高中各种函数图像画法与函数性质

高中各种函数图像画法与函数性质一次函数是指函数的最高次项为一次的函数，通常的形式是y=kx+b，其中k和b为常数。确定一次函数的定义域需要考虑以下几种情况：当关系式为整式时，函数定义域为全体实数；当关系式含有分式时，分式的分母不等于零；当关系式含有二次根式时，被开放方数大于等于零；当关系式中含有指数为零的式子时，底数不等于零。同时，在实际问题中，函数定义域还要和实际情况相符合，使之有意义。一次函数的图象是一条直线，其斜率k可以表示为y随x的增大而增大或减小，而截距b可以表示为y在x=0时的值。根据斜率的正负和大小，可以判断函数的单调性和增减性。二次函数是指函数的最高次项为二次的函数，通常的形式是f(x)=ax^2+bx+c，其中a、b、c为常数且a不等于0。确定二次函数的定义域需要考虑分母不等于零的情况，同时，根据二次函数的图像特征，可以得到其对称轴、顶点坐标、定义域、值域等信息。二次函数的图像是一个开口向上或向下的抛物线，其开口方向和顶点坐标可以表示为a的正负和大小。二次函数图像的对称有五种情况，分别是关于x轴、y轴、原点、顶点和任意一点对称。对称后的解析式可以根据对称轴和顶点坐标来确定。反比例函数是指函数的形式为y=k/x，其中k为常数。反比例函数的图像是一条以原点为对称中心的中心对称的双曲线。a＜1时，图像在R上是减函数。4.指数函数的图像经过点（0，1），且随着自变量的增大或减小，函数值不会超过1或小于0，即指数函数的值域为(0，+∞)。5.指数函数的图像在x轴上不存在水平渐近线，但存在一条y=0的水平渐近线。6.指数函数的图像在y轴左侧存在一条垂直渐近线x=0。7.指数函数的图像在第一象限内单调递增，在第二象限内单调递减，在第三象限内单调递增，在第四象限内单调递减。8.指数函数的图像在x轴右侧与x轴交于点(1，0)，在x轴左侧无交点。9.指数函数的图像在y轴右侧无交点，且随着自变量的增大，函数值趋近于无限大，即指数函数具有无穷增长性。10.指数函数的图像在y轴左侧存在一个对称点(-1，1/a)，即关于y轴对称。11.指数函数的图像在第一象限内与y=x有交点，且关于y=x对称；在第三象限内与y=x无交点，但也关于y=x对称。12.指数函数的图像在第二象限内与y=-x有交点，且关于y=-x对称；在第四象限内与y=-x无交点，但也关于y=-x对称。1.当a<1时，指数函数y=ax在定义域R上是减函数。2.指数函数y=ax既不是奇函数也不是偶函数。3.比较幂函数大小的方法：1)当底数相同时，利用指数函数的单调性进行比较；2)当底数中含有字母时，要注意分类讨论；3)当底数不同，指数也不同时，需要引入中间量进行比较；4)对多个数进行比较，可用1或-1作为中间量进行比较。4.底数的平移：在指数上加上一个数，图像会向左平移；减去一个数，图像会向右平移。在f(x)后加上一个数，图像会向上平移；减去一个数，图像会向下平移。5.对数函数：1)对数函数是指数函数的反函数，即y=loga(x)是y=a^x的反函数；2)因为指数函数y=ax的定义域为(-∞，+∞)，值域为(0，+∞)，所以对数函数y=loga(x)的定义域为(0，+∞)，值域为(-∞，+∞)；3)对数函数与指数函数互为反函数，因此它们的图像对称于直线y=x；4)对数函数y=loga(x)(a＞，a≠1)的图像是单调增加的，且a越大，图像越陡峭；5)比较对数大小的常用方法有：(1)若底数为同一常数，则可由对数函数的单调性直接进行判断；(2)若底数为同一字母，则按对数函数的单调性对底数进行分类讨论；(3)若底数不同、真数相同，则可用换底公式化为同底再进行比较；(4)若底数、真数都不相同，则常借助1、-1等中间量进行比较。6.指数函数与对数函数对比：名称指数函数对数函数一般形y=ax(a＞，a≠1)y=loga(x)(a＞，a≠1)图像性质在R上单调增加或减少在(0，+∞)上单调增加底数与真数的关系底数和真数同增或同减底数增加，真数增加；底数减少，真数减少当1时，函数是严格增函数，当01时，函数是严格减函数；（4）在第二象限内，函数是偶函数；（5）在第三象限内，函数是严格减函数；（6）在第四象限内，函数是奇函数。当0时，幂函数yx有下列性质：（1）当为奇数时，函数是奇函数，当为偶数时，函数是偶函数；（2）在第一象限内，当为负偶数时，函数是增函数，当为负奇数时，函数是减函数；（3）在第二象限内，函数是偶函数；（4）在第三象限内，当为负偶数时，函数是减函数，当为负奇数时，函数是增函数；（5）在第四象限内，函数是奇函数。幂函数yx的图像关于直线y=x对称。当1时，图像位于y=x上方，当01时，图像位于y=x下方。当幂函数的指数α小于1时，具有以下性质：图像通过点(1,1)，在第一象限内是向下凸的，向上与y轴无限接近，向右无限接近x轴。图像在第一象限内过点(1,1)后，α越大，图像下降的速度越快。无论α取任何实数，幂函数的图像必然经过第一象限，并且不经过第四象限。对于对号函数y=ax+b（a>0,b>0），它在区间(0,+∞)的图像类似于符号“√”，利用对号函数的图像和均值不等式，当x>0时，ax+b≥2√(axb)（当且仅当a=b时取等号）。由此可得函数y=ax+b（a>0,b>0,x∈R+）在x=b/a时有最小值2，特别地，当a=b=1时函数有最小值2。函数y=ax+b（a>0,b>0）在区间(0,b/a)上是减函数，在区间(b/a,+∞)上是增函数。因为对号函数是奇函数，所以可