江苏省苏州市吴江汾湖高级中学2023年数学高二下期末学业质量监测试题含解析

2022-2023高二下数学模拟试卷注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．一名法官在审理一起珍宝盗窃案时，四名嫌疑人甲、乙、丙、丁的供词如下，甲说:“罪犯在乙、丙、丁三人之中”；乙说:“我没有作案，是丙偷的”；丙说：“甲、乙两人中有一人是小偷”；丁说：乙说的是事实”.经过调查核实，四人中有两人说的是真话，另外两人说的是假话，且这四人中只有一人是罪犯，由此可判断罪犯是（）A．甲B．乙C．丙D．丁2．已知曲线和曲线围成一个叶形图；则其面积为（）A．1 B． C． D．3．若样本数据的均值与方差分别为和，则数据的均值与方差分别为（）A．， B． C． D．4．在极坐标系中，点关于极点的对称点为A． B． C． D．5．在中，,则（）A． B． C． D．6．已知随机变量服从正态分布，且，则（）A． B． C． D．7．“”是“”的（）A．充要条件 B．充分不必要条件C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件8．已知函数的图象如图所示，若，且，则的值为（）A． B． C．1 D．09．甲乙丙丁四名学生报名参加四项体育比赛，每人只报一项，记事件“四名同学所报比赛各不相同”，事件“甲同学单独报一项比赛”，则()A． B． C． D．10．命题“”的否定是()A． B．C． D．11．某西方国家流传这样的一个政治笑话：“鹅吃白菜，参议员先生也吃白菜，所以参议员先生是鹅”结论显然是错误的，是因为（）A．大前提错误 B．推理形式错误 C．小前提错误 D．非以上错误12．如图所示阴影部分是由函数、、和围成的封闭图形，则其面积是（）A． B． C． D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．用反证法证明“若，则”时，应假设______．14．函数在点处切线方程为，则=______.15．已知平面α，直线m，n满足mα，nα，则“m∥n”是“m∥α”的__________条件16．设，，，则a，b，c的大小关系用“”连接为______．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知复数（a∈R,i为虚数单位）（I）若是纯虚数，求实数a的值；（II）若复数在复平面上对应的点在第二象限，求实数a的取值范围18．（12分）己知函数.（I）求的最小值；（II）若均为正实数，且满足，求证：.19．（12分）已知圆O1和圆O2的极坐标方程分别为ρ=2,ρ2-2ρcos(θ-)=2.(1)把圆O1和圆O2的极坐标方程化为直角坐标方程.(2)求经过两圆交点的直线的极坐标方程.20．（12分）交强险是车主必须为机动车购买的险种，若普通6座以下私家车投保交强险第一年的费用（基准保费）统一为a元，在下一年续保时，实行的是费率浮动机制，保费与上一年度车辆发生道路交通事故的情况相联系，发生交通事故的次数越多，费率也就越高，具体浮动情况如下表：交强险浮动因素和浮动费率比率表浮动因素浮动比率上一年度未发生有责任道路交通事故下浮10%上两年度未发生有责任道路交通事故下浮上三年度未发生有责任道路交通事故下浮30%上一个年度发生一次有责任不涉及死亡的道路交通事故0%上一个年度发生两次及两次以上有责任不涉及死亡的道路交通事故上浮10%上一个年度发生有责任交通死亡事故上浮30%某机构为了解某一品牌普通6座以下私家车的投保情况，随机抽取了60辆车龄已满三年的该品牌同型号私家车的下一年续保时的情况，统计得到了下面的表格：类型A1A2A3A4A5A6数量105520155以这60辆该品牌车的投保类型的频率代替一辆车投保类型的概率，完成下列问题：（1）按照我国《机动车交通事故责任强制保险条例》汽车交强险价格的规定，，记为某同学家的一辆该品牌车在第四年续保时的费用，求的分布列与数学期望；（数学期望值保留到个位数字）（2）某二手车销售商专门销售这一品牌的二手车，且将下一年的交强险保费高于基本保费的车辆记为事故车，假设购进一辆事故车亏损5000元，一辆非事故车盈利10000元:①若该销售商购进三辆(车龄已满三年)该品牌二手车，求这三辆车中至多有一辆事故车的概率；②若该销售商一次购进100辆(车龄已满三年)该品牌二手车，求他获得利润的期望值.21．（12分）如果球、正方体与等边圆柱（底面直径与母线相等）的体积相等，求它们的表面积的大小关系．22．（10分）设函数.（1）求不等式的解集；（2）记函数的最小值为，若为正实数，且，求的最小值.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、B【解析】∵乙、丁两人的观点一致，∴乙、丁两人的供词应该是同真或同假；若乙、丁两人说的是真话，则甲、丙两人说的是假话，由乙说真话推出丙是罪犯的结论；由甲说假话，推出乙、丙、丁三人不是罪犯的结论，矛盾；∴乙、丁两人说的是假话，而甲、丙两人说的是真话；由甲、丙的供述内容可以断定乙是罪犯．2、D【解析】

