阻尼振动与受迫振动教案

1/8阻尼振动、受迫振动与共振的教学设计方案教学目标教学重点教学难点教学方法教学用具课时安排

1、了解阻尼振动的动力学缘由以及三种状况下阻尼振动的特点。2、了解受迫振动的动力学缘由、解的特点以及共振发生的条件。3、知道共振的应用和防止的实例。1、什么是阻尼振动以及阻尼振动的特点。2、什么是受迫振动，什么是共振及共振产生的条件。1、简谐振动、阻尼振动及受迫振动的区分。2、共振发生的条件。1、多媒体课件与黑板板书相结合。2、图片举例，了解共振的应用和防止；3、实际演示，了解阻尼振动的特点及共振现象。多媒体课件、阻尼振动演示仪、共振演示仪。1〔50〕教学思路一、阻尼振动1、回忆前边学过的简谐振动，引入阻尼振动的概念。前边学过的简谐振动都是没有考虑阻力作用的，其振幅不随时间变化，且系统的机械能守恒。但实际的振动不行避开地要受到各种阻力的影响。通过一个具体的实例来观看在阻力作用下的单摆的振动特点。从而引出阻尼振动的概念：在回复力和阻力作用下的振动称为阻尼振动。并从该实例总结阻尼振动的特点：其振幅不断衰减。定性分析阻尼振动的特点：简谐振动的能量与其振幅的平方成正比：E A2，因此，振幅的衰减意味着能量的衰减。介绍引起能量损失的缘由：空气对单摆阻尼辐射阻尼：振动物体引起邻近质点的振动，使振动能量转变为波的能量向四周传播或辐射。如音叉振动2、定量分析阻尼振动的特点一般在定量分析时，只考虑摩擦阻尼。以液体中的水平弹簧振子为例：弹性力 摩擦阻力在水平方向上，物体受力：弹性力和液体的摩擦阻力振动速度不太大时，摩擦阻力：f依据牛顿其次定律：

vFkxvkxdx

md2x即 d2xkx dxdt2 m mdt

dt dt2km2令 0 m2得 d2x

dx2x0dt2 dt 0

称为阻尼系数0此方程按β大小的不同，微分方程有三种不同形式的解阻尼较小时，此时0

，称为欠阻尼状态此时在黑板上进展简洁的常微分方程的求解：方程的解为：xA0

0可进一步写成如下形式：x(t)A(t)cos(t)0A(t)A0

et称为阻尼振动的振幅，分析此式可知，阻尼振动的振幅按指数规律衰减，β越大衰减越快，所以阻尼振动又叫减幅振动而函数cos(t0

x(t)是具有周期性的。因此把T2 2220越大，振动周期T越长。可将此时的振动曲线画出，以便于形象说明阻尼较大时，此时0此时方程的解为：

，称为过阻尼状态xc1

(22)tce02e0

(22)te0e依据方程将曲线作出

过阻尼欠阻尼由曲线可看出，过阻尼振动从开头最大位移缓慢回到平衡位置,不再做往复运动。3)0

时，此时称为临界阻尼状态此时方程的解为：x(C1

t)et2依据方程将曲线作出临界阻尼过阻尼欠阻尼由曲线可看出，此时物体处于由欠阻尼向过阻尼过渡的临界状态，物体刚好能做非周期运动。而且与过阻尼相比，物体从离开平衡位置的地方运动回到平衡位置，需要的时间最短。实际演示：利用阻尼振动演示仪演示三种阻尼状态下的振动3、阻尼振动的应用1〕在磁式仪表中，为使人们能较快地和准确地读数测量，常使仪表的偏转系统处在临界阻尼状态下工作。2〕在生产实际中，可以依据不同的要求，用不同的方法来掌握阻尼的大小，例如各类机器，为了减振、防振，都要加大振动时的摩擦阻尼二.受迫振动与共振阻力总是客观存在的，只能减小而不能完全消退它。所以实际的振动系统免不了由于阻力而消耗能量，这会使振幅不断衰减。但在实际应用中，我们是不期望这种衰减的。为了使振幅不衰减，通常是给系统施加一个周期性外力——筹划力。在筹划力作用下的振动称作受迫振动。为简洁起见，假设筹划力有如下形式FF0

costF0

为筹划力的幅值，为筹划力角频率以在液体中的弹簧振子为例设物体处于平衡位置时，弹簧的伸长量为lmgkl

Fcost〔强迫力〕0设此时弹簧总伸长量为xl 弹性力md2xdt2

k(xl)

