2012高考理科数学全国卷1试题及答案

2012高考理科数学全国卷1试题及答案2012年高考理科数学全国卷1试题及答案本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷第1至2页，第Ⅱ卷第3至第4页。考试结束后，请务必将试卷和答题卡一并上交。一、选择题1.求复数$-1+3i$除以$1+i$的结果。(A)$2+i$(B)$2-i$(C)$1+2i$(D)$1-2i$2.已知集合$A=\{1,3,m\}$，$B=\{1,m\}$，且$AB=A$，则$m$的取值是？(A)$1$或$3$(B)$1$或$3$(C)$1$或$3$(D)$1$或$3$3.椭圆的中心在原点，焦距为$4$，一条准线为$x=-4$，则该椭圆的方程是？(A)$\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{9}=1$(B)$\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{16}=1$(C)$\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{25}=1$(D)$\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{16}=1$4.已知正四棱柱$ABCD-A_1B_1C_1D_1$中，$AB=2$，$CC_1=2\sqrt{2}$，$E$为$CC_1$的中点，则直线$AC_1$与平面$BED$的距离为？(A)$2$(B)$3$(C)$2$(D)$1$5.已知等差数列$\{a_n\}$的前$n$项和为$S_n$，$a_5=5$，$S_5=15$，则数列$\{a_n\}$的前$100$项和为？(A)$101$(B)$100$(C)$100$(D)$101$6.$\triangleABC$中，$AB$边的高为$CD$，若$CB=a$，$CA=b$，$ab=2$，$|a|=1$，$|b|=2$，则$AD$的长度为？(A)$a-b$(B)$a+b$(C)$a-b$(D)$a-b$7.已知$\alpha$是第二象限角，$\sin\alpha+\cos\alpha=$？(A)$-\frac{5}{5}$(B)$-\frac{3}{9}$(C)$-\frac{3}{9}$(D)$-\frac{5}{5}$8.已知$F_1$，$F_2$为双曲线$C:x-y=2$的左、右焦点，点$P$在$C$上，$|PF_1|=2|PF_2|$，则$\cos\angleF_1PF_2=$？(A)$\frac{13}{34}$(B)$\frac{13}{34}$(C)$\frac{45}{45}$(D)$\frac{45}{45}$9.已知$x=\ln\pi$，$y=\log_52$，$z=e$，则$x<y<z$？(A)错误(B)错误(C)正确(D)错误10.已知函数$y=x-3x+c$的图像与$x$恰有两个公共点，则$c=$？(A)$-2$或$2$(B)$-9$或$3$(C)$-1$或$1$(D)$-3$或$1$11.将字母$a,a,b,b,c,c$排成三行两列，要求每行的字母互不相同，每列的字母也互不相同，则不同的排列方法共有？(A)$12$种(B)$18$种(C)$24$种(D)$36$种12.正方形$ABCD$的边长为$1$，点$E$在边$AB$上，点$F$在边$BC$上，$AE=BF=\frac{3}{\sqrt{2}}$。动...（缺失部分）7点P从E出发沿直线向F运动，每当碰到正方形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角。当点P第一次碰到E时，P与正方形的边碰撞的次数为多少？填空题：13.若x,y满足约束条件x-y+1≥13，x+y-3≤13，x+3y-3≥13，则z=3x-y的最小值为__________。14.当函数y=sinx-3cosx(0≤x<2π)取得最大值时，x=___________。15.若(x+1)^n的展开式中第3项与第7项的二项式系数相等，则该展开式中为_________。16.三棱柱ABC-A1B1C1中，底面边长和侧棱长都相等，∠BAA1=∠CAA1=60，则异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为____________。解答题：17.已知二次函数f(x)=x^2+cx+1的系数c，已知cos(A-C)+cosB=1，ΔABC的内角A、C的对边分别为a、a=2c，b、B，求C。18.如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为菱形，PA⊥底面ABCD，AC=22，PA=2，E是PC上的一点，PE=2EC。（Ⅰ）证明：PC⊥平面BED；（Ⅱ）设二面角A-PB-C为90，求PD与平面PBC所成角的大小。}的极限。（23）（本小题满分12分）（注意：在试卷上作答无效）乒乓球比赛规则规定：一局比赛中，双方比分在10平前，一方连续发球2次后，对方再连续发球2次，依次轮换。每次发球，胜方得1分，负方得分。甲、乙的一局比赛中，甲先发球。