《二次型及其标准型》课件

中南财经政法大学信息系第一节二次型及其标准形第六章二次型中南财经政法大学信息系第一节二次型及其标准形第六章1定义6.1称n元二次齐次函数(6.1)为的一个n元二次型，若其中系数均为实数，称之为实二次型。本章只讨论实二次型。一、二次型的定义定义6.1称n元二次齐次函数(6.1)为2(6.1)式可以写成(6.1)式可以写成3记(6.2)f也可写成如下的矩阵和向量的乘积形式：记(6.2)f也可写成如下的矩阵和向量的乘积形式：4证明如下:证明如下:5称式（6.2）为二次型（6.1）的矩阵形式，矩阵A称为二次型所对应的矩阵，矩阵A的秩称为二次型的秩。在A中，为（6.1)中的系数，为（6.1）中混合项系数的一半。显然，A是一个n阶对称矩阵，即。从二次型的定义可以看到：(1)二次型的矩阵都是对称的矩阵。(2)二次型和它的矩阵是一一对应的。称式（6.2）为二次型（6.1）的矩阵形式，从二次型的定义可6例1

1）写出二次型所对应的矩阵。

2）写出矩阵所对应的二次型。例17解1）原二次型所对应的对称矩阵为：2）矩阵对应的二次型为：解1）原二次型所对应的对称矩阵为：2）矩阵对应的二次型为8定义6.2设有两组变量；，其中一组变量可以写成另外一组变量的线性组合，即有：（6.3）二、线性变换定义6.2设有两组变量9则称上式为由到的一个线性变换（或线性替换）

由系数组成的矩阵称为线性变换（6.3）的矩阵。则称上式为由到10记；，那么，（6.3）式可以写为：若，则称（6.3）式为可逆（或非退化）的线性变换。若C为正交矩阵，则称（6.3）为正交线性变换。注意：本章中的线性变换都为可逆或正交线性变换.记；11本章主要问题之一：找一个恰当的线性变换，使二次型形式更简单（只含有平方项）。做线性变换后，二次型所对应的矩阵和原二次型矩阵之间具有某种关系，这种关系就是合同。本章主要问题之一：找一个恰当的线性变换，使二次12定义6.3设A和B为两个n阶矩阵，如果存在一个n阶可逆矩阵C，使得，那么，称A与B合同。合同关系具有下列性质：(1)反身性(2)对称性(3)传递性(4)合同的矩阵有相同的秩三、矩阵的合同关系定义6.3设A和B为两个n阶矩阵，如果存在一个n阶可逆矩13定理6.1二次型经非退化线性替换后仍为二次型，且新二次型矩阵与原二次型矩阵合同。证明：设二次型，经过可逆线性替换,得：

设，则可得：定理6.1二次型经非退化线性替换后仍为二次型，且新二次型14又因为所以B是对称矩阵，为新二次型对应的矩阵又因为有，C可逆，所以A与B合同。注：新二次型的秩与原二次型相等。又因为所以B是对称矩阵，为新二次型对应的矩阵又因为有15第二节化二次型为标准形第二节化二次型为标准形16定义6.4若二次型经过可逆线性替换化为（6.4）

称这种只具有平方项的二次型（6.4）为二次型（6.1）的标准形.

一、二次型的标准形

定义6.4若二次型17将二次型的标准型化成矩阵形式，易知，标准形的矩阵具有对角阵形式：二次型的秩等于中非零元素的个数将二次型的标准型化成矩阵形式，易知，标准形的矩阵具有对角阵形18说明说明19定理6.2任意一个二次型都可以经过非退化的线性变换化为标准形：二、配方法化二次型为标准形证明：数学归纳法。定理6.2任意一个二次型20定理6.2的矩阵描述：定理6.3任何一个对称矩阵都与一个对角矩阵合同。即对任意一个对称矩阵A，存在一个可逆矩阵C，使，D为对角形。证明：设A为n阶对称矩阵，那么可以得到唯一的二次型定理6.2的矩阵描述：定理6.3任何一个对称矩阵都与一个21根据定理6.2，

可以通过可逆线性变换化为标准形，其中D为对角形。又根据定理6.1可知根据定理6.2，22解例2含有平方项去掉配方后多出来的项解例2含有