则n等于A.4

B.5

C.6

D.7参考答案：B略8.如图，有一直角墙角，两边的长度足够长，在P处有一棵树与两墙的距离分别是am（0＜a＜12）、4m，不考虑树的粗细．现在想用16m长的篱笆，借助墙角围成一个矩形的花圃ABCD．设此矩形花圃的最大面积为S，若将这棵树围在花圃内，则函数S=f（a）（单位m2）的图象大致是(

)A． B． C． D．参考答案：C【考点】函数的图象与图象变化．【专题】压轴题；分类讨论．【分析】为求矩形ABCD面积的最大值S，可先将其面积表达出来，又要注意P点在长方形ABCD内，所以要注意分析自变量的取值范围，并以自变量的限制条件为分类标准进行分类讨论．【解答】解：设AD长为x，则CD长为16﹣x又因为要将P点围在矩形ABCD内，∴a≤x≤12则矩形ABCD的面积为x（16﹣x），当0＜a≤8时，当且仅当x=8时，S=64当8＜a＜12时，S=a（16﹣a）S=分段画出函数图形可得其形状与C接近故选C．【点评】解决本题的关键是将S的表达式求出来，结合自变量的取值范围，分类讨论后求出S的解析式．9.在矩形ABCD中，，，点E为BC的中点，点F在CD，若，则的值（）A. B.2 C.0 D.1参考答案：A【分析】以为原点建立直角坐标系，可以得到各点的坐标，然后表示出相应向量的坐标，再对向量进行坐标运算，得到结果.【详解】建立如图所示的坐标系，可得，，，，，，解得，，，.故选A项．【点睛】本题考查通过建立直角坐标系，将向量问题坐标化后解决，考查了向量坐标的线性运算和数量积，属于中档题.10.设非零向量、、满足，则向量与向量的夹角为（）A．150° B．120° C．60° D．30°参考答案：C【考点】平面向量数量积的运算．【专题】平面向量及应用．【分析】由+=可得﹣=，两边平方，结合向量的数量积的性质和定义，即可得到所求夹角．【解答】解：设||=||=||=t，由+=可得﹣=，平方可得，（﹣）2=2，即有||2+||2﹣2?=||2，即为2?=||2=t2，即有2t2cos＜，＞=t2，即为cos＜，＞=，则向量与向量的夹角为60°．故选：C．【点评】本题考查向量的数量积的定义和性质，考查向量的平方即为模的平方，考查运算能力，属于中档题．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.若函数有两个不同的零点，则实数的取值范围是

．参考答案：如图时函数的图象，要使函数有两个不同的零点，则实数的取值范围是：。12.已知，则与的夹角大小为

．参考答案：13.对任意两个非零的平面向量和，定义°=，若平面向量和满足||≥||＞0，与的夹角θ∈（0，），且°和°都在集合{|n∈Z}中，则°=

． 参考答案：1或【考点】平面向量数量积的运算． 【分析】由题意可得°==，n∈Z，°=cosθ=，m∈Z，且n≥m且m、n∈z．根据cos2θ∈（，1），即∈（，1），可得n和m的值；可得 °=的值． 【解答】解：任意两个非零的平面向量和，定义°=，若平面向量和满足||≥||＞0，与的夹角θ∈（0，）， 且°和°都在集合{|n∈Z}中， 则°====，n∈Z， °===cosθ=，m∈Z， ∵||≥||＞0，∴n≥m且m、n∈z． ∴cos2θ=．再由与的夹角θ∈（0，），可得cos2θ∈（，1），即∈（，1）． ∴n=2，m=1；或n=3，m=1，∴°==1；或

°==， 故答案为：1或． 【点评】本题主要考查两个向量的数量积的定义，得到n≥m且m、n∈z，且∈（，1），是解题的关键，属于中档题． 14.在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD是边长为的正方形，AA1=3，E是AA1的中点，过C1作C1F⊥平面BDE与平面ABB1A1交于点F，则CF与平面ABCD所成角的正切值为．参考答案：【考点】直线与平面所成的角．【分析】连结AC、BD，交于点O，当C1F与EO垂直时，C1F⊥平面BDE，从而F∈AA1，进而∠CAF是CF与平面ABCD所成角，由△C1A1F∽△EAO，求出AC，由此能求出CF与平面ABCD所成角的正切值．【解答】解：连结AC、BD，交于点O，∵四边形ABCD是正方形，AA1⊥底面ABCD，∴BD⊥平面ACC1A1，则当C1F与EO垂直时，C1F⊥平面BDE，∵F∈平面ABB1A1，∴F∈AA1，∴∠CAF是CF与平面ABCD所成角，在矩形ACC1A1中，△C1A1F∽△EAO，则=，∵A1C1=2AO=AB=2，AE=，∴A1F=，∴AF=，∴tan==．∴CF与平面ABCD所成角的正切值为．故答案为：．【点评】本题考查线面角的正切值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．15.已知函数在R上单调递减，且关于x的方程恰有两个不相等的实数解，则的取值范围是_________.参考答案：试题分析：由函数在R上单调递减得，又方程恰有两个不相等的实数解，所以，因此的取值范围是16.设函数，若，，则对任意的实数c，的最小值为

