河南省新乡市卫辉高级中学2022-2023学年高三数学文模拟试题含解析

河南省新乡市卫辉高级中学2022-2023学年高三数学文模拟试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.若a＞0，b＞0，a+b=+，则3a+81b的最小值为（）A．6 B．9 C．18 D．24参考答案：C【考点】7F：基本不等式．【分析】a＞0，b＞0，a+b=+，化为ab（a+b）=a+b＞0，可得ab=1．再利用基本不等式的性质即可得出．【解答】解：∵a＞0，b＞0，a+b=+，∴ab（a+b）=a+b＞0，∴ab=1．则3a+81b≥2=2≥2=18，当且仅当a=4b=2时取等号．∴3a+81b的最小值为18．故选：C．2.已知非零常数α是函数y=x+tanx的一个零点，则（α2+1）（1+cos2α）的值为（）A．2 B． C． D．参考答案：A【考点】函数与方程的综合运用；二倍角的余弦．【分析】由题意可得，tanα=﹣α，利用二倍角公式可得（α2+1）?（cos2α+1）=（1+tan2α）（2cos2α），化简可求．【解答】解：由题意非零常数α是函数y=x+tanx的一个零点，可得，tanα=﹣α，可得（α2+1）?（1+cos2α）=（1+tan2α）（2cos2α）=2（cos2α）×（+1）=2．故选：A．3.在等比数列{an}中，若a2，a9是方程x2﹣2x﹣6＝0的两根，则a4?a7的值为（）A.6 B.1 C.﹣1 D.﹣6参考答案：D【分析】由题意利用韦达定理，等比数列的性质，求得a4?a7的值．【详解】∵等比数列{an}中，若a2，a9是方程x2﹣2x﹣6＝0的两根，∴a2?a9＝﹣6，则a4?a7＝a2?a9＝﹣6，故选：D．【点睛】本题主要考查等比数列的性质及二次方程中韦达定理的应用，考查了分析问题的能力，属于基础题．4.已知双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0），过双曲线右焦点F倾斜角为直线与该双曲线的渐近线分别交于M、N，O为坐标原点，若△OMF与△ONF的面积比等于2：1，则该双曲线的离心率等于（）A．或 B． C．或 D．参考答案：C【考点】KC：双曲线的简单性质．【分析】先求出栓曲线的渐近线方程直线方程，求出M，N的纵坐标，再根据三角形的面积比得到a与b的关系，根据离心率公式计算即可．【解答】解：双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的渐近线方程为y=±x，设直线方程为y=x﹣c，由和解得yM=，yN=﹣，∵△OMF与△ONF的面积比等于2：1，若a＞b，∴：=2：1，∴a=3b，∴e====若a＜b，∴：=2：1，∴3a=b，∴e===，故选：C5.（5分）设集合P={3，log2a}，Q={a，b}，若P∩Q={0}，则P∪Q=（）A．{3，0}B．{3，0，1}C．{3，0，2}D．{3，0，1，2}参考答案：B【考点】：并集及其运算．【专题】：计算题．【分析】：根据集合P={3，log2a}，Q={a，b}，若P∩Q={0}，则log2a=0，b=0，从而求得P∪Q．解：∵P∩Q={0}，∴log2a=0∴a=1从而b=0，P∪Q={3，0，1}，故选B．【点评】：此题是个基础题．考查集合的交集和并集及其运算，注意集合元素的互异性，以及对数恒等式和真数是正数等基础知识的应用．6.已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0）的图象关于直线x=对称且f（﹣）=0，如果存在实数x0，使得对任意的x都有f（x0）≤f（x）≤f（x0+），则ω的最小值是（）A．2 B．4 C．6 D．8参考答案：B【考点】HW：三角函数的最值；H6：正弦函数的对称性．【分析】由题意直线x=是对称轴，对称中心为（﹣，0），根据三角函数的性质可求ω的最小值．【解答】解：函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0）的图象关于x=对称且f（﹣）=0，∴ω+φ=kπ+…①，﹣ω+φ=kπ…②，ωx0+φ≤+2kπ且（ωx0+φ）≥﹣+2kπ…③由①②解得ω=4，φ=kπ+，（k∈Z）当k=0时，ω=4，φ=，③成立，满足题意．故得ω的最小值为4．故选B．7.已知△ABC所在平面上的动点M满足，则M点的轨迹过△ABC的(

