广东省韶关市梅杭中学高三数学文上学期摸底试题含解析

广东省韶关市梅杭中学高三数学文上学期摸底试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知命题．若命题p是假命题，则实数a的取值范围是

A.a<0或a>l

B．

C．0≤a≤1

D．0<a<l参考答案：D2.函数的图像大致为参考答案：C3.已知是定义域为正整数集的函数，对于定义域内任意的，若成立，则成立，下列命题成立的是(

)（A）若成立，则对于任意，均有成立（B）若成立，则对于任意的，均有成立（C）若成立，则对于任意的，均有成立（D）若成立，则对于任意的，均有成立参考答案：

D略4.已知点（x，y）满足不等式组，则z=x-2y的最大值为（）A.－7 B.－1 C.1 D.2参考答案：C作出满足不等式组的平面区域，如图所示，由图知当目标函数经过点时取得最大值，所以，故选C．5.设函数,若函数有两个极值点,则实数m的取值范围是(

)A.

B.

C.

D.参考答案：A当时,,所以.令,得,设，所以在上单调递减,所以当时,有一个极值点;当或时,无极值点;当时,,所以.令,因为不是极值点,所以,记.因为,所以在和上单调递减,在上单调递增,所以当时,有一个极值点;当时,无极值点;当时,有两个极值点.综上所述,实数的取值范围是,故选A．6.在棱长为1的正方体内随机取一点，则点到点的距离大于1的概率为（

）

A．

B．

C．

D．

参考答案：C略7.设x，y满足时，则z=x+y既有最大值也有最小值，则实数a的取值范围是(

)（A）

(B)

(C)

（D）

参考答案：A略8.设，若函数，有大于零的极值点，则（

）A．

B．

C．

D．参考答案：【解析】，若函数在上有大于零的极值点，即有正根。当有成立时,显然有,此时，由我们马上就能得到参数的范围为.答案：B9.函数的图象大致是(

）参考答案：C10.四面体中,各个侧面都是边长为的正三角形,分别是和的中点,则异面直线与所成的角等于(

)A．

B． C． D．参考答案：C略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知四棱锥S-ABCD的底面是边长为的正方形，且四棱锥S-ABCD的顶点都在半径为2的球面上，则四棱锥S-ABCD体积的最大值为__________.参考答案：6.【分析】四棱锥的底面面积已经恒定，只有高不确定，只有当定点的射影为正方形ABCD的中心M时，高最大，从而使得体积最大.则利用球体的性质，求出高的最大值，即可求出最大体积.【详解】因为球心O在平面ABCD的射影为正方形ABCD的中心M，正方形边长为，，则在中，所以四棱锥的高的最大值为=3，此时四棱锥体积的为【点睛】主要考查了空间几何体体积最值问题，属于中档题.这类型题主要有两个方向的解决思路，一方面可以从几何体的性质出发，寻找最值的先决条件，从而求出最值；另一方面运用函数的思想，通过建立关于体积的函数，求出其最值，即可得到体积的最值.12.已知l，m是平面外的两条不同直线．给出下列三个论断：①l⊥m；②m∥；③l⊥．以其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题：__________．参考答案：如果l⊥α，m∥α，则l⊥m.【分析】将所给论断，分别作为条件、结论加以分析.【详解】将所给论断，分别作为条件、结论，得到如下三个命题：（1）如果l⊥α，m∥α，则l⊥m.正确；（2）如果l⊥α，l⊥m，则m∥α.不正确，有可能m在平面α内；（3）如果l⊥m，m∥α，则l⊥α.不正确，有可能l与α斜交、l∥α.