设在每次发球时，发球方得1分的概率为0.6，各次发球的胜负结果相互独立。（Ⅰ）求开始第4次发球时，甲、乙的比分为1比2的概率。（Ⅱ）设开始第4次发球时乙的得分为x，求x的期望。（解析：）（Ⅰ）设甲得分为a，乙得分为b，则要达成1比2的比分，需要满足以下条件：a=2，b=3a=3，b=4a=4，b=5a=5，b=6a=6，b=7a=7，b=8其中，甲必须在前六次发球中得到2分，第七次发球得到1分；乙必须在前七次发球中得到3分，第八次发球得到1分。因此，所求概率为：$$P=\binom{6}{2}(0.6)^2(0.4)^4\times\binom{7}{3}(0.6)^3(0.4)^4=0.186624$$（Ⅱ）设开始第4次发球时乙的得分为x，则有：$$E(x)=0.6+0.6-0.4-0.4=0.4$$因此，乙开始第4次发球时的得分期望为0.4。设函数$f(x)=ax+\cosx$，$x\in[0,\pi]$。（Ⅰ）讨论$f(x)$的单调性。对$f(x)$求导，得：$$f'(x)=a-\sinx$$当$a>1$时，$f'(x)>0$，即$f(x)$单调递增；当$a<1$时，$f'(x)<0$，即$f(x)$单调递减。（Ⅱ）设$f(x)\leq1+\sinx$，求$a$的取值范围。将$f(x)$和$1+\sinx$分别在$[0,\pi]$上求导，得：$$f'(x)=a-\sinx$$$$(1+\sinx)'=\cosx$$由$f(x)\leq1+\sinx$可得：$$a-\sinx\leq\cosx$$即：$$a\leq\cosx+\sinx$$对右侧不等式求导，得：$$(\cosx+\sinx)'=\cosx-\sinx$$令其等于0，解得$x=\frac{\pi}{4}$。因此，当$x\in[0,\frac{\pi}{4}]$时，$a\leq\sqrt{2}$；当$x\in[\frac{\pi}{4},\pi]$时，$a\leq1$。综上所述，$a\leq\sqrt{2}$。已知抛物线$C:y=(x+1)$与圆$M:(x-1)^2+(y-2)^2=r^2$（$r>0$）有一个公共点$A$，且在点$A$处两曲线的切线为同一直线$l$。（Ⅰ）求$r$。设点$A$的坐标为$(x_0,y_0)$，则有：$$y_0=x_0+1$$$$(x_0-1)^2+(y_0-2)^2=r^2$$将$y_0=x_0+1$代入，得：$$(x_0-1)^2+(x_0-1)^2=r^2$$化简，得：$$x_0=\frac{r^2+2}{2r}$$$$y_0=x_0+1=\frac{r^2+4}{2r}$$又因为在点$A$处，$C$和$M$的切线斜率相等，即：$$C'(x_0)=\frac{y_0-1}{x_0}=\frac{y_0-2}{x_0-1}=M'(x_0)$$化简，得：$$x_0=\frac{r^2-1}{2r-2}$$将两式相等，解得：$$r=3$$因此，$r=3$。（Ⅱ）设$m$、$n$是异于$l$且与$C$及$M$都相切的两条直线，$m$、$n$的交点为$D$，求$D$到$l$的距离。设$m$的方程为$y=k_1x+b_1$，$n$的方程为$y=k_2x+b_2$，则有：$$k_1=-\frac{1}{C'(x_0)}=-\frac{1}{x_0+1}$$$$k_2=-\frac{x_0-1}{y_0-2}=-\frac{2r}{r^2+2}$$将点$A$的坐标代入，得：$$b_1=x_0+k_1=-\frac{r^2-1}{2r-2}+\frac{1}{r+1}$$$$b_2=x_0+k_2=-\frac{r^2-1}{2r-2}-\frac{2r}{r^2+2}$$两直线交点$D$的坐标为：$$x_D=\frac{b_2-b_1}{k_1-k_2}$$$$y_D=k_1x_D+b_1$$将各参数代入，得：$$x_D=-\frac{2r^3+7r}{r^4+5r^2+4}$$$$y_D=\frac{r^2-2r-1}{r^2+2}x_D-\frac{r^2-1}{r^2+2}$$$l$的方程为$y=x+1$，将$D$到$l$的距离表示为：$$d=\frac{|y_D-x_D-1|}{\sqrt{2}}$$将$x_D$和$y_D$代入，得：$$d=\frac{3r^3+2r^2-2r-5}{(r^4+5r^2+4)\sqrt{2}(r^2+2)}$$因此，$D$到$l$的距离为$\frac{3r^3+2r^2-2r-5}{(r^4+5r^2+4)\sqrt{2}(r^2+2)}$。函数$f(x)=x-\frac{2x}{x-3}$，定义数列{$x_n$}如下：$x_1=2$，$x_{n+1}$是过两点$P(4,5)$、$Q_n(x_n,f(x_n))$的直线$PQ_n$与$x$轴交点的横坐标。（Ⅰ）证明：$2\leqx_n<x_{n+1}<3$。证明过程：当$x_n\in(2,3)$时，$f(x_n)>0$，$Q_n$在抛物线$y=x$的上方，$PQ_n$与$x$轴交点的横坐标$x_{n+1}$满足：$$\frac{5-f(x_n)}{4-x_n}=\frac{f(x_n)}{x_{n+1}-x_n}$$化简，得：$$x_{n+1}=\frac{2x_n}{x_n-1}$$因为$x_n>2$，所以$x_{n+1}>2$。又因为：$$f'(x)=\f