2023北京海淀区高三上学期期末数学试题及答案

高三数学参考答案一、选择题题目12345678910B答案二、填空题DADBCBCAD1233（）(,0)（12）8−）2（14）y=3x；（15）①②④三、解答题共6小题，共85分。解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。（1613分）f(x)的解析式为f(x)=sin(2x+)，6单调递增区间为[k−,k+](kZ).3612（Ⅱ）由（Ⅰ）可知f(B)=sin(2B+)=，6因为0B，所以2B+2+.6所以2B+666=.6即B=.3由余弦定理得b即=a+c2=a2+c2−B.22−.即=(a+c)2−.即=−.即=8.1所以=acB23.=21（1714分）中点N，连接AN,.1在△PCD中，M,N分别为PC,的中点，所以MN，MN=DC，21因为AB所以AB，AB=DC，P2，AB.MND所以四边形为平行四边形，因此BM又因为平面，平面，所以平面..CAB（Ⅱ）选择条件①因为⊥平面，AD,平面所以⊥，⊥.又因为⊥，D−，zPM所以建立如图空间直角坐标系．D因为⊥平面，平面，所以⊥.yCxAB所以在Rt中，=1，=3，可得BD=2.在Rt中，AD=1，BD=2，所以=1,又因为12=，所以=2.1由题意得D(0,0,0),0),B,C0),P(0,0,1)M,)，21所以=0)，)，.==2n=(x,y,z)设平面的法向量为，1ny+z=所以n=即2x+y=令y=1，则x=z=2.所以平面的一个法向量为n=2).易知为平面的一个法向量.nD|n|||1616,=所以.66因为二面角P−−B为钝角，所以二面角P−−B的余弦值为−.62选择条件②因为⊥平面，AD,平面，所以⊥⊥，，又因为⊥，所以建立如图空间直角坐标系D．−取的中点E，连接.z1因为AB，AB=DC，所以AB，，P2ME又因为⊥，所以四边形为矩形.1D在△BCD中，因为⊥，所以BE=DC.Cy2xAB1又因为AB=DC，所以=.2所以四边形为正方形，即==1，=2.1由题意得D(0,0,0),0),B,C0),P(0,0,1)M,)，21所以=0)，)，.==2n=(x,y,z)设平面的法向量为，1ny+z=所以n=即2x+y=令y=1，则x=z=2.所以平面的一个法向量为n=2).易知为平面的一个法向量.nD|n|||1616,=所以.66因为二面角P−−B为钝角，所以二面角P−−B的余弦值为−（1814分）.6400kg的概率约为0.005=，亩产量是450kg的概率约为0.01=，亩产量是500kg的概率约为0.005=.估计H地区明年每亩冬小麦统一收购总价为1500元的概率为0.25=.（Ⅱ）X的所有可能取值为960，1080，1200，1350，1500.P(X==0.25=0.1，P(X==0.5=，P(X==0.25+0.25=0.1+=，P(X==0.5=，P(X==0.25=.3X的分布列为XP9600.110800.212000.2513500.315000.15E(X)=0.1+1080+1200+1350+=1242.（3）建议农科所推广该项技术改良.设增产前每亩冬小麦产量为kg，增产后每亩冬小麦产量为kg，则=+设增产后的每亩冬小麦总价格为Y元，由分析可知EY)=E(X)+(2.4+3所以增产的50kg会产生增加的收益是+3，故建议农科所推广该项=技术改良.19.（本小题14分）（Ⅰ）解法一：0是f()的极小值点，理由如下：当x0时，x+0，所以f()=xx+0.当1x0时，0x+11，可知x+0，所以f()=xx+0.而f=0，由极小值点的定义知，0是f()的极小值点.（Ⅰ）解法二：0是f()的极小值点，理由如下：x=++.对函数求导得f(x)ln(xx+1x当x0时，ln(x+0，x+1所以f()0.x当1x0时，0x+11，可知ln(x+0，x+1所以f()0.所以f()在区间)上单调递增在区间(上单调递减.所以0是f()的极小值点.12ln(x++2x−xf(x)12ln(x+12−x+1等价于−+0.（Ⅱ）证明：x1，即x2xx12记g(x)=ln(x++x2−x(x.1x+1x2x+1=+x−1=.求导得g(x)当x1时易知g(x)0，所以函数g(x)在区间()上单调递增.−又g=0，可得当x0时，g()g=0，412即当x0时，不等式ln(x++f(x)xx2−x0成立.12即当x0时，不等式−+1成立.x2当1x0时，g()g=0，1即当1x0时，不等式ln(x++xx2−x0成立.212f(x)即当1x0时，不等式f(x)−+1成立.x212−x+1成立.综合上述，不等式x2（2015分）P(，Q(22,0)坐标带入椭圆E的方程，得41b2+=a28解得a2b2==2.=1.a2x2y2所以椭圆E的方程为+=1.82（Ⅱ）若直线l斜率不存在，即直线l为x=0时，A和M点重合，B和N点重合，分别为椭圆的上下顶点2),(0,−2)，此时|||=(2−2)(2+2)=2，符合题意.若直线l斜率存在，设直线的方程为y=+2，(x,y),B(x,y)(x−2且x−2).112212y=kx+2联立方程x2y2=1得，(4k2+x2++8=0.+821112=k)x+x=2−k2+=k2−0，k2，即k或k−.42−16k4k2+18，xx=.12124k2+11−11+21−11+22(1−1+2kPA=，所以直线PA的方程为y=(x+2)+1，取x=0得M(0,+.2(y2−2+2同理可得N(0,+.2(1−1+22(y2−2+2由|||=2得+1−2+1−2=2，2(1+1+22(kx2+2+2即−1−1=2.12所以(2k−2=2，x+2x+21251x2即(2k−2(2k−2=2.xx+2(x+x)+4121284k2+132k4k2+14k2+1=2，8−+4(2k−2即=1，4k2−8k+31因为k，2|2k−1||2k−3|所以得=1，即k=1.经检验符合题意，此时直线l为y=x+2.综上所述，直线l的方程为x=0或y=x+2.（2115分）1,2,1和3,1.（Ⅱ）SQ)的最小值为7.首先证明S7：由题知26得n4.①当n=4时，应有数列中各项均不相同，此时有SQ)1+2+3+4=；②当n=5时，由于数列中各项必有不同的数，进而有S)6.若S)=6，满足上述要求的数列中有四项为1，一项为2，此时TQ)4，不符；③当6时，同②可得S7.综上所述，有S7.同时当Q为2,2,1,1,1时，S)=7，所以SQ的最小值为7.()（Ⅲ）TQ)的最大值为511566.下面分五步证明当TQ)最大时，数列Q应满足：①存在大于1的项，否则此时有TQ)=0；②n1，否则将拆分成a个1后TQ)n=a变大；a,a的顺序后TQ)n③当t=时，有aat1，否则交换t变为a−1T)+1.tt1进一步有tt1，否则有−aa+2，此时将改为at，并在数列末尾添加一项tt1t1，此时TQ)变大；④各项只能为2或1，否则由①②③可得数列Q中存在相邻的两项tt12，设此时Q中有x项为2，则将t改为2，并在数列末尾添加一