高考数学核心突破《专题七　概率与统计》(含往年真题分析)

1.排列与组合的实际应用；二项式定理(二项系数以及二项展开式中指定项的求解)2.古典概型、互斥事件、相互独立事件，二项分布和超几何分布的有关概念和性质，正态分布问题是热点.3.离散型随机变量的分布列、均值和方差的计算问题以及在决策时的应用4.统计与统计案例中的抽样方法、频率分布直方图、茎叶图、回归分析.1.牢记有关概念，掌握解决问题的方法，理解概念的区别与联系，如：排列与组合、互斥与对立等，解题时重在理解和分析，2.掌握求分布列的方法、分布列的性质以及由分布列求期望和方差，3.记住一些特殊分布(如二项分布、正态分布)的概念及相关公式.4.统计中的数据、图表要仔细分析，2年考情回顾设问①利用计数原理、排列组合求实际问卷，16)②求二项式展开式的指定项、项的系卷I,14)审题要点①依据题设条件，厘清问题的实质，弄清是计数原理、排列、组合等不同问题.②分析给出多项式的特征及问题的要求.的式子中与特定项(如常数项、指定项)相关的量：利用二项式定理写出展开式的通项T+1=Cra"b,常把字母和系数分离(注意符号不要出错)高考中常从以下角度命题：(1)有条件限制的排列组合问题；(2)排列与组合的综合问题.多为选择、填空题，难度中等.点拨(1)应用两个计数原理解题的方法：当中又可能用到分类加法计数原理；②对于复杂的两个原理综合应用的问题，可恰当列出示意图或表格，使问题形象化、直观化.(2)求解排列、组合问题的思路：分清排组，明确加乘；有序排列，无序组合；分类相加，分步相乘(3)求解排列、组合的应用题，通常有以下途径：①以元素为主体和；②以位置为主体和；③先不考虑附加条件，计算出排列或组合数，再减去不符合要求的排列或组合数。突破点拨位数字有2种选法，十位数字有2种选法，个位数字有2种选法，所有共有3×2×2×2=24∈{1,2,…,8},均,则数列{an}的个数为(B),有2k个2,其余为1,找k的可能取值，用组合数计算，b₁∈,1≤i≤8.反之，由符合上述条件的8项数列{bn}可唯一确定条件的9项数列{an}.记符合条件的数列{bn}的个数为N,由题意知b.(1≤i≤8)中有2k2k个2,8-4k个1,且k的所有可能取值为0,1,2.共有1+C&C6+C;Ct=491个，故选B.解题小结1排列与组合的简单应用与综合问题类型繁多，如相邻与不相邻问题、间隔问题型二二项式定理高考中常从以下角度命题：(1)利用通项公式求展开式的特定项：(2)利用二项式性质求多项式的二项式系数和、各项系数和等.多为选择、填空题，难度中等偏易.点拨(1)在应用通项公式时，要注意以下几点：①它表示二项展开式的任意项，只要n与r确定，该项就随之确定；②T,+1是展开式中的第r+1项，而不是第r项；③公式中a,b的指数和为n且a,b不能随便颠倒位置；④对二项式(a-b)"展开式的通项公式要特别注意符号问题.(2)在二项式定理的应用中，"赋值法"是一种重要方法，是处理组合数问题、系数问题的经典方法.突破点拨由题意得C6a'b²=15ab²=135,Cba⁵b=6a⁵b=-18,令x=1,得(ax+b)⁶=(a+b)⁶=64.故选D.A.AB.B突破点拨(2)利用排列知识求k的值，再用展开式的通项解析.二项展开式的通项全排列，有A3种排法，故共有A3×A3=12,故含x³项的系数.故一起进行全排列，有A3种排法，再将A,B进行种排法，故k=12,所.二含x²项的系数为排列组合的综合问题考向预测以实际问题为背景，构建以排列、组合及计数原理的综合问题，求计数结果.(1)分析题设条件，明确问题是否与顺序有关，从而确定是排列还是组合问题.(2)选择合适的计数公式求解结果，失分防范(1)把握“顺序”、“无序”的本质，准确运用对应公式.(2)分类要不重不漏【预测】用数字0,1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数，其中比400()A.144个C.96个B.120个D.72个(1)切入点：两个计算原理的灵活运用、排列组合的概念及运算，(2)关注点：按最高位分两类处理：①万位为4;②万位为5.当五位数的万位为4时，个位可以是0,2,此时满足条件的偶数共有C2AJ=48(个);当五位数的万位为5时，个位可以是0,2,4,此时满足条件的偶数共有ClA1=72(个),所以比40000大的偶数共有48+72=120(个),故选B.【变式考法】(2016.北京海淀二模)把5件不同产品摆成一排，若产品A与产品B相邻，且产品A与产品C不相邻，则不同的摆法有36种.解析记5件产品为A,B,C,D,E,其中A,B相邻视为一个元素，先与D,E排列，有A3A3种方法，再将C插入，仅有3个空位可选，共有A3A3Cl=2×6×3=36种不同的摆.1.