(完整版)椭圆的测试题及详细答案

(完整版)椭圆的测试题及详细答案椭圆的测试题及答案时间：90分钟满分：100分一、选择题（共12小题，每小题5分）1.已知点P是椭圆$x^2+4y^2=4$上的任意一点，$A(4,0)$，若$M$为线段$PA$中点，则点$M$的轨迹方程是（）A.$(x-2)^2+4y^2=1$B.$(x-4)^2+4y^2=1$C.$(x+2)^2+4y^2=1$D.$(x+4)^2+4y^2=1$2.已知椭圆$xy^2+2=\dfrac{1}{m}$的左焦点为$F_1(-\dfrac{4}{5}m,0)$，则$m=$（）A.$9$B.$4$C.$3$D.$2$3.直线$y=kx-k+1$与椭圆$x^2+\dfrac{y^2}{9}=1$的位置关系为（）A.相交B.相切C.相离D.不确定4.已知椭圆$x^2+16y^2=1$及以下3个函数：①$f(x)=x$；②$f(x)=\sinx$；③$f(x)=\cosx$。其中函数图像能等分该椭圆面积的函数个数有（）A.$1$个B.$2$个C.$3$个D.$0$个5.已知$P$是以$F_1,F_2$为焦点的椭圆$\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$上的一点，若$PF_1\perpPF_2$，且$|PF_1|=2|PF_2|$，则此椭圆的离心率为（）A.$1$B.$2$C.$\dfrac{1}{2}$D.$\dfrac{3}{5}$6.椭圆$x^2+4y^2=1$两个焦点分别是$F_1,F_2$，点$P$是椭圆上任意一点，则$PF_1\cdotPF_2$的取值范围是（）A.$[1,4]$B.$[1,3]$C.$[-2,1]$D.$[-1,1]$7.曲线$x^2+\dfrac{y^2}{25}=1$与曲线$\dfrac{x^2}{n^2}+\dfrac{y^2}{5n^2}=1(n>0)$有相同的（）A.焦点B.焦距C.离心率D.准线8.已知椭圆$x^2+3y^2=9$的左焦点为$F$，点$P$是椭圆上异于顶点的任意一点，$O_1$为坐标原点。若点$D$是线段$PF$的中点，则$\triangleFOD$的周长为（）A.$1+\sqrt{6}$B.$3+2\sqrt{3}$C.$3+\sqrt{23}$D.$6+2\sqrt{6}$9.已知椭圆$\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$的两焦点分别为$F_1,F_2$，若椭圆上存在一点$P$，使得$\angleF_1PF_2=120^\circ$，则椭圆的离心率$e$的取值为（）A.$\dfrac{1}{\sqrt{3}}$B.$\dfrac{\sqrt{3}}{2}$C.$\dfrac{\sqrt{3}}{3}$D.$1$10.已知$(4,2)$是直线$l$被椭圆$x^2+\dfrac{y^2}{4}=1$所截得的两点，且$l$与椭圆的交点在第一象限，则$l$的方程是（）A.$x-2y=2$B.$x+2y-4=0$C.$x-4y+4=0$D.$2x-y=0$于两点，且两点横坐标相等，设为(x,y)和(x,-y)，代入椭圆方程得到x=±1/√5，y=±2/√5，因此交点个数为2，选A。4．D【解析】将两个方程化为标准形式，得到2x+3y=4和x+2y=8，解得x=-4，y=6，代入第一个方程检验，不成立，说明无解，选D。13．y=±√(4/3)(1-x^2/4)【解析】由离心率e=1/2可得b=√(a^2-c^2)=√(4/3)，代入椭圆标准方程x^2/a^2+y^2/b^2=1中，解出y即可。14．2√2【解析】将y=x+1代入椭圆方程得到x^2+4(x+1)^2=16，化简得到5x^2+8x-12=0，解得x=-2/5或3/5，对应的y分别为3/5和7/5，因此弦长为2√2。15．