)A．外心

B．

内心

C．重心

D．垂心参考答案：A8.《张丘建算经》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有女不善织，日减功迟，初日织五尺，末日织一尺，今共织九十尺，问织几日？”，已知“日减功迟”的具体含义是每天比前一天少织同样多的布，则此问题的答案是（

）A.10日

B.20日

C.30日

D.40日参考答案：C9.若，则的展开式中常数项为（）A． B．

C． D．参考答案：C10.记Sn为等差数列{an}的前n项和，若，则{an}的公差为（）

A．1 B．2 C．4 D．8参考答案：C

联立求得

得

选C

二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.

函数的部分图象如左下图所示，则的值分别为

▲

.参考答案：2，12.甲、乙、丙、丁和戊5名学生进行劳动技术比赛，决出第1名到第5名的名次．甲、乙两名参赛者去询问成绩，回答者对甲说“很遗憾，你和乙都没有得到冠军”；对乙说“你当然不会是最差的”从上述回答分析，5人的名次排列可能有

种不同情况?（填数字）参考答案：5413.若，则=_________________参考答案：分析：由二倍角公式求得，再由诱导公式得结论．详解：由已知，∴．故答案为．点睛：三角函数恒等变形中，公式很多，如诱导公式、同角关系，两角和与差的正弦（余弦、正切）公式、二倍角公式，先选用哪个公式后选用哪个公式在解题中尤其重要，但其中最重要的是“角”的变换，要分析出已知角与未知角之间的关系，通过这个关系都能选用恰当的公式．14.已知直线的充要条件是a=

参考答案：答案：15.设x，y∈R，向量=（x，1），=（1，y），=（2，﹣4）且⊥，∥，则|+|=

．参考答案：【考点】平面向量数量积的运算；向量的模．【专题】计算题；平面向量及应用．【分析】由向量平行、垂直的充要条件，列出关于x、y的方程并解之，可得=（2，1）且=（1，﹣2），由此不难算出+向量的坐标，从而得到|+|的值．【解答】解：∵向量=（x，1），=（2，﹣4），且⊥，∴x×2+1×（﹣4）=0，解得x=2，得=（2，1），又∵=（1，y），=（2，﹣4），且∥，∴1×（﹣4）=y×2，解得y=﹣2，得=（1，﹣2），由此可得：+=（2+1，1+（﹣2））=（3，﹣1）∴|+|==故答案为：【点评】本题给出三个向量，在已知向量平行、垂直的情况下求和向量的模，着重考查了向量平行、垂直的充要条件，以及向量数量积的坐标运算等知识，属于基础题．16.袋中装有大小、形状完全相同的m个红球和n个白球，其中m，n满足：已知从袋中任取2个球，取出的2个球是同色的概率等于取出的2个球是异色的概率.现从袋中任取2个球，设取到红球的个数为ξ，则ξ的期望=

．参考答案：17.已知直线x＝a(0＜a＜)与函数f(x)＝sinx和函数g(x)＝cosx的图象分别交于M，N两点，若MN＝，则线段MN的中点纵坐标为

▲

．参考答案：略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.某企业拟建造如图所示的容器（不计厚度，长度单位：米），其中容器的中间为圆柱形，左右两端均为半球形，按照设计要求容器的体积为立方米，且．假设该容器的建造费用仅与其表面积有关．已知圆柱形部分每平方米建造费用为3千元，半球形部分每平方米建造费用为．设该容器的建造费用为千元．（Ⅰ）写出关于的函数表达式，并求该函数的定义域；（Ⅱ）求该容器的建造费用最小时的．

