2022-2023学年湖北省恩施州巴东第三高级中学高一（下）期末数学试卷（含解析）

第=page11页，共=sectionpages11页2022-2023学年湖北省恩施州巴东第三高级中学高一（下）期末数学试卷一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.已知复数z满足z(2−i)=3A.1−i B.1+i C.2.已知集合A={x|log2A.A⫋B B.B⫋A C.3.若|a|=8，|b|=12，a与b的夹角为45A.23 B.48 C.24.cos165A.2−64 B.65.设f(x)=x2−aA.−2<a<0 B.a<−26.如图，在长方体ABCD−A1B1C1D1A.30° B.45° C.60°7.一艘海轮从A处出发，以每小时40海里的速度沿南偏东40°的方向直线航行，2小时后到达B处，在C处有一座灯塔，海轮在A处观察灯塔，其方向是南偏东70°，在B处观察灯塔，其方向是北偏东65°，那么B，C两点间的距离是A.402海里 B.403海里 C.808.如图，已知正四棱锥P−ABCD的所有棱长均为4，平面α经过BC，则平面α截正四棱锥A.2π

B.22π

二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）9.下列函数有最小值的是(

)A.f(x)=x2+1x10.为了加深师生对党史的了解，激发广大师生知史爱党、知史爱国的热情，某校举办了“学党史、育文化”暨“喜迎党的二十大”党史知识竞赛，并将1000名师生的竞赛成绩(满分100分，成绩取整数)整理成如图所示的频率分布直方图，则下列说法正确的(

)

A.a的值为0.005 B.估计成绩低于60分的有25人

C.估计这组数据的众数为75 D.估计这组数据的第85百分位数为8611.在锐角△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a−A.C=2B B.B的取值范围是(π6,π412.如图，将一副三角板拼成平面四边形，将等腰直角△ABC沿BC向上翻折，得三棱锥A−BCD.设CD=2，点E，F分别为棱BC，BA.存在某个位置，使AB⊥CD

B.存在某个位置，使AC⊥BD

C.当三棱锥A−BCD体积取得最大值时，A三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.在△ABC中，DC=2BD，若14.为迎接2023年成都大运会，大运会组委会采用按性别分层抽样的方法从200名大学生志愿者中抽取30人组成大运会志愿小组.若30人中共有男生12人，则这200名学生志愿者中女生可能有______人.15.已知函数f(x)=3−x−3x−16.已知函数f(x)=cos2x+a四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.(本小题10.0分)

已知e1=(1,0)，e2=(0,1)，a=2e1+18.(本小题12.0分)

如图，在四棱锥P−ABCD中，PA⊥平面ABCD，AB⊥AD，AD=2BC，AD//BC，AC，BD交于点O．

(19.(本小题12.0分)

在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，(a−b)(sinA+sinB20.(本小题12.0分)

已知函数f(x)=2sin(ωx+π6)(ω>0)．21.(本小题12.0分)

对于定义在D上的函数f(x)，如果存在实数x0，使得f(x0)=x0，那么称x0是函数f(x)的一个不动点.已知函数f(x)=log222.(本小题12.0分)

某“双一流A类”大学就业部从该校2022年已就业的大学本科毕业生中随机抽取了100人进行问卷调查，其中一项是他们的月收入情况，调查发现，他们的月收入在1.65万元到2.35万元之间，根据统计数据分组，得到如下的频率分布直方图，同一组数据用该区间的中点值作代表．

(1)求这100人月收入的样本平均数和样本方差；

(2)该校在某地区就业的2021届本科毕业生共50人，决定于2022年国庆长假期间举办一次同学联谊会，并收取一定的活动费用，有两种收费方案：方案一：设Ω=[x−−s−0.018,x−+s+0.018)，月收入落在区间Ω左侧的每人收取600元，月收入落在区间