(教材回归)将4个相同的白球和5个相同的黑球全部放入3个不同的盒子中，每个盒子既要有白球，又要有黑球，则不同的放法的种数为(D)解析由题意知本题是一个分步乘法计数问题，首先把4个白球用两块挡板隔开分成三份，共有C3=3种放法，再把5个黑球用两块挡板分开，共有Ci=6种放法，由分步乘法计数原理知共有3×6=18种放法，故选D.2.(教材回归)5位同学站成一排照相，其中甲与乙必须相邻，且甲不能站在两端的排法总数是(B)解析5位同学站成一排照相，其中甲与乙必须相邻，用捆绑法，即甲与乙捆绑在一起当作一个，再与其他的3人全排列，有A3.A4种，其中甲站在两端的排法，有2A3种.因此共有A3.A4-2A3=36种排法.3.(2017.江西南昌调研)的展开式中所有项的系数的绝对值之和为1024,则该展开式中的常数项是(C)解析的展开式中所有项的系数的绝对值之和等的展开式中所有项的系数的和.,令x=1,得4”=1024,即n=5.因此当n=5时，4.(书中淘金)设,则的展开式中常数项是(A)解析因为所.其展开式的通,当r=3时，可得常数项为(-1)2³℃=-160.5.(x+1)(x-2)⁶的展开式中x⁴的系数为(A)为C8(-2)³=-160,x⁴的系数为C6(-2)²=60,所以(x+1)(x-2)⁶的展开式中x⁴的系数为一160+60=-100.故选A.解析由5～N(2,c²)及P(>a)=P(<a),B.-2的展开式的通项为T+1=CS(x²)³,当r=2时，6-3r=0,则常数项为(-2)²C3=12.求安排到该公司的两个部门，且每部门安排两名，解析由题可知，可分两步完成.先对4名大学生分组，分法种；然后排到公司五8.(考点聚焦)若二项展开式的二项式系数之和为64,则含x³项的系数为 .其展开式的通项为T+1=C6(x²Ckx9.(2017·浙江卷)从6男2女共8名学生中选出队长1人，副队长1人，普通队员2人组成4人服务队，要求服务队中至少有1名女生，共有660种不同的选法(用数字作答).解析用间接法考虑，8人中选正、副队长各1名有A2·C6种方法(含2名队员).其中没10.如图所示，用五种不同的颜色分别给A,B,C,D四个区域涂色，相邻区域必须涂解析按区域分四步：第一步A区域共有5种颜色可选；第二步B区域有4种颜色可选；第三步C区域有3种颜色可选；第四步由于D区域可以重复使用区域A中已用过的颜色，故也有3种颜色可选.由分步乘法计数原理知，共有5×4×3×3=180(种)涂色方法.逐题对点特训1.展开式中只有第六项的二项式系数最大，则展开式的常数项是(B)解析展开式中只有第6项的二项式系数最大，则展开式总共11项，所以n=10,通项公式为1r,所以r=2时，常数项为180.解析由题知，不同的座次有4A3A3=48种，故选B.3.若(1+x)(1-2x)⁷=ao+a₁x+a₂t²+…+as⁸,则a₁+a₂+…+a₇的值4.从正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的6个表面中选取3个面，其中有2个面不相邻的选法共有(B)解析事实上，从正方体的6个面中任取3个面，有两种情况：一种是有2个面不相邻，另一种是3个面都相邻，而3个面都相邻就是过同一顶点的3个面，有8个顶点，故有8种2356894723568947取法，而从6个面中任取3个面共有C8种选法，因此，有2个面不相邻的选法共有C6-8=12种，故选B.5.一种团体竞技比赛的积分规则是：每队胜、平、负分别得2分、1分、0分.已知甲球队已赛4场，积4分.在这4场比赛中，甲球队胜、平、负(包括顺序)的情况共有(D)ar=C8=8.解析(x-y)(x+2y+z)⁶=xCbx8.用红、黄、蓝三种颜色去涂图中标号为1,2,…,9的9个小正方形(如图),使得任意1解析把区域分为三部分，第一部分1,5,9,有3种涂法，第二部分4,7,8,当5,7同色时，4,8各有2种涂法，共4种涂法；当5,7异色时，7有2种涂法，4,8均只有1种涂法，故第二部分共4+2=6种涂法，第三部分与第二部分一样，共6种涂法.由分步乘法计数原理，可得共有3×6×6=108种涂法.是20解析∵令6-r=3,得r=3,则(x-1)⁶的展开式中含x³项的系数为C(-1)³=-20,的展开式中的常数项为20.10.将甲、乙、丙、丁四名学生分到两个不同的班，每个班至少分到一名学生，且甲、乙两名学生不能分到同一个班，则不同的分法的种数为.8(用数字作答).解析甲、乙不能分在同一个班，则不同的分组有甲单独一组，只有1种；甲和丙或丁两人一组，共2种；甲、丙、丁一组，也是1种，然后再把这两组分到不同班级里，则共有(1+2+1)A2=8种分法.11.在一次游戏中，三个人采用击鼓传花的方式决定最后的表演者，三个人互相传递，每人每次只能传一下，由甲开始传，经过五次传递后，花又被传回给甲，则不同的传递方式解析设这三人为甲、乙、丙，列举可知前四次的传递结果为：(乙，丙，甲，乙),(乙，丙，甲，丙),(乙，丙，乙，丙),(乙，甲，乙，丙),(乙，甲，丙，乙),(丙，甲，乙，丙),(丙，甲，丙，乙),(丙，乙，甲，乙),(丙，乙，甲，丙),(丙，乙，丙，乙),共10种.12.