5【解析】设点P的坐标为(x,y)，则PF1的长度为√(x^2+(y-1)^2)，由于F1和M关于x轴对称，因此PM的长度为√((x-6)^2+(y-2)^2)，根据三角不等式有PF1+PM≥F1M=2，化简得到√(x^2+(y-1)^2)+√((x-6)^2+(y-2)^2)≥2，移项整理得到(x-3)^2+(y-1)^2≥25/4，即点P到点(3,1)的距离≥5/2，因此PM+PF1的最大值为5。17．(1)m=±√3/3；(2)m=-√3/3【解析】(1)直线与椭圆有一个公共点时，即直线过椭圆的一个焦点，根据焦点公式可得m=±√3/3；(2)直线与椭圆相交于P，Q两点，且|PQ|=2/√5，根据椭圆的性质可知，PQ的中点即为椭圆的中心，因此直线过椭圆的中心，根据中心公式可得m=-√3/3。18．(1)(x-1)^2/9+y^2/4=1；(2)y=2x-2【解析】(1)设F1为椭圆的左焦点，根据离心率可得F1=(-3,0)，F2=(3,0)，因此椭圆的中心为O(0,0)，a=3，b=2，代入椭圆标准方程可得(x-1)^2/9+y^2/4=1；(2)设直线l的方程为y=kx-2，代入椭圆方程得到x^2+k^2x^2-2kx+4=9，化简为(k^2+1)x^2-2kx-5=0，根据题意可知该直线与椭圆有两个交点，且交点到原点的距离相等，因此交点的横坐标为x=-5/2(k^2+1)/k，代入直线方程可得y=-5/2(k^2+1)/k+2，根据交点到原点的距离相等可得(k^2+1)x^2+(k^2-4k+5/2)^2=k^2+1/4，化简得到(k-2)^2(k^4-4k^3+20k^2-16k+7)=0，解得k=2或k=-0.5±√3/2，代入直线方程可得y=2x-2或y=-√3x-2或y=√3x-2。由于过点(0,-2)，因此直线方程为y=2x-2。2.由两点A(x1,y1)和B(x2,y2)的坐标为(4,2)，可以得到中点M的坐标为[(x1+x2)/2,(y1+y2)/2]，代入公式y-y1=(y2-y1)/(x2-x1)*(x-x1)可以求得直线l的方程。11.设直线mx+ny=4与圆x^2+y^2=4相离，即两者不存在交点，则有22mn-2n<2，又椭圆x^2/4+y^2/1=1的短半轴为2，所以经过点(m,n)的直线与椭圆的交点个数为2个。12.由直线x+y-1=0，可以得到y=-x+1，代入mx^2+ny^2=1得到(m+n)x^2-2nx+n-1=0，设A、B的坐标为(x1,y1)和(x2,y2)，则有M的坐标为[(x1+x2)/2,(y1+y2)/2]，所以OM的斜率k=(y2-y1)/(x2-x1)=2/(m+n)，解得x1+x2=2m/(m+n)，y1+y2=2-2m/(m+n)。代入y=-x+1可得直线方程。13.根据椭圆标准方程x^2/4+y^2/1=1，可以得到长轴顶点为(0,2)，短轴顶点为(0,-2)，所以椭圆的标准方程为x^2/4+y^2/16=1或x^2/16+y^2/4=1。14.联立直线5x+8y-12=0和x+4y-16=0，解得x=-4，y=8/5，所以弦长为sqrt((x1-x2)^2+(y1-y2)^2)=sqrt(255/251)。15.由题可知PM+PF=2a+PM-PF<=2a+MF=15，所以点P到右焦点的距离也是小于等于15，由椭圆定义可知其坐标满足x^2/25+y^2/16=1，解得距离为sqrt(2516)/15。17.(1)由直线y=x+m和椭圆x^2/4+y^2/9=1不存在交点可得4m^2-36<0，解得m=±5；(2)将直线y=x+m代入x^2/4+y^2/9=1可得36x^2+4(3m^2-4)x+16m^2-36=0，由判别式得(3m^2-4)^2-4*36*(16m^2-36)<=0，解得m=±30/4。(1)根据椭圆的定义可知，动点M的轨迹为椭圆。由a=2，c=3可得b=a^2-c^2=1。因此，动点P的轨迹方程为x^2+y^2/4=1。(2)当直线l的斜率不存在时，不符合题意。当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y=kx-2。设C(x1,y1)，D(x2,