(完整版)函数的极值与最值练习题及答案

(完整版)函数的极值与最值练习题及答案一、选择题1.D.根据函数图像可知，x=2是f(x)的极小值点。2.B.根据极值点的一阶导数为0可得方程组a-2b=0,6a+4b=0，解得a=2/3，b=4/9。3.A.可以通过求导数和二次函数最值公式计算得到最小值为-4/3。4.B.(x+1)f'(x)>0表示在x>-1和x<-1两个区间内f(x)的单调性不同，因此x=-1是极小值点。5.C.函数在[2,4]上单调递减，因此f(2)和f(4)中的较小值为极值点，解得a∈[2,10/3)。6.D.可以通过求导数和二次函数最值公式计算得到a=-7/4，因此a∈(-∞,-7/4)。7.A.可以通过求导数和极值点的二次函数公式计算得到f(m)+f'(n)的最小值为-13。二、填空题8.39.a∈[-2,0]10.tanx=-4/311.a≤-3三、解答题12.(1)y=x-6x^2+9x-4，y'=1-12x+9=(3x-2)(3x-1)，因此极值点为x=1/3和x=2/3，最大值为y=25/9，最小值为y=-4/9。(2)y=-x+2x^2，y'=-1+4x=0，因此极值点为x=1/4，最大值为y=17/8。13.首先求导数f'(x)=6x^2-12x，令其为0可得极值点为x=0和x=2。由于f(-2)=f(2)=2m+3=3，解得m=0。因此函数在[-2,2]上的最小值为f(0)=-8。14.已知函数$f(x)=x^3-3x^2+ax+b$在$x=-1$处的切线与$x$轴平行。(1)求$a$的值和函数$f(x)$的单调区间；(2)若函数$y=f(x)$的图象与抛物线$y=\frac{1}{2}x^2-15x+3$恰有三个不同交点，求$b$的取值范围。(1)对于函数$f(x)$，其在$x=-1$处的导数为$f'(x)=3x^2-6x+a$，因为切线与$x$轴平行，所以$f'(-1)=0$，解得$a=6$。又因为$f'(x)=3(x-1)(x-2)$，所以$f(x)$在区间$(-\infty,-1)$和$(2,+\infty)$上单调递增，在区间$(-1,1)$上单调递减，在区间$(1,2)$上单调递增。(2)由于$f(x)$的导数为$f'(x)=3x^2-6x+6$，抛物线的导数为$f'(x)=x-15$，所以交点的个数为三个，当且仅当$f'(x)$与$f'(x)=x-15$在区间$(a,b)$内有两个交点，其中$a$和$b$分别为两个极值点。解得$a=1,b=3$，所以$f(x)$的极值点为$x=1$和$x=2$。当$x=1$时，$f(x)$取得极小值，当$x=2$时，$f(x)$取得极大值。因为$f(1)$和$f(2)$分别为两个交点的纵坐标，所以$b$的取值范围为$f(1)<b<f(2)$，即$-2<b<18$。15.已知函数$f(x)=x\cosx-\sinx$，$x\in[0,\frac{\pi}{2}]$。(1)求证：$f(x)\leq\frac{1}{2}$；(2)若$\sinx<a<\cosx$对$x\in[\frac{\pi}{4},\frac{\pi}{2}]$上恒成立，求$a$的最大值与最小值。(1)对于函数$f(x)$，其导数为$f'(x)=\cosx-x\sinx$，因为$f'(x)$在区间$[0,\frac{\pi}{2}]$内单调递减，所以$f(x)$的最大值为$f(0)=0$，最小值为$f(\frac{\pi}{2})=-1$。因为$\frac{1}{2}>-1$，所以$f(x)\leq\frac{1}{2}$。(2)因为$\sinx<a<\cosx$对$x\in[\frac{\pi}{4},\frac{\pi}{2}]$上恒成立，所以$\cosx-a<\sinx$，即$\cosx-a<\sqrt{1-\cos^2x}$。两边平方得到$a^2-2a\cosx+\cos^2x<1-\cos^2x$，整理得到$a^2-2a\cosx+2\cos^2x-1<0$。因为$x\in[\frac{\pi}{4},\frac{\pi}{2}]$，所以$\cosx\in[\frac{\sqrt{2}}{2},1]$，所以$a$的取值范围为$\sqrt{2}-1<a<\sqrt{2}+1$。当$a=\sqrt{2}-1$时，不等式恰好成立，当$a=\sqrt{2}+1$时，不等式不成立，所以$a$的最大值为$\sqrt{2}-1$，最小值为$-\sqrt{2}-1$。求导得$f'(x)=-3x^2+2ax$，由函数$f(x)$在$x=2$处取得极值知$f'(2)=-3\times4+2a\times2=0$，$\thereforea=3$。由此可得$f(x)=-x^3+3x^2-4$，$f'(x)=-3x^2+6x$，易知$f(x)$在$(-1,0)$上单调递减，在$(0,1)$上单调递增，$\therefore$当$m\in[-1,1]$时，$f(m)_{min}=f(0)=-4$。又$f'(x)=-3x^2+6x$的图象开口向下，且对称轴为$x=1$，$\therefore$当$n\in[-1,1]$时，$f'(n)_{min}=f'(-1)=-9$。故$f(m)+f'(n)$的最小值为$-13$。2.$\becausey'=1-2\sinx$，由$y'=0$得$x=\dfrac{\pi}{6}$，当$x\in\left[0,\dfrac{\pi}{6}\right)$时，$y'<0$，当$x\in\left(\dfrac{\pi}{6},\dfrac{\pi}{2}\right]$时，$y'>0$，$\therefore$当$x=\dfrac{\pi}{6}$时，$y_{max}=\dfrac{\pi}{6}+3$。9.$f'(x)=3x+6ax+3(a+2)$，$\becausef(x)$既有极大值又有极小值，$3x+6ax+3(a+2)$有两个不同的解，$\therefore$$9a^2+24a-27>0$或$9a^2+24a-27<0$，即$a>2$或$a<-1$。11.若$x=0$，则不论$a$取何值，$f(x)\geq0$显然成立；当$x>\sqrt{3}$，且$x\in[-1,1]$，即$x\in\left(\sqrt{3},1\right]$时，$f(x)=ax^3-3x+1\geq\dfrac{2\sqrt{3}}{9}+1>1$，$\therefore$此时$f(x)$无极值。当$x\in[-\sqrt{3},\sqrt{3}]$时，$f(x)=ax^3-3x+1$可化为$a\geq\dfrac{3x-1}{x^3}$，设$g(x)=\dfrac{3x-1}{x^3}$，则$g'(x)=-\dfrac{6x^2-3}{x^4}$，$g(x)$在区间$\left(0,\dfrac{1}{\sqrt{2}}\right)$上单调递减，在区间$\left(\dfrac{1}{\sqrt{2}},\sqrt{3}\right]$上单调递增。因此，$g(x)_{max}=g\left(\dfrac{1}{\sqrt{2}}\right)=4\sqrt{2}$，从而$a\geq4\sqrt{2}$。综上可知，$a\geq4\sqrt{2}$。12.（1）$y_{max}=f(1)=5$，$y_{min}=f(3)=-4$；（2）令$y'=0$，得$x_1=-1$，$x_2=0$，$x_3=1$，当$x$变化时，$y'$，$y$的变化情况如下表：\begin{tabular}{|c|c|c|c|}\hline$x$&$(-\infty,-1)$&$(-1,0)$&$(0,1)$\\\hline$y'$&