三名男生和三名女生站成一排，若男生甲不站在两端，任意两名女生都不相邻，则不同的排法种数是120,解析依题意，得不同的排法种数是A3Ai-2A3A3=120.第2讲概率、随机变量及其分布2年考情回顾设问[例](2017.北京卷,17(1))(2016·全国卷I,4)(2016.全国卷Ⅱ,8)的相关问题③求随机变量的分布列、期望、方差，并解决实际问题[例](2016.全国卷I,19)(2016.全国卷Ⅱ,审题要点①理解题设条件，明确概念，②吃透待求概率的事件内涵.③明确题设信息，分清分布的形态.④将新的情境转化为熟悉的问题.①求古典概型的概率：依据题设条件确定其属古典概型求出事件总数及满足所求概率所包含的事件数列出古典概型公式求概率②求几何概型的概率：明确概型的特征(长度、面积、体积)探求试验全部结果构成的区域和事件发生的区域由几何概型求出概率③利用期望与方差进行决策：确定变量：确定随机变量的所有可能的取值求概率：求每一个可能值所对应的概率得分布列：列出离散型随机变量的分布列求均值求方差决策热点题型突破题型一古典概型与几何概型高考中常从以下角度命题：(1)求解与长度、面积有关的几何概型问题(2)求解简单古典概型的概率(3)求与古典概型、几何概型有关的交汇问题.一般以选择、填空题形式呈现，多为中等偏易难度.点拨(1)解答有关古典概型的概率问题，关键是正确求出基本事件总数和所求事件包含的基本事件数，这常用到计数原理与排列、组合的相关知识.(2)在求基本事件的个数时，要准确理解基本事件的构成，这样才能保证所求事件所包含的基本事件数的求法与基本事件总数的求法的一致性.(3)当构成试验的结果的区域为长度、面积、体积、弧长、夹角等时，应考虑使用几何概型求解.(4)利用几何概型求概率时，关键是构成试验的全部结果的区域和事件发生的区域的寻注]当直接求解有困难时，可考虑其对立事件的概率.1.(1)袋中共有15个除了颜色外完全相同的球，其中有10个白球，5个红球.从袋中任取2个球，所取的2个球中恰有1个白球，1个红球的概率为(B)A.AC.CB.B(2)(2017·重庆二模)五个人围坐在一张圆桌有人同时翻转自己的硬币.若硬币正面朝上，则这个人站起来；若硬币正面朝下，则这个人继续坐着，那么，没有相邻的两个人站起来的概率为(C)突破点拨(1)根据古典概型的概率公式求解.(2)翻转5枚硬币的所有可能结果有2⁵,而后分类求出适合题设的事件数，解析(1)从15个球中任取2个球共有Cis种取法，其中有1个红球，1个白球的情况有(2)翻转五枚硬币所有可能的结果有2⁵=32种。记“没有相邻的两个人站起来”为事件M,M包含三类情形：①都不站起来，只有1种结果；②只有1人站起来，可以是五人中任意1人站起来，有5种结果；③有2人站起来，若设五个人座次为A,B,C,D,E,则可以为AC,AD,BD,BE,CE,有5种结果，∴事件M共包含11种结果，∴.故选C.2.(1)(2017.全国卷1)如图，正方形ABCD内的图形来自中国古代的太极图，正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称.在正方形内随机取一点，则此A.AC.CB.BD.D突破点拨解析(1)设正方形边长为2,则圆半径为1,则正方形的面积为2×2=4,圆的面积为π×1²=π,图中黑色部分的概率,则此点取自黑色部分的概率.故选B.面积.由几何概型的概率计算公式得.故选B.,解题小结!①适用条件：当构成试验的结果的区域为长度、面积、体积、弧长、量，在坐标系中表示所需要的区域.高考中常从以下角度命题：(1)相互独立事件同时发生的概率；(2)独立重复试验下某事件恰好发生k次的概率；(3)相互独立事件、独立重复试验与期望、方差交汇.多为解答题，有时也会以选择、填空题呈现，中等难度.点拨(1)求复杂事件的概率，要正确分析复杂事件的构成，看复杂事件能转化为几个彼此互斥的事件的和事件还是能转化为几个相互独立事件同率公式求解.(2)一个复杂事件若正面情况比较多，反面情况较少，则一般利用对立事件进行求解.对于“至少”、"至多"等问题往往用这种方法求解.(3)注意辨别独立重复试验的基本特征：①在每次试验中试验结果只有发生与不发生两种情况；②在每次试验中，事件发生的概率相同.(4)牢记公式Pn(k)=Cp(1-p)”⁻”,k=0,1,2,…,n,并深刻理解其含义.3射击一次击中目标得2分，未击中目标得0分.若甲、乙两人射击的命中率分别为和p,且35甲、乙两人各射击一次得分之和为2的概率为.假设甲、乙两人射击互不影响，则p的值C.D.4(2)(2017.湖北黄冈一模)甲、乙二人争夺一场围棋比赛的冠军.