．参考答案：8依题意可知：，整理得，，方程表示如图一段弧AB，可表示弧上一点到直线y=-x的距离的平方，的最小值是8．17.已知函数的图像如图１所示，则＝

．参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知梯形中，∥，，

，、分别是、上的点，∥，，是的中点.沿将梯形翻折，使平面⊥平面(如图).(Ⅰ)当时，求证：⊥；(Ⅱ)若以、、、为顶点的三棱锥的体积记为，求的最大值；(Ⅲ)当取得最大值时，求二面角的余弦值.参考答案：（Ⅰ）作于，连，由平面平面知

平面而平面，故又四边形为正方形

∴

又，故平面而平面

∴.

（Ⅱ）∵，面面

∴面又由（Ⅰ）平面

∴

所以＝

即时有最大值为．（Ⅲ）设平面的法向量为∵

,，，

∴

则

即取

则

∴

面的一个法向量为则<>由于所求二面角的平面角为钝角所以，此二面角的余弦值为－.

19.已知函数f（x）=，g（x）=ex﹣2（Ⅰ）求函数r（x）=x+x2f′（x）﹣2在区间（0，+∞）上的最小值（Ⅱ）是否存在实数k，使得对?x∈（0，e]，f（x）≤k（x﹣1）≤g（x）？若存在，求出所有满足条件的k，若不存在，说明理由．参考答案：考点：利用导数求闭区间上函数的最值；导数的运算．专题：导数的综合应用．分析：（Ⅰ）由已知求得r（x），再对r（x）求导得到其单调区间，由单调性求得其在（0，+∞）上的最小值；（Ⅱ）由（Ⅰ）得lnx≤x﹣1，可得．然后讨论在（0，e]上恒成立时k的取值．构造函数h（x）=ex﹣2﹣x+1，利用导数求得在（0，e]上h（x）min=h（2）=0，即h（x）=ex﹣2﹣x+1≥0，得到ex﹣2≥x﹣1．可得当（0，e]时，对于k（x﹣1）≤g（x），在k=1时成立．由此可得存在唯一的k=1，使结论成立．解答： 解：（Ⅰ）由得r（x）=x﹣1﹣lnx，∴．∴当0＜x＜1时，r′（x）＜0，当x＞1时，r′（x）＞0．∴r（x）在区间（0，1）内单调递减，在（1，+∞）内单调递增．∴rmin=r（1）=0；（Ⅱ）由（Ⅰ）得lnx≤x﹣1，∴．讨论在（0，e]上恒成立时k的取值．①当1＜x≤e时，由，得恒成立，∵在（1，e]上单调递减，∴，又恒成立，∴k≥1；②当0＜x＜1时，由，得恒成立，∵在（0，1）上单调递减，∴，又恒成立，∴k≤1；③当x=1时，无论k取何值都恒成立，由①②③可得k=1．∴由恒成立可得k=1．设h（x）=ex﹣2﹣x+1，则h′（x）=ex﹣2﹣1，令h′（x）=ex﹣2﹣1=0，解得x=2．当x∈（0，2）时，h′（x）＜0，当x∈（2，e]时，h′（x）＞0，∴在（0，e]上h（x）min=h（2）=0，即h（x）=ex﹣2﹣x+1≥0，∴ex﹣2≥x﹣1．∴当（0，e]时，对于k（x﹣1）≤g（x），在k=1时成立．综上所述，存在唯一的k=1使结论成立．点评：本题考查利用导数求闭区间上的最值，考查了函数恒成立问题，考查了数学转化思想方法和分类讨论的数学思想方法，属难题．20.（本小题满分12分）已知四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为菱形，且PD⊥底面ABCD，∠DAB＝60°，E为AB的中点．

（1）证明：DC⊥平面PDE；

（2）若PD＝AD，求平面DEP与平面BCP所成二面角的余弦值．参考答案：21.已知是椭圆上的一点，F1，F2是该椭圆的左右焦点，且.（1）求椭圆C的方程；（2）设点A，B是椭圆C上与坐标原点O不共线的两点，直线OA，OB，AB的斜率分别为，且.试探究是否为定值，若是，求出定值，若不是，说明理由.参考答案：解：（1）由题意，，根据椭圆定义，所以所以，因此，椭圆（用待定系数法，列方程组求解同样给分）（2）设直线，，由消去y得因为，所以即，解得所以，

22.已知函数.

（1）当且，时，试用含的式子表示，并讨论的单调区间；

（2）若有零点，，且对函数定义域内一切满足的实数有.①求的表达式；

②当时，求函数的图象与函数的图象