参考答案：21．解：（I）设容器的容积为V，由题意知故由于因此所以建造费用因此

（II）由（I）得由于当令所以

（1）当时，所以是函数y的极小值点，也是最小值点。

（2）当即时，当函数单调递减，所以r=2是函数y的最小值点，综上所述，当时，建造费用最小时当时，建造费用最小时19.在中，角所对的边分别为，且满足.求角的大小；求的最大值，并求取得最大值时角的大小.参考答案：、解：由正弦定理得因为，所以.从而.又，所以，则------------------------------------------------------6由知，，于是===-----------------------------------8因为，所以.从而当，即时，取最大值2.--------------------------------------------10综上所述，的最大值2，此时，.---------1220.（本小题满分15分）如图，曲线是以原点为中心、为焦点的椭圆的一部分，曲线是以为顶点、为焦点的抛物线的一部分，是曲线和的交点且为钝角，若，．

（I）求曲线和的方程；

（Ⅱ）过作一条与轴不垂直的直线，分别与曲线依次交于四点，若为的中点、为的中点，问：是否为定值？若是求出定值；若不是说明理由．参考答案：（Ⅰ）解法一：设椭圆方程为，则，得.设，则，，两式相减得，由抛物线定义可知，则或（舍去）所以椭圆方程为，抛物线方程为.…4分解法二：过作垂直于轴的直线，即抛物线的准线，作垂直于该准线，作轴于，则由抛物线的定义得，所以

，

得，所以c＝1，(，得）,因而椭圆方程为，抛物线方程为………………4分（Ⅱ）设把直线……15分21.已知函数是定义在上的奇函数，且.（1）求函数的解析式；（2）证明在上是增函数；（3）解不等式.参考答案：(1)解：是（-1，1）上的奇函数

（1分）又

（2分）

（4分）（2）证明：任设x1、x2（-1，1），且则

（6分），且

又

即

（7分）在（-1，1）上是增函数

（8分）（3）是奇函数

不等式可化为即

（9分）又在（-1，1）上是增函数

略22.已知集合Ωn={X|X=（x1，x2，…，xi，…，xn），xi∈{0，1}，i=1，2，…，n}，其中n≥3．?X={x1，x2，…，xi，…，xn}∈Ωn，称xi为X的第i个坐标分量．若S?Ωn，且满足如下两条性质：①S中元素个数不少于4个；②?X，Y，Z∈S，存在m∈{1，2，…，n}，使得X，Y，Z的第m个坐标分量是1；则称S为Ωn的一个好子集．（1）S={X，Y，Z，W}为Ω3的一个好子集，且X=（1，1，0），Y=（1，0，1），写出Z，W；（2）若S为Ωn的一个好子集，求证：S中元素个数不超过2n﹣1；（3）若S为Ωn的一个好子集，且S中恰有2n﹣1个元素，求证：一定存在唯一一个k∈{1，2，…，n}，使得S中所有元素的第k个坐标分量都是1．参考答案：【考点】命题的真假判断与应用．【分析】（1）根据好子集的定义直接写出Z，W，（2）若S为Ωn的一个好子集，考虑元素X′=（1﹣x1，1﹣x2，…，1﹣xi，…，1﹣xn），进行判断证明即可．（3）根据好子集的定义，证明存在性和唯一性即可得到结论．【解答】解：（Ⅰ）Z=（1，0，0），W=（1，1，1），…2分（Ⅱ）对于X?Ω，考虑元素X′=（1﹣x1，1﹣x2，…，1﹣xi，…，1﹣xn），显然X′∈Ωn，?X，Y，X′，对于任意的i∈{1，2，…，n}，xi，yi，1﹣xi不可能都为1，可得X，X′不可能都在好子集S中…4分又因为取定X，则X′一定存在且唯一，而且X≠X′，且由X的定义知道，?X，Y∈Ω，X′=Y′?X=Y…6分这样，集合S中元素的个数一定小于或等于集合Ωn中元素个数的一半，而集合Ωn中元素个数为2n，所以S中元素个数不超过2n﹣1；…8分（Ⅲ）?X={x1，x2，…，xi，…，xn}，．?Y={y1，y2，…，yi，…，yn}∈Ωn，定义元素X，Y的乘积为：XY={x1y1，x2y2，…，xiyi，…，xnyn}，显然XY∈Ωn，．我们证明：“对任意的X={x1，x2，…，xi，…，xn}∈S，都有XY∈S．”假设存在X，Y∈S，使得XY?S，则由（Ⅱ）知，（XY）′={1﹣x1y1，1﹣x2y2，…，1﹣xiyi，