若比赛为“三局两胜”制，甲在每局比赛中获胜的概率头,且各局比赛结果相互独立.则在甲获得冠军的情况下，比赛进行了3局的概率为(B)A.AC.CB.BD.D,解方程可求p.(2)依题意知，本题为条件概率，则需求P(A)和P(AB).解析(1)记甲、乙两人各射击一次击中目标分别为事件A,B.由题意知A,B相互独立，,P(B)=p.即故选C.,(2)甲获得冠军的概率,其中比赛进行了3局的概率2.(1)小赵、小钱、小孙、小李到4个景点旅游，每人只去一个景点，设事件A=“4个人去的景点不相同”,事件B=“小赵独自去一个景点”,则P(A|B)=(A)A.AC.CB.BD.D(2)(2017.河南考前适应)袋中有大小质地完全相同的2个红球和3个黑球，不放回地摸出两球，设“第一次摸得红球”为事件A,“摸得的两球同色”为事件B,则概率解析(1)小赵独自去一个景点，则有4个景点可选，剩下三个人只能在小赵剩下的三个景点中选择，可能结果为3×3×3=27种，所以独自去一个景点的可能结果为4×3×3×3=108种.因为三个人去的景点不同的可能结果为4×3×2×1=24种，所以故选A.根据条件概率可知■解题小结,(1)相互独立事件同时发生的概率，一般直接利用概率公式求解，当正面计算比较复杂再求;②基本事件法：借助古典概型概率公式，先求事件A包含的事件数n(A),再求事件AB所包含的基本事件数n(AB),得题型三离散型随机变量及其分布列、数学期望高考中常常从以下三个角度命题：(1)已知离散型随机变量符合某条件，求其均值与方差；(2)已知离散型随机变量的均值与方差，求参数值(3)已知离散型随机变量满足两种方案，试作出判断.多为解答题，少许涉及概念的选择、填空题，难度中等.点拨求解离散型随机变量分布列问题的两个关键点：(1)求离散型随机变量分布列的关键是正确理解随机变量取每一个值所表示的具体事件，然后综合应用各类概率公式求概率，(2)求随机变量均值与方差的关键是正确求出随机变量的分布列.若随机变量服从二项分布，则可直接使用公式法求解1.设某校新、老校区之间开车单程所需时间为T,T只与道路畅通状况有关，对其容量为100的样本进行统计，结果如下：T/分钟(1)求T的分布列与数学期望E(T);,(2)刘教授驾车从老校区出发，前往新校区做一个50分钟的讲座，结束后立即返回老校区，求刘教授从离开老校区到返回老校区共用时间不超过120分钟的概率.突破点拨解析(1)由统计结果可得T的频率分布为T(分钟)以频率估计概率得T的分布列为TP从而E(T)=25×0.2+30×0.3+35×0.4+40×0.1,=32(分钟)设事件A表示“刘教授共用时间不超过120分钟”,由于讲座时间为50分钟，所以事件A对应于“刘教授在路途中的时间不超过70分钟”.且T₂≤35)+P(Ti=40,且T₂≤30)=0.2×方法二P(A)=P(Ti+T2>70)=P(Ti=35,T₂=40)+TiTi=40)=0.4×0.1+0.1×0.4+0.1×0.1=0.09.故P(A)=1-P(A)=0.91.2.某市A,B两所中学的学生组队参加辩论赛，A中学推荐了3名中学推荐了3名男生、4名女生，两校所推荐的学生一起参加集训。由于集训后队员水平相当，从参加集训的男生中随机抽取3人、女生中随机抽取3人组成代表队.(1)求A中学至少有1名学生入选代表队的概率；(2)某场比赛前，从代表队的6名队员中随机抽取4人参赛，设X表示参赛的男生人数，求X的分布列和数学期望.突破点拨解析(1)由题意，参加集训的男、女生各有6名.参赛学生全从B中学抽取(等价于A中学没有学生入选代表队)的概率.因此，A中学至少有1名学生入选代表队的概所以X的分布列为X123P153515热点题源预测考向预测以实际问题为背景将概率的计算、分布列的求解、期望方差的计算以及实际问题的决策综合设计考题.(1)明确问题中的概型特征.(2)分清题设条件中的隐含因素.(3)仔细计算不同条件下的概率.失分防范(1)注意题设条件中的限制.(2)防止弄混分布的形式，乱套公式(3)求解概率计算要准确.【预测】学校游园活动有这样一个游戏项目：甲箱子里装有3个白球、2个黑球，乙箱子里装有1个白球、2个黑球，这些球除颜色外完全相同.每次游戏从这两个箱子里各随机摸出2个球，若摸出的白球不少于2个，则获奖(每次游戏后将球放回原箱).(1)求在1次游戏中：①摸出3个白球的概率；②获奖的概率，(2)求在2次游戏中获奖次数X的分布列及数学期望E(X).思维导航审题视点：(1)①在1次游戏中，摸出3个白球只能是在甲箱里摸2个白球，在乙箱中摸1个白球.②”获奖”这一事件包括摸出2个白球和3个白球.(2)利用独立重复试验模型求解.解题程序：第一步：求摸出3个白球的概率.第二步：求在1次游戏中获奖的概率.第三步：求在2次游戏中获奖次数X的分布列.第四步：求X的数学期望.检验尤为重要.