陕西省西安市长安区第六中学2021年高一数学理测试题含解析

陕西省西安市长安区第六中学2021年高一数学理测试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.方程y＝ax＋表示的直线可能是()参考答案：B2.设，且，则（

）A

B

C

D参考答案：B3.平行线3x+4y﹣9=0和6x+my+2=0的距离是（）A． B．2 C． D．参考答案：B【考点】两条平行直线间的距离．【专题】直线与圆．【分析】利用两直线平行求得m的值，化为同系数后由平行线间的距离公式得答案．【解答】解：由直线3x+4y﹣9=0和6x+my+2=0平行，得m=8．∴直线6x+my+2=0化为6x+8y+2=0，即3x+4y+1=0．∴平行线3x+4y﹣9=0和6x+my+2=0的距离是．故选：B．【点评】本题考查了两条平行线间的距离公式，利用两平行线间的距离公式求距离时，一定要化为同系数的方程，是基础的计算题．4.化简的结果是（

）A. B. C. D.参考答案：B【分析】先用消去式子中的，再用二倍角公式可进一步对式子进行化简即得。【详解】由题得原式，，，，故选B。【点睛】本题主要考查二倍角公式的运用，在开二次根号时需要注意开出的数必须为正数。5.设等比数列｛an｝的前n项和为Sn，若S10：S5=1：2,则S15：S5等于

（

）

A.3：4

B．2：3

C．1：2

D．1：3参考答案：A略6.记等比数列的前项积为，已知，且，则A.3

B.4

C.5

D.7参考答案：B7.若一系列函数的解析式相同，值域相同，但定义域不同，则称这些函数为“孪生函数”，那么函数解析式为，值域为的“孪生函数”共有

(

)A.4个

B．6个

C．8个

D．9个参考答案：D8.（3分）点P（x，y）在直线x+y﹣4=0上，O是原点，则|OP|的最小值是（） A． B． 2 C． D． 2参考答案：B考点： 点到直线的距离公式．专题： 计算题．分析： 过O作已知直线的垂线，垂足为P，此时|OP|最小，所以|OP|最小即为原点到直线的距离，利用点到直线的距离公式求出即可．解答： 由题意可知：过O作已知直线的垂线，垂足为P，此时|OP|最小，则原点（0，0）到直线x+y﹣4=0的距离d==2，即|OP|的最小值为2．故选B．点评： 此题考查学生灵活运用点到直线的距离公式化简求值，是一道综合题．解答本题的关键是找到|OP|的最小时即OP垂直与已知直线．9.若，，则下列不等式正确的是（

）A．

B．

C．

D．参考答案：B10.已知是第二象限角，则化简为（

）A．

B.

C.

D.参考答案：B二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.幂函数的图象过点，则的解析式为_______________参考答案：略12.已知正方形ABCD的边长是4，若将沿正方形的对角线BD所在的直线进行翻折，则在翻折过程中，四面体的体积的最大值是

；参考答案：13.已知函数，则______．参考答案：

114.已知函数R→R满足：对任意R，都有，则所有满足条件的函数f为

．

参考答案：15.从某小学随机抽取100名同学，将他们的身高

（单位：厘米）数据绘制成频率分布直方图（如图）若要从身高在三组内的学生中，用分层抽样的方法选取18人参加一项活动，则从身高在内的学生中选取的人数应为

参考答案：3略16.设函数是公差为的等差数列，，则______．参考答案：由已知，是公差为的等差数列，则，由和差化积公式得，则，比较两边等式得，且，解得，所以.17.设，则=