dxmgF0dt0

costdt2

kx

dx Fdt

costd2xdxkx

F cost0dt2 mdt m m0d2x 2 2xd2x dt2 dt 0 0这就是受迫振动的动力学方程。虽然此方程是从这一特例中得到的，但它是受迫振动的动力学方程的普遍形式。x(t)Aetcos( 22t)Acos(t)0 0 0在阻尼较小的状况下，方程的解为这个解由两项组成，可以看成是两个振动的合成。第一个振动是一个减幅振动，其次个振动是一个等幅振动。筹划力开头作用的阶段，系统的振动是格外简单的。经过一段时间之后第一项振动将减弱到可以无视不计。只剩下其次项。所以在受迫振动到达稳定状态时，它的稳态解应为其次项：xAcos(t0)这一过程可以通过以以下图形形象说明开头振动经过一段时间后，受迫振比较简单动进入稳定振动状态受迫振动到达稳定时，其频率等于筹划力的频率。振幅为初位相为

FA 0m (22)24220争论：

arctan2220受迫振动的稳态解从形式上看和无阻尼简谐振动的方程形式完全一样，二者有何区分？从形式上看二者完全全都，但实际上有本质区分。对于受迫振动的稳态解，并不是系统的固有频率，而是筹划力的频率。其振幅和初位相依靠于振动系统本身的性质、阻尼的大小和筹划力的特征。而无阻尼简谐振动的频率是系统的固有频率，由系统本身性质所打算，其振幅和初位相是由初始条件打算的。对于肯定的系统，在阻尼肯定的条件下，其受迫振动在稳态时的振幅随筹划力的频率而转变。此时令dAd 0A极大时的为 2220说明取此值时，振幅有最大值。我们把这种现象称为共振，此时的频率称为共振频率。共振时的振幅为FA 02 220从共振频率可看出，对于不同的阻尼因子，共振频率是不同的。试验测得，不同阻尼时，振幅和筹划力频率之间的关系曲线如以下图所示：实际演示：利用共振演示仪演示不同频率下的共振三、共振的危害与应用1、共振的危害与防止例1〔图片说明〕１８世纪中叶，法国昂热市四周一座长102m的桥，因一队骑兵在桥上经过。他们在指挥官的口令下迈着整齐的步伐过桥，引起桥梁共振，桥梁突然断裂，造成２２６名官兵和行人丧生。此后，各国都规定大队人马过桥，要便步通过。2〔图片说明，小录像〕19404860m大风引起的共振而塌毁，尽管当时的风速还不到设计风速限值的1/3。为避开这种共振，应用适宜的阻尼器抑制岸桥的风致振动。2、共振的应用1〔图片说明〕吉他能发出奇特的声音是由于有共鸣箱例2〔图片说明〕鱼洗盆：当人们在它的边缘摩擦时，盆内的水便会喷起，如喷池一般。说明我国古代很早就会利用共振、共鸣现象例3〔图片说明〕微波炉：微波炉加热食品时,炉内有很强的交变电磁场,它使得食物分子中的带电微粒做受迫振动.由于分子间的相互作用,振动的能量最终成为食物分子热运动的动能,提高了食物的温度。四、思考对于一个振动系统，假设其位移做的是一个无阻尼简谐振动，则其速度的运动也是简谐振动。xA0

cos(t)0vdxdt

Acos(t0

)2在受迫振动中，位移也在做一个类似于简谐振动的周期性振动xAcos(t)在 222时，其振幅最大，称为共振---位移共振。0问题：此时受迫振动的速度做什么样的运动？明显vdx

Acos(t)dt 2其速度也在做一个周期性振动。速度也有一个最大值A。我们把速度取最大值的现象称为速度共振。问题：什么状况下速度可取最大值？请同学们自己推导速度共振的条件，并比较位移共振与速度共振的不同。五、课堂小结简洁总结这一节课的主要内容〔表格说明〕振动方程无阻尼简谐振动

振动特点等幅振动

特征量A,,)0初始条件xA0

cos(t)0

机械能守恒

系统自身性质阻尼振动x(t)A(t)cos(t)0

初始条件A(t)A0

减幅振动能量不断衰减

阻尼因子系统自身性质 220受迫振动xAcos(t)

等幅振动，需要外界不断补充能量

与筹划力的幅值、频率及阻尼因子有关1、在张紧的水平绳上挂7个单摆，先让D摆振动起来，其余各摆也随之