规范解答(1)①设“在1次游戏中摸出i个白球”为事件A,(i=0,1,2,3),则②设“在1次游戏中获奖”为事件B,则B=A₂UA₃.所以X的分布列是X012P【变式考法】一批产品需要进行质量检验，检验方案是：先从这批产品中任取验，这4件产品中优质品的件数记为n.如果n=3,再从这批产品中任取4件作检验，若都为优质品，则这批产品通过检验；如果n=4,再从这批产品中任取1件作检验，若为优质率为50%,即取出的每件产品是优质品的概率都,且各件产品是否为优质品相互独立.(2)已知每件产品的检验费用为100元，且抽取的每件产品都需要检验，对量检验所需的费用记为X(单位：元),求X的分布列及数学期望.解析(1)设第一次取出的4件产品中恰有3件优质品为事件A,第一次取出的4件产品中全为优质品为事件B,第二次取出的4件产品都是优质品为事件C,第二次取出的1件产(2)X的可能取值为400,500,800,并且XP11对点规范演练1.(教材回归)箱子里有5个黑球，4个白球，每次随机取出一个球，若取出黑球，则放回箱子，重新取球；若取出白球，则停止取球，那么在第4次取球之后停止的概率为(B)A.AC.CB.BD.D解析前3次取得的都是黑球，第4次取到的是白球，且4次取球相互独立，故选B.别标有“元”“旦”“快”“乐”(每球标一个字).若从袋中逐个不放回地摸出一个球排成.C.C解析将这4个球全排列，共有A4=24..个等可能基本事件，而按要求每组的两个字分别选D.解析∵|l≤1,∴(x-1)²+y²≤1,表示以M(1,0)为圆心，1为半径的圆的面积为π.易知直线y=x与圆(x-1)²+y²=1相交于O(0,0),故所求的概率.故选B.4.(书中淘金)设X～N(ui,oi),Y～N(μ₂,3),这两个正态分布密度曲线如图所示.下C.对任意正数t,P(X≤1)≥P(Y≤1)D.对任意正数t,P(X≥1)≥P(Y≥1)A.AC.C..解析分析可知，要满足题意，则抽取的除5以外的四个数字中，有两个比5小，有两个比5大，故所求概率6.(数学文化)传说战国时期，齐王与田忌各有上等、中等、下等三匹马，同等级的马中，齐王的马比田忌的马强，但田忌的上、中等马分别比齐王的中、下等马强.有一天，齐B.BD.D7.(2017·浙江卷)已知随机变量ξ满足P(G=1)=pi,P(&=0)=1-pi,i=1,2.若,则(A)(2)若有2辆车独立地从甲地到乙地，求这2辆车共遇到1个红灯的概率.X0123P随机变量X的数学期望所以，这2辆车共遇到1个红灯的概率9.(2017.北京卷)为了研究一种新药的疗效，选100名患者随机分成两组，每组各50制成下图，其中“,”表示服药者，“+”表示未服药者.(1)从服药的50名患者中随机选出一人，求此人指标y的值小于60的概率；(2)从图中A,B,C,D四人中随机选出两人，记ξ为选出的两人中指标x的值大于1.7(3)试判断这100名患者中服药者指标y数据的方差与未服药者指标y数据的方差的大小解析(1)由图知，在服药的50名患者中，指标y的值小于60的有15人，所以从服药的50名患者中随机选出一人，此人指标y的值小于60的概率(2)由图知，A,B,C,D四人中，指标x的值大于1.5012P(3)在这100名患者中，服药者指标y数据的方差大于未服药者指标y数据的方差，一次安全意识测试，根据测试成绩评定"合格"“不合格”两个等级，同时对相应等级进行量化：“合格”记5分，“不合格”记0分，现随机抽取部分学生的答卷，统计结果及对应的频率分布直方图如下所示.6ab(2)用分层抽样的方法，从评定等级为“合格”和“不合格”的学生中选取10人进行座谈.再从这10人中任选4人，记所选4人的量化总分为，求ξ的分布列及数学期望E(5);(3)某评估机构以指标,其中D(5)表示的方差来评估该校安全教育活动的成效.若M≥0.7,则认定教育活动是有效的；否则认定教育活动无效，应调整安全教育方案.在(2)的条件下，判断该校是否调整安全教育方案?解析(1)由频率分布直方图可知，得分在[20,40]的频率为0.005×20=0.1,故抽取的学生答卷数量又由频率分布直方图可知，得分在(80,100)的频率为0.2,所以b=60×0.2=12.(2)"不合格"与“合格”的人数比例为24:36=2:3,因此抽取的10人中“不合格”的有4人，“合格”的有6人.所以ξ可能的取值为20,15,10,5,0.5的分布列为50P故我们认为该校的安全教育活动是有效的，不需要调整安全教育方案.逐题对点特训解析六个人站成一排照相，基本事件总数n=A8=720,甲、乙两人之间恰好站两个人包含的基本事件个数m=A3A3A3=144,所以甲、乙两人之间恰好站两人的概率2.(2017.河南洛阳模拟)有一个奇数数列1,3,5,7,9,…,现在进行如下分组，第一组有1个数为1,第二组有2个数为3,5,第三组有3个数为7,9,11,……,依次类推，则从第十组中随机抽取一个数恰为3的倍数的概率为(B)A.AC.C..