13.已知平面向量，满足|β|=1，且与﹣的夹角为120°，则的模的取值范围为．参考答案：（0，]【考点】平面向量数量积的运算．【分析】设=，=，得到∠ABC=60°由正弦定理得：||=sinC≤，从而求出其范围即可．【解答】解：设=，=如图所示：则由=﹣，又∵与﹣的夹角为120°∴∠ABC=60°又由||=||=1由正弦定理=得：||=sinC≤，∴||∈（0，]故答案为：（0，]．14.已知变量x，y，满足：，则z=2x+y的最大值为．参考答案：4【考点】简单线性规划．【分析】作出可行域，根据可行域移动目标函数，根据直线的截距得出最优解．【解答】解：作出约束条件表示的可行域如图：由z=2x+y得y=﹣2x+z．由图形可知当直线y=﹣2x+z经过B点时，直线的截距最大，即z最大．解方程组，得B（1，2）．∴z的最大值为z=2×1+2=4．故答案为：4．15.点M（x，y）满足不等式|2x|+|y|≤1，则x+y的最大值为

．参考答案：1考点：简单线性规划．专题：不等式的解法及应用．分析：作出不等式对应的平面区域，设z=x+y，利用z的几何意义求z的最大值．解答： 解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）设z=x+y，则y=﹣x+z，平移直线y=﹣x+z，由图象可知当直线y=﹣x+z经过点A（0，1）时，直线的截距最大，此时z最大．代入z=x+y得z=0+1=1．即x+y的最大值为1．故答案为：1点评：本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决线性规划题目的常用方法．16.若抛物线y2=2x上的一点M到坐标原点O的距离为，则点M到该抛物线焦点的距离为

。参考答案：略17.设i是虚数单位，若复数z满足z（1+i）=1﹣i，则|z|=．参考答案：1【考点】复数求模．【分析】利用复数的运算法则、模的计算公式即可得出．【解答】解：z（1+i）=（1﹣i），∴z（1+i）（1﹣i）=（1﹣i）（1﹣i），∴2z=﹣2i，z=﹣i．则复数z的模|z|=1．故答案为：1．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知函数f（x）=ex﹣xlnx，g（x）=ex﹣tx2+x，t∈R，其中e是自然对数的底数．（Ⅰ）求函数f（x）在点（1，f（1））处切线方程；（Ⅱ）若g（x）≥f（x）对任意x∈（0，+∞）恒成立，求t的取值范围．参考答案：【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（Ⅰ）求出原函数的导函数，得到f′（1）再求出f（1），代入直线方程的点斜式得答案；（Ⅱ）由g（x）≥f（x）对任意x∈（0，+∞）恒成立，可得ex﹣tx2+x﹣ex+xlnx≥0对任意x∈（0，+∞）恒成立．分离参数t，可得即t≤对任意x∈（0，+∞）恒成立．令F（x）=．两次求导可得x∈（0，1）时，F′（x）＜0，x∈（1，+∞）时，F′（x）＞0，得到F（x）在（0，1）上单调递减，F（x）在（1，+∞）上单调递增．从而得到F（x）≥F（1）=1．由此可得t的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）由f（x）=ex﹣xlnx，得f′（x）=e﹣lnx﹣1，则f′（1）=e﹣1．而f（1）=e，∴所求切线方程为y﹣e=（e﹣1）（x﹣1），即y=（e﹣1）x+1；（Ⅱ）∵f（x）=ex﹣xlnx，g（x）=ex﹣tx2+x，t∈R，∴g（x）≥f（x）对任意x∈（0，+∞）恒成立．?ex﹣tx2+x﹣ex+xlnx≥0对任意x∈（0，+∞）恒成立．即t≤对任意x∈（0，+∞）恒成立．令F（x）=．则F′（x）=，设G（x）=，则G′（x）=对任意x∈（0，+∞）恒成立．∴G（x）=在（0，+∞）单调递增，且G（1）=0．∴x∈（0，1）时，G（x）＜0，x∈（1，+∞）时，G（x）＞0，即x∈（0，1）时，F′（x）＜0，x∈（1，+∞）时，F′（x）＞0，∴F（x）在（0，1）上单调递减，F（x）在（1，+∞）上单调递增．∴F（x）≥F（1）=1．∴t≤1，即t的取值范围是（﹣∞，1]．19.已知圆C的参数方程为（θ为参数），以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为sinθ+cosθ=．（1）求圆C的普通方程和直线l的直角坐标方程；（2）求直线l被圆C所截得的弦长．参考答案：【考点】Q4：简单曲线的极坐标方程．【分析】（1）利用三种方程的转化方法，求圆C的普通方程和直线l的直角坐标方程；（2）求出圆心到直线的距离，即可求直线l被圆C所截得的弦长．【解答】解：（1）圆C的参数方程化为普通方程为x2+（y﹣2）2=1，直线l的极坐标方程化为平面直角坐标方程为x+y=1，（2）圆心到直线的距离，故直线l被圆C所截得的弦长为．20.已知二次函数对任意实数都满足，的最小值为且．令（）．（1）求的表达式；（2）若使成立，求实数的取值范围；（3）设，，证明：对、，恒有．参考答案：（Ⅱ）（）①当时，由对数函数性质，的值域为；②当时，，对，恒成立；③当时，由得，