先作出两个函数的图像，再利用定积分求面积得解.【详解】由题得函数的图像如图所示，联立得交点（1,1）所以叶形图面积为.故选：D【点睛】本题主要考查定积分的应用，意在考查学生对该知识的理解掌握水平和分析推理能力.3、D【解析】

直接根据均值和方差的定义求解即可．【详解】解：由题意有，，则，∴新数据的方差是，故选：D．【点睛】本题主要考查均值和方差的求法，属于基础题．4、C【解析】分析：在极坐标系中，关于极点的对称点为详解：∵关于极点的对称点为，

∴关于极点的对称点为．

故选：C．点睛：本题考查一个点关于极点的对称点的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意极坐标性质的合理运用．5、B【解析】

先根据求得，进而求得，根据余弦定理求得以及，由此求得.【详解】由于，所以且为锐角，所以.由余弦定理得.故.所以.故选B.【点睛】本小题主要考查同角三角函数的基本关系式，考查余弦定理解三角形，考查向量数量积的运算，属于中档题.6、C【解析】

由题意结合正态分布的对称性得到关于a的方程，解方程即可求得实数a的值.【详解】随机变量服从正态分布，则正态分布的图象关于直线对称，结合有，解得：.本题选择C选项.【点睛】关于正态曲线在某个区间内取值的概率求法：①熟记P(μ－σ<X≤μ＋σ)，P(μ－2σ<X≤μ＋2σ)，P(μ－3σ<X≤μ＋3σ)的值．②充分利用正态曲线的对称性和曲线与x轴之间面积为1.7、B【解析】，，，∴“”是“”的充分不必要条件．故选：．8、C【解析】由题意得，，则，又，即，解得，所以，令，即，，解得该函数的对称轴为，则，即，所以，故选C.9、D【解析】

求出，根据条件概率公式即可得解.【详解】由题：，.故选：D【点睛】此题考查求条件概率，关键在于准确求出AB的概率和B的概率，根据条件概率公式计算求解.10、C【解析】

命题的否定：任意变存在，并对结论进行否定.【详解】命题的否定需要将限定词和结论同时否定，题目中：为限定词，为条件，为结论；而的否定为，的否定为，所以的否定为故本题正确答案为C.【点睛】本题考查了命题的否定,属于简单题.11、B【解析】

根据三段论的推理形式依次去判断大前提和小前提，以及大小前提的关系，根据小前提不是大前提下的特殊情况，可知推理形式错误.【详解】大前提：“鹅吃白菜”，不是全称命题，大前提本身正确，小前提：“参议员先生也吃白菜”本身也正确，但不是大前提下的特殊情况，鹅与人不能进行类比，所以不符合三段论的推理形式，可知推理形式错误.本题正确选项：【点睛】本题考查三段论推理形式的判断，关键是明确大小前提的具体要求，属于基础题.12、B【解析】