解析由已知可得前九组共有1+2+3+…+9=45个奇数，第十组共有10个奇数，分别3.(2017.陕西宝鸡一模)设随机变量X～N(2P(X≥3)=0.1587,那么向正方形OABC中随机投掷10000个点，则落入阴影部分的点的个数的估计值为(B)(附：随机变量ξ服从正态分布N(μ,o²),则P(μ-a<<μ+σ)=0.6826,P(μ-2o<<μ+2o)=0.9544,P(μ-3o<s<μ+3o)=0.9又∵μ=2,P(μ-o<X<μ+a)=0.6826,∴估计阴影区域内有10000-1359=8641个点，故选B.容量为5的样本，则个体m被抽到的概率为(B)A.AC.CB.BD.D解析总体含有100个个体，以简单随机抽样的方法从该总体中抽取一个容量为5的样本，则指定的某个个体被抽到的概率.故选B.距离都大于1的概率为(A)A.AC.C解析在△ABCB.BDD中，设AB=5,BC=6,AC=√13,,分别以A,B,C则则为圆心，以1为半径作圆，故所求概率P=6.一只蜜蜂在一个棱长为3的正方体内自由飞行，若蜜蜂在飞行过程中始终保持与正方体6个表面的距离均大于1,称其为“安全飞行”,则蜜蜂“安全飞行”的概率为(C)A.AC.CB.BD.D解析由已知条件可知，蜜蜂只能在一个棱长为1的小正方体内飞行，结合几何概型可得7.掷一个骰子的试验，事件A表示"出现小于5的偶数点",事件B表示"出现小于5的点数”,则一次试验中，事件AUB发生的概率为(C)解析掷一个骰子的试验有6种可能结果.依题意，.故选C.标原点，则直线OA与y=x²+1有交点的概率是(C)是集合N中任意一点，O为坐.C.C共有16个元素，其中使OA斜率不小于2的有(1,2),(1,3),(1,4),(2,4),共4个，由古典概型知概率9.(2017.青海西宁二模)如图所示，矩形ABCD的边长AB=1,AD=4,抛物线顶点为边AD的中点E,且B,C两点在抛物线上，则从矩形内任取一点落在抛物线与边BC围成的封闭区域(包含边界上的点)内的概率f(x)=x²-2ax+a+2.∴-2≤a<-1或2<a≤3,范围区间的长度为2,∴所求概率第3讲统计与统计案例2年考情回顾设问方式审题要点①有关三种抽样方法的概念辨析与计算①认真阅读题设条件，明确各自的含义.②审结论，明确解题方向.③审条件，挖掘解题信息.[例](2017.全国卷I,19(1))AA列表求出x,y,Zx²,Zxy→利用相应公式计算a'bi=1iF1解题模板回归方程作出判断，借助题型一抽样方法高考中常从以下角度命题：(1)系统抽样的概念；(2)分层抽样中的数值计算.多为选择、填空题，偶尔以解答题的一问呈现，难度不大.点拨(1)在系统抽样的过程中，要注意分段间隔，需要抽取n个个体，总体就需要分成n个组，则分段间隔即为N(N为总体容量),首先确定在第一组中抽取的个体的号码n数，再从后面的每组中按规则抽取每个个体.(2)解决此类题目的关键是深刻理解各种抽样方法的特点和适用范围.但无论哪种抽样方法，每一个个体被抽到的概率都相等，都等于样本容量与总体容量的比值.I突破题组1.在一次马拉松比赛中，35名运动员的成绩(单位：分钟)的茎叶图如图所示.若将运动员按成绩由好到差编为1～35号，再用系统抽样方法从中抽取7人，则其中成绩在区间[139,151]上的运动员人数是4突破点拨对数据分组，在区间[139,151]上有几组就有几个运动员，解析35÷7=5,因此可将编号为1～35的35个数据分成7组，每组有5个数据，在区间[139,151]上共有20个数据，分在4个小组中，每组取1人，共取4人.2.(1)(2017.山东名校联考信息卷)某书法社团有男生30名，女生20名，从中抽取一个容量为5的样本，恰好抽到了2名男生和3名女生.①该抽样一定不是系统抽样；②该抽样可能是随机抽样；③该抽样不可能是分层抽样；④男生被抽到的概率大于女生被抽到的概率.其中说法正确的为(B)(2)(2018.山东潍坊模拟)某校对高三年级1600名男女学生的视力状况进行调查，现用分层抽样的方法抽取一个容量为200的样本，已知样本中女生比男生少10人，则该校高三年级的女生人数是760.(1)根据抽样方法的特点判断.(2)先求出样本中女生或男生的人数，再按分层抽样的定义求解.解析(1)该抽样可能是系统抽样、随机抽样，但一定不是分层抽样，所以①错误，②正确，③正确；抽到男生的概率等于抽到女生的概率，所以④错误，故说法正确为②③.故选B.(2)设样本中女生有x人，则男生有x+10人，所以x+x+10=200,得x=95,设该校高三年级的女生有y人，由分层抽样的定义可,解得y=760.所以该校高三年级的女生人数为760.题型二用样本估计总体高考中常从以下角度命题：(1)用统计图表估计总数；(2)用样本的数字特征估计总体特征.