…7分列表：—0+减极小增这时，．．综合①②③若，恒成立，则实数的取值范围为．故存在使成立，实数的取值范围为．

…………10分（Ⅲ）证明：因为对，，所以在内单调递减．于是，．

…………13分记（），则，所以函数在上是单调增函数，所以，故命题成立．

………………21.设函数f（x）=|x+1|+|2x﹣1|的最小值为a．（1）求a的值；（2）已知m，n＞0，m+n=a，求的最小值．参考答案：【考点】绝对值不等式的解法；基本不等式．【专题】计算题；转化思想；综合法；不等式．【分析】（1）由条件化简函数的解析式，再利用函数的单调性求得函数f（x）的最小值．（2）根据=（+）?，利用基本不等式求得它的最小值．【解答】解：（1）函数f（x）=|x+1|+|2x﹣1|=，故函数的减区间为（﹣∞，]，增区间为（，+∞），故当x=时，函数f（x）取得最小值为a=．（2）已知m，n＞0，m+n=a=，∴=（+）?=[1+++4]=+（+）≥+?2=6，当且仅当=时，取等号，故的最小值为6．【点评】本题主要考查利用函数的单调性求函数的最值，基本不等式的因公，属于中档题．22.“工资条里显红利，个税新政入民心”.随着2019年新年钟声的敲响，我国自1980年以来，力度最大的一次个人所得税（简称个税）改革迎来了全面实施的阶段.某IT从业者为了解自己在个税新政下能享受多少税收红利，绘制了他在26岁-35岁（2009年-2018年）之间各年的月平均收入y（单位：千元）的散点图：(注：年龄代码1-10分别对应年龄26-35岁)（1）由散点图知，可用回归模型拟合y与x的关系，试根据有关数据建立y关于x的回归方程；（2）如果该IT从业者在个税新政下的专项附加扣除为3000元/月，试利用（1）的结果，将月平均收入视为月收入，根据新旧个税政策，估计他36岁时每个月少缴纳的个人所得税.附注：①参考数据：，，，，，，，其中：取，.②参考公式：回归方程中斜率和截距的最小二乘估计分别为，.③新旧个税政策下每月应纳税所得额（含税）计算方法及税率表如下：

旧个税税率表（个税起征点3500元）新个税税率表（个税起征点5000元）缴税级数每月应纳税所得额（含税）=收入－个税起征点税率(%)每月应纳税所得额（含税）=收入－个税起征点－专项附加扣除税率(%)1不超过1500元的都分3不超过3000元的都分32超过1500元至4500元的部分10超过3000元至12000元的部分103超过4500元至9000元的部分20超过12000元至25000元的部分204超过9000元至35000元的部分25超过25000元至35000元的部分255超过35000元至550