答案和解析1.【答案】B

【解析】解：z=3+i2−i=(32.【答案】D

【解析】解：由log2x<1，解得0<x<2，所以A=(0,2)，

又B={x|−1<x<1}，

对于A：A⫋B不成立，A错；

对于B：B⫋A不成立，3.【答案】C

【解析】解：|a|=8，|b|=12，a与b的夹角为45°，

则向量a在b上的投影向量为：a⋅b|b|4.【答案】D

【解析】解：因为cos165°=cos(90°+75°)=−sin75°，

5.【答案】D

【解析】解：由关于x的不等式f(x)=x2−ax+1<0有解，得Δ=(−a)2−4>0，

解得a<−2或6.【答案】B

【解析】解：如图，在长方体ABCD−A1B1C1D1中，PC1⊥平面BCC1B1，CC1⊂平面BCC1B1，BC17.【答案】A

【解析】解：由题意作出图形：∠SAB=40°，∠SAC=70°，则∠BAC=30°，

由图知：∠ABC=105°，则8.【答案】C

【解析】解：连接BD，AC交于O，连接PO，则PO⊥底面ABCD且O是AC中点，

BD=AC=42+42=42，PO=PC2−(AC2)2=42−(22)2=22，

所以O到P，A，B，C，D的距离均为22，

点O即为正四棱锥P−AB9.【答案】AD【解析】解：对于A：f(x)=x2+1x2≥2，当且仅当x2=1x2，即x=±1时等号成立，故f(x)min=2，A正确；

对于B：当x>0时，则f(x)=2x+2x≥22x⋅2x=4，当且仅当2x=2x，即x=1时等号成立；

当x<0时，则−f(x)=2(−x10.【答案】AC【解析】对于A，由(a+2a+3a+3a+5a+6a)×10=1，得a=0.005.故A正确；

对于B，估计成绩低于6(0分)的有1000×(2a+3a)×10=50000a=11.【答案】AB【解析】解：由a−b=2bcosC，可得sinA−sinB=2sinBcosC，

即sin(B+C)−2sinBcosC=sinB，

即有sinCco12.【答案】AC【解析】解：对于A：若AB⊥CD，又AB⊥AC，AC∩CD=C，则AB⊥平面ACD，即AB⊥AD，

所以当AB⊥AD时，使AB⊥CD，故存在某个位置，使AB⊥CD，故A正确，

对于B：若AC⊥BD，又AC⊥BA，AB∩BD=B，则AC⊥平面ABD，则AC⊥AD，则△ACD是以CD为斜边的直角三角形，

又由题意知CD<AC，故不存在某个位置，使AC⊥BD，故B错误；

对于C：当三棱锥A−BCD体积取得最大值时，平面ACB⊥平面BCD，即AE是三棱锥A−BCD的高，

又CD⊥BC，平面ACB∩平面BCD=BC，所以CD⊥平面ABC，

所以∠DAC是直线AD与平面ABC所成的角，

由CD=2，则CB=23，又E是BC的中点，所以AC=6，

所以tan∠DAC=26=63.故C正确；

对于D：当AB=AD时，由13.【答案】32【解析】解：∵DC=2BD，

∴DC=23BC，

∴BC=2λ3BC14.【答案】120

【解析】解：由题设，若200名学生志愿者中女生有x人，则x200=30−1230，

所以x=1830×15.【答案】(−【解析】解：f(x)定义域为R，f(−x)=3x−3−x+x=−f(x)，f(x)为R上奇函数，

y=3−x为R上的减函数，y=3x，y=16.【答案】{−【解析】解：因为x∈(0,π)，sinx>0，

所以|f(x)|≤3⇔−3sinx≤cos2x+a≤3si17.【答案】解：(1)根据题意，e1=(1,0)，e2=(0,1)，a=2e1+λe2，b=e1−e2，

则a=(2,0【解析】(1)根据题意，求出a、b的坐标，由向量平行的判断方法可得关于λ的方程，解可得答案；

(2)设a与c的夹角为θ18.【答案】解：(1)证明：由PA⊥平面ABCD，可得PA⊥AB，

又AB⊥AD，AD∩PA=A，

可得AB⊥平面PAD，

而AB⊂平面PAB，则平面PAB⊥平面PAD；

(2)E是棱PD上一点，过E作EF⊥AD，垂足为F，

又PA⊥AD，可得PA【解析】(1)由线面垂直的性质和判定推得AB⊥平面PAD，再由面面垂直的判定定理可得结论；19.【答案】解：(1)设△ABC外接圆的直径为2R，由正弦定理得(a+b)(a−b)=c(a−c)，

即b2=a2+c2−ac，

由余弦定理的推论得cosB=a2+c2【解析】(1)根据正弦定理和余弦定理即可求出；

(2)利用余弦定理求出c20.【答案】解：(1)已知函数f(x)=2sin(ωx+π6)(ω>0)，

又∵f(5π6+x)+f(5π6−x)=0，

∴函数f(x)=2sin(ωx+π6)关于点(5π6,0)对称，

【解析】(1)由f(5π6+x)+f(5π6−x)=0，可得函数f(x)=221.【答案】解：(1)由题设f(x)=log2(2x−1+14)，定义域为R，若f(x)=x，即log2(2x−1+14)=log22x，

所以2