点拨(1)众数、中位数、平均数与直方图的关系①众数为频率分布直方图中最高矩形的底边中点的横坐标；②中位数为平分频率分布直方图面积且垂直于横轴的直线与横轴交点的横坐标；③平均数等于频率分布直方图中每个小矩形的面积乘以小矩形底边中点的横坐标之积的和.(2)方差的计算与含义：计算方差首先要计算平均数，然后再按照方差的计算公式进行计算，方差和标准差是描述一个样本和总体的波动大小的特征数，标准差大说明波动大.1.某电子商务公司对10000名网络购物者2017年度的消费情况进行统计，发现消费金 额(单位：万元)都在区间[0.3,0.9]内，其频率分布直方图如图所示，则直方图中的a=3. 突破点拨利用各小矩形的面积和为1,建立关于a的方程，解方程求a.解得a=3.【变式考法】(1)在本例的条件下，在这些购物者中，消费金额在区间[0.5,0.9]内的购物者的人数为6.000.解析(1)区间[0.3,0.5]内的频率为0.1×1.5+0.1×2.5=0.4,故[0.5,0.9]内的频率为1-0.4=0.6.因此，消费金额在区间[0.5,0.9]内的购物者的人数为0.6×10000=6000.因为(1.5+2.5)×0.1=0.4<0.5,所以消费金额的中位数在[0.5,0.6]内，设中位数为b,则(1.5+2.5)×0.1+3(b-0.5)=0.5,所以,即中位数正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布N(μ,a²).②下面是检验员在一天内抽取的16个零件的尺寸：和a(精确到0.01).突破点拨解析(1)抽取的一个零件的尺寸在(μ-3a,μ+3a)之内的概率为0.9974,从而零件的尺寸在(μ-3σ,μ+3a)之外的概率为0.0026,故X～B(16,0.0026).因此P(X≥1)=1-[P(X=0)]l⁶=1-0.9974¹⁶=0X的数学期望为EX=16×0.0026=0.0416.(2)①如果生产状态正常，一个零件尺寸在(μ-3a,μ+3a)之外的概率只有0.0026,一天内抽取的16个零件中，出现尺寸在(μ-3a,μ+3a)之外的零件的概率只有0.0408,发生的概率很小，因此一旦发生这种情况，就有理由认为这条生产线在现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查，可见上述监控生产过程的方法是合理的.②由x=9.97,s≈0.212,得μ的估计值为μ=9.97,σ的估计值为a=0.212,由样剔除(μ-3σ,μ+3a)之外的数据9.22,剩下数据的平均数因此μ的估计值为10.02..212²+16×9.97²≈1591.134,剔除(u-3σ,μ+3a)之外的数据9.22,剩下数据的样本方差1.134-9.22²-15×10.02²)≈0.008,统计和概率结合在一起，比较新颖，也是高考的方向，应引起重视.题型三变量的相关性与统计案例高考中常从以下角度命题：(1)求线性回归方程问题；(2)利用回归分析对有关变量作出估计；(3)独立性检验，既有选择、填空题，又有解答题，难度中等.点拨A(1)由回归方程分析得出的数据只是预测值不是精确值，此类问题的易错点是方程中的计算，代入公式计算要细心.(2)独立性检验是指利用2×2列联表，通过计算随机变量K²来确定在多大程度上两个分类变量有关系的方法，K²值越大，说明两个分类变量X与Y有关系的可能性越大，要会用临界表判断X与Y有关系的可信程度ABCDEFG广告费支出x₁1246(1)若用线性回归模型拟合y与x的关系，求y关于x的线性回归方程；(2)用对数回归模型拟合y与x的关系，可得回归方,计算得线性回归模型和对数回归模型的R²分别约为0.75和0.97,请用R²说明选择哪个回归模型更合适，并用此模型预测A超市广告费支出为8万元时的销售额.,,突破点拨(1)依据公式计算b和a,再写出回归方程.(2)∵0.75<0.97,∴对数回归模型更合适，Ay=12In8+22=36In2+22≈47当广告费支出为8万元时，预测A超市销售额为47.2万元.2.某高校共有学生15000人，其中男生10500,女生4500人，为调查该校学生每周平均体育运动时间的情况，采用分层抽样的方法，收集300位学生每周平均体育运动时间的样(2)根据这300个样本数据，得到每周平均体育运动时间的频率分布直方图(如图所示),平均体育运动时间超过4个小时的概率；(3)在样本数据中，有60位女生的每周平均体育运动时间超过4个小时，请完成每周平均体育运动时间与性别列联表，并判断是否有95%的把握认为“该校学生的每周平均体育运(2)由“超过4小时"与"不超过4小时”是对立事件，间接求得“超过4小时”的概率，②求出K²的观测值k,并对照附表作判断.解析,所以应收集90位女生的样本数据.(2)由频率分布直方图得每周平均体育运动超过4小时的频率为1-2×(0.100+0.025)=0.75,所以该校学生每周平均体育运动时间超过4小时的概率的估计值为0.75.