根据定积分的几何意义得到阴影部分的面积。【详解】由定积分的几何意义可知：阴影部分面积故选B.【点睛】本题考查定积分的几何意义和积分运算，属于基础题．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】

反证法假设命题的结论不成立，即反面成立。【详解】假设命题的结论不成立，即反面成立，所以应假设，填。【点睛】反证法的步骤：①假设命题结论不成立，即假设结论的反面成立（反设）；②从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾（归谬）；③由矛盾判断假设不成立，从而肯定命题的结论成立（结论）．14、4【解析】分析：因为在点处的切线方程，所以，由此能求出．详解：因为在点处切线方程为，，

所以从而．

即答案为4.点睛：本题考查利用导数研究曲线上某点处的切线方程，解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．15、充分不必要【解析】分析：由线线平行的性质定理和线面平行的性质定理即可判断。详解：线线平行的性质定理：平面α，直线m，n满足mα，nα，若则线面平行的性质定理：如果一条直线平行于一个平面，过这条直线作一个平面与这个平面交线，那么直线和交线平行。故为充分不必要条件分析：线线平行的性质定理和线面平行的性质定理要熟练掌握。16、【解析】

分别判断出，，，从而得到三者大小关系.【详解】，，则的大小关系用“”连接为本题正确结果：【点睛】本题考查指对数比较大小类的问题，解决此类问题的方法主要有两种：1.构造合适的函数模型，利用单调性判断；2.利用临界值进行区分.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（Ⅰ）（II）【解析】

（I）计算出，由其实部为0，虚部不为0可求得值；（II）计算出，由其实部小于0，虚部大于0可求得的取值范围．【详解】解：（I）由复数得=（）（）=3a+8+（6-4a）i若是纯虚数，则3a+8=0，（6-4a）≠0，解得a=-（II）=若在复平面上对应的点在第二象限，则有解得-【点睛】本题考查复数的乘除运算，考查复数的概念与几何性质，属于基础题．18、（I）（II）见解析【解析】

利用绝对值的性质可知当函数有最小值。根据题意将化简为，结合，凑配法利用基本不等式，利用分析法，推出待证结论成立。【详解】解：（I）因为函数.等号成立的条件综上，的最小值（II）据（1）求解知，所以，又因为，，，.即，当且仅当时等号成立.所以【点睛】本题主要考查了绝对值的性质以及基本不等式的应用，证明方法主要用了分析法，，从数学题的待证结论出发，一步一步探索下去，最后达到题设的已知条件。19、(1)x2+y2-2x-2y-2=0(2)ρsin(θ+)=【解析】(1)∵ρ=2,∴ρ2=4,即x2+y2=4.∵ρ2-2ρcos(θ-)=2,∴ρ2-2ρ(cosθcos+sinθsin)=2.∴x2+y2-2x-2y-2=0.(2)将两圆的直角坐标方程相减,得经过两圆交点的直线方程为x+y=1.化为极坐标方程为ρcosθ+ρsinθ=1,即ρsin(θ+)=.20、（1）分布列见解析，（2）①，②万元【解析】

（1）由题意列出X的可能取值为，，，，，，结合表格写出概率及分布列，再求解期望（2）①建立二项分布求解三辆车中至多有一辆事故车的概率②先求出一辆二手车利润的期望，再乘以100即可【详解】（1）由题意可知：X的可能取值为，，，，，由统计数据可知：，，，，，.所以的分布列为：.（2）①由统计数据可知任意一辆该品牌车龄已满三年的二手车为事故的概率为，三辆车中至多有一辆事故车的概率为：.②设Y为给销售商购进并销售一辆二手车的利润，Y的可能取值为所以Y的分布列为：YP所以.所以该销售商一次购进辆该品牌车龄已满三年的二手车获得利润的期望值为万元.【点睛】本题考查离散型随机变量及分布列，考查二项分布，考查计算能力，是基础题21、【解析】

分别用体积表示其面积，再比较大小。【详解】解：设球的半径为R、正方