2022-2023学年上海市奉贤区致远高级中学高一（下）期末数学试卷（含解析）

第=page11页，共=sectionpages11页2022-2023学年上海市奉贤区致远高级中学高一（下）期末数学试卷一、单选题（本大题共4小题，共18.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.a=0是复数a+bA.充分不必要 B.必要不充分 C.充分必要 D.既不充分也不必要2.已知向量a=(1,3)A.a与b的夹角是钝角 B.(a+b)⊥b

C.a在b上的投影的数量为23.如图，在下列四个正方体中，A，B，C，D分别为所在棱的中点，则在这四个正方体中，A，B，C，D四点共面的是(

)A. B.

C. D.4.记△ABC内角A，B，C的对边分别为a，b，c，点G是△ABC的重心，若BG⊥A.5975 B.5775 C.1115二、填空题（本大题共12小题，共54.0分）5.向量加法运算：AB+CD+6.斜二测画法中，位于平面直角坐标系中的点M(4,4)在直观图中的对应点是M′，则点7.已知复数z满足(1+i)z=1−8.已知sinα=−559.已知a=(k,1)，b=(−2,10.空间两个角∠ABC和∠A′B′C′，若AB/11.向量a,b的夹角为θ，定义运算“⊗”：a⊗b=|a||12.已知2+3i是实系数一元二次方程x2+bx13.如图是正方体的平面展开图，则在这个正方体中，异面直线AB与CD的夹角为______．

14.已知函数f(x)=3sinx+15.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，acosC16.如图所示，△ABC中，AB=3，AC=2，BC=4，点M为线段AB中点，P为线段CM的中点，延长AP交边BC于点N，则下列结论正确的有______．

三、解答题（本大题共5小题，共78.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.(本小题14.0分)

已知复数z1=1+ai(a∈R)，且z1−(3+i18.(本小题14.0分)

已知向量|a|=2，向量b=(1,1)．

(1)若向量a/​/b19.(本小题14.0分)

如图，空间四边形ABCD中，E、F、G分别是AB、BC、CD上，且满足AE：EB=CF：FB=2：1，CG：GD=3：1，过E、F、G的平面交AD于点H20.(本小题18.0分)

如图，在四棱锥P−ABCD中，PA⊥平面ABCD，AD//BC，AB⊥BC，PA=AD21.(本小题18.0分)

在路边安装路灯，灯柱AB与地面垂直(满足∠BAD=90°)，灯杆BC与灯柱AB所在平面与道路垂直，且∠ABC=120°，路灯C采用锥形灯罩，射出的光线如图中阴影部分所示，已知∠ACD=60°，路宽AD=12m.设灯柱高AB=

答案和解析1.【答案】B

【解析】解：a=0，b≠0时，复数a+bi(a,b∈R)为纯虚数，故a=0，不能推出复数a+bi(a,b∈R)为纯虚数；

复数a+bi(a,b∈R2.【答案】C

【解析】解：对于A，因为a⋅b=−1+3=2>0，所以a与b的夹角不是钝角，选项A错误；

对于B，(a+b)⋅b=a⋅b+b2=2+2=4≠0，所以(3.【答案】D

【解析】解：A选项中，AB，CD是异面直线，四点显然不共面．

B选项中，AD，BC是异面直线，四点显然不共面．

C选项中，AB，CD是异面直线，四点显然不共面．

D选项中，如图，取E，F为正方体所在棱的中点，连接出ADCEBF，

易知ADCEBF为平面六边形，所以A，B，4.【答案】D

【解析】解：作出图形，如图所示：

∵点G是△ABC的重心，

∴M是BC的中点，故AM=12(AB+AC)，

由题意得|BC|=a,|AC|=b,|AB|=c，

∵BG⊥CG，

∴GM=12BC=12a，

又点G是△ABC的重心，

则5.【答案】AD【解析】解：AB+CD+BC=(A6.【答案】(4【解析】解：斜二测画法中，位于平面直角坐标系中的点M(4,4)，

在直观图中的对应点是M′，则点M′的坐标为(4,2)．

故答案为：(47.【答案】5

【解析】【分析】本题考查了复数代数形式的乘除运算，复数模的求法．

把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数求模公式计算得答案．【解答】解：由(1+i)z=1−7i，

得z=1

8.【答案】2【解析】解：因为sinα=−55<0，α∈(−π2,π2)，

所以9.【答案】32【解析】解：a=(k,1)，b=(−2,3)，a与b互相垂直，

则10.【答案】40°或140【解析】解：如果空间中两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补，

所以，∠ABC=40°，则∠A′B′C′的大小是40°或11.【答案】2【解析】解：已知向量a,b的夹角为θ，定义运算“⊗”：a⊗b=|a||b|sinθ，

又a=(3,1),b=(−3,1)，

12.【答案】−4【解析】解：2+3i是实系数一元二次方程x2+bx+c=0的一个根，

则2−3i也是实系数一元二次方程x2+bx+c13.【答案】60°【解析】解：如图所示，把展开图恢复到原正方体，

连接AE，BE.由正方体可得CE/​/AD且CE=AD，

∴四边形ADCE是平行四边形，∴AE/​/DC，

∴∠BAE或其补角是异面直线AB与CD所成的角，

由正方体可得：AB=AE14.【答案】3【解析】解：f(x)=3sinx+cosx=2(32sinx+12cosx)=2sin(x+π15.【答案】π3【解析】解：∵acosC+3asinC−b−c=0，

∴acosC+3asinC=b+c，

由正弦定理得，sinAcosC+3sinAsinC=16.【答案】(1【解析】解：对于(1)，∵点M为线段AB中点，P为线段CM的中点，∴AP=12AM+12AC=14AB+12AC，故(1)正确；

对于(2)，设AP=λAN，则由(1)，λAN=14AB+12AC，故AN=14λAB+12λAC，

∵B，N，C三点共线，∴14λ+12λ=1，解得λ=34，∴AN=13AB+23AC，

∴AB+17.【答案】解：(1)复数z1=1+ai(a∈R)，

则z1−=1−ai，

∵z1−(3+i)为纯虚数，即(1【解析】(1)根据已知条件，结合纯虚数的定义，以及复数的四则运算，即可求解；

(2)18.【答案】解：(1)已知向量|a|=2，向量b=(1,1)，

设a=(x,y)，

所以x2+y2=4，

因为a/​/b，

所以x−y=0，

解得x=2,y=2或x=−【解析】(1)根据向量平行的坐标运算求解即可；

(2)19.【答案】(1)解：∵AE：EB=CF：FB=2：1，∴EF/​/AC．

∴EF/​/平面ACD．

而EF⊂平面EFGH，且平面EFGH∩平面ACD=GH，

∴EF/​/GH.而EF/​/AC，

∴AC/​/GH．

∴AH：H【解析】(1)证明EF/​/平面ACD，可得EF//GH.而EF/​/AC，可得AC/​20.【答案】证明：(1)∵AB⊥BC，BC=1，AB=3，

由勾股定理得：AC=AB2+BC2=12+(3)2=2，∠ACB=π3，

△ACD中，CD=23，

∵AC2+CD2=4+12=16=AD2，

∴DC⊥AC，

又因为PA⊥底面ABCD，DC⊂底面AB【解析】(1)