(3)由(2)知，300位学生中有300×0.75=225(位)每周平均体育运动时间超过4小时，75位每周平均体育运动时间不超过4小时.因为样本数据中有210份是关于男生的，90份是关于女生的，所以每周平均体育运动时间与性别列联男生女生总计每周平均体育运动时间不超过4小时总计762>3.841,所以有95%的把握认为“该学生的每周平均体育运动时间与性别解题小结(1)正确理解计公式和准确的计算是求线性回归方程的关键热点题源预测考向预测将抽样方法、统计知识、概率问题交汇在一起构建求统计量、概率等.(1)明确题设条件，厘清统计、概率的相关知识要素(2)按照不同知识点的要求依次求解.失分防范(1)防止对各知识点的理解认知失误(2)计算要细心，预防不必要的失误.【预测】为降低汽车尾气的排放量，某厂生产甲、乙两甲、乙两种节排器中各自随机抽取100件进行性能质量评估检测，综合得分情况的频率分布直方图如图所示.综合得分k的范围节排器等级一级品a二级品三级品(1)若从这100件甲型号节排器中按节排器等级用分层抽样的方法抽取10件，再从这10件节排器中随机抽取3件，求至少有2件一级品的概率；①若从乙型号节排器中随机抽取3件，求二级品数ξ的分布列及数学期望E(5);思维导航(1)由甲型号节排器的频率分布直方图可得，一级品：二级品=3:2.所以用分层抽样的方法抽取的10件中有6件一级器，4件二级品，所以所求概率的概率,三级品的概率若从乙型号节排器中随机抽取3件，则二级品数ξ所有可能的取值为0,1,2,3,且5~所以的分布列为0123P,,所以E-Ez<0.【变式考法】(2017.安徽三市联考)据某市地产数据研究院的数据显示，建住宅销售均价走势如下图所示，为抑制房价过快上涨，政府从8月采取宏观调控措施，10月份开始房价得到很好的抑制.(1)地产数据研究院研究发现，3月至7月的各月均价y(万元/平方米)与月份x之间具有较强的线性相关关系，试建立y关于x的回归方程(系数精确到0.01),政府若不调控，以此相关关系预测12月份该市新建住宅销售均价；(2)地产数据研究院在2017年的12个月份中，随机抽取三个月份的数据作样本分析.若关注所抽三个月份的所属季度，记不同季度的个数为X,求X的分布列和数学期望.a=y-bx.解析(1)根据题目中的图象可列数据如下.月份x34567.064,a=y-bx=1.072-0.064×5=0.752,所以从3月份至7月份y关于x的回归方程).06x+0.75.将2016年的12月份x=12代入回归方程，).06×12+0.75=1.47,所以，若不调控，预测12月份该市新建住宅销售均价约为1.47万元/平方米.’所以X的分布列为X123P对点规范演练则这组数据的中位数是(B)解析由茎叶图知，平均气温在20℃以下的有5个月，在20℃以上的也有5个月，恰好是20℃的有2个月，由中位数的定义知，这组数据的中位数为20.故选B.2.若样本数据xi,x₂,…,xio的标准差为8,则数据2x₁-1,2x₂-1,…,2xio-1的标准差为(C)解析已知样本数据xi,X₂,…,Xio的标准差为s=8,则s²=64,数据2x₁-1,2x₂-1,…,2xio-1的方差为2²s²=2²×64,所以其标准差为√2²×64=2×8=16.故选C.3.为了解某社区居民的家庭年收入与年支出的关系，随机调查了该社区5户家庭，得到收入x/万元,据此估计，,其中,据此估计，该社区一户年收入为15万元家庭的年支出为(B)C.12.0万元D.12.2万元解析由统计数据表可得=0.76×15+0.4=11.8,故估计年收入为15万元家庭的年支出为11.8万元.故选B.xyw型.A所以y关于w的线性回归方程.6+68,因此y关于x的回归方程y=100.6+68√x.y=100.6+68×√49=576.6,年利润z的预报值A2=0.2(100.6+68√F)-x=-x+13.6√K+故年宣传费为46.24千元时，年利润的预报值最大，市民购买该款手机是否与年龄有关，现随机抽取了50名市民进行购买意愿的问卷调分低于60分，说明购买意愿弱；若得分不低于60分，说明购买意愿强，调查结果用茎叶图表示如图所示.20～40岁大于40岁8(1)根据茎叶图中的数据完成2×2列联表，并判断是否有95%的把握认为市民购买该款购买意愿弱20～40岁大于40岁(2)从购买意愿弱的市民中按年龄进行分层抽样，共抽取5人，从这5人中随机抽取2人进行采访，记抽到的2人中年龄大于40岁的市民人数为X,求X的分布列和数学期望，解析(1)由茎叶图可得2×2列联表如下.购买意愿弱20～40岁8大于40岁把握认为市民购买该款手机的意愿与年龄有关.(2)购买意愿弱的市民共有20人，抽样比例,所以年龄在20～40岁的市民抽取了2人，年龄大于40岁的市民抽取了3人，则X的可能