．参考答案：略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知．（1）求B；（2）若△ABC为锐角三角形，且，求△ABC面积的取值范围．参考答案：(1);(2).【分析】(1)利用正弦定理化简题中等式，得到关于B的三角方程，最后根据A,B,C均为三角形内角解得.(2)根据三角形面积公式，又根据正弦定理和得到关于的函数，由于是锐角三角形，所以利用三个内角都小于来计算的定义域，最后求解的值域.【详解】(1)根据题意，由正弦定理得，因为，故，消去得。，因为故或者，而根据题意，故不成立，所以，又因为，代入得，所以.(2)因为是锐角三角形，由（1）知，得到，故，解得.又应用正弦定理，，由三角形面积公式有：.又因,故，故.故的取值范围是【点睛】这道题考查了三角函数的基础知识，和正弦定理或者余弦定理的使用（此题也可以用余弦定理求解），最后考查是锐角三角形这个条件的利用。考查的很全面，是一道很好的考题.19.在如图所示的直角坐标系xOy中，点A，B是单位圆上的点，且A（1，0），∠AOB=．现有一动点C在单位圆的劣弧上运动，设∠AOC=α．（1）若tanα=，求?的值；（2）若=x+y，其中x，y∈R，求x+y的最大值．参考答案：【考点】9H：平面向量的基本定理及其意义．【分析】（1）由tanα=，求出cosα、sinα的值，计算?的值即可；（2）根据=x+y，其中x，y∈R，列出方程，求出x、y的表达式，再求x+y的最大值即可．【解答】解：（1）∵tanα=，∴3sinα=cosα，又sin2α+cos2α=1，α∈，∴sinα=．cosα=，cos∠BOC=cos（）=coscosα+sinαsin==∴?=||?||cos∠BOC=．（2））∵A（1，0），B（，），∠AOC=α，（0≤α≤），∴C（cosα，sinα）；又∵=x+y，其中x，y∈R，=（cosα，sinα），；∴，?x+y=cosα+sinα=∴当α=时，sin（α+）=1，x+y取得最大值．20.计算：（1）．（2）lg14﹣2lg+lg7﹣lg18．参考答案：【考点】对数的运算性质．【专题】计算题．【分析】（1）先将根式转化为分数指数幂，再利用运算性质化简．（2）利用对数的运算性质化简．【解答】解：（1）（2）原式=（lg7+lg2）﹣2（lg7﹣lg3）+lg7﹣（lg6+lg3）=2lg7﹣2lg7+lg2+2lg3﹣lg6﹣lg3=lg6﹣lg6=0【点评】（1）化为同底数后注意指数的正负；（2）将每一个对数分解开后再合并时一定要细心，注意符号！21.设函数f（x）=x2﹣2|x|﹣3，（x∈[﹣4，4]）．（1）求证：f（x）是偶函数；（2）画出函数f（x）的图象，并指出函数f（x）的单调区间，并说明在各个单调区间上f（x）是单调递增还是单调递减；（3）求函数f（x）的值域．参考答案：【考点】函数的图象；函数的值域．【专题】函数的性质及应用．【分析】（1）通过函数的定义域以及判断f（﹣x）=f（x），证明f（x）是偶函数．（2）去掉绝对值符号，得到函数的解析式，然后画出函数的图象．写出函数f（x）的单调区间．（3）分别通过当x≥0时，当x＜0时，求出函数f（x的最小值，最大值，得到函数f（x）的值域．【解答】解：（1）因为x∈[﹣4，4]，所以f（x）的定义域关于原点对称．对定义域内的每一个x，都有f（﹣x）=f（x），所以f（x）是偶函数．（2）当0≤x≤4时，f（x）=x2﹣2x﹣3=（x﹣1）2﹣4；当﹣4≤x＜0时，f（x）=x2+2x﹣3=（x+1）2﹣4．函数f（x）的图象如图所示．由图知函数f（x）的单调区间为[﹣4，﹣1），[﹣1，0），[0，1），[1，4]．f（x）在区间[﹣4，﹣1）和[0，1）上单调递减，在[﹣1，0）和[1，4]上单调递增．（3）当x≥0时，函数f（x）=（x﹣1）2﹣4的最小值为﹣4，最大值为f（4）=5；当x＜0时，函数f（x）=（x+1）2﹣4的最小值为﹣4，最大值为f（﹣4）=5．故函数f（x）的值域为[﹣4，5]．【点评】本题考查函数的图象的作法，二次函数的性质的应用，函数的最值以及单调区间的求法，考查计算能力．22.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a+b﹣5，c=，且4sin2﹣cos2C=．（1）求角C的大小；（2）求△ABC的面积．参考答案：【考点】解三角形；二倍角的余弦；余弦定理．【分析】（1）由三角形的内角和定理及诱导公式化简已知的等式，再根据二倍角的余弦函数公式化简，合并整理后得到关于cosC的方程，求出方程的解得到cosC的值，由C为三角形的内角，利用特殊角的三角函数值即可求出C的度数；（2）利用余弦定理表示出c2=a2+b2﹣2abcosC，再根据完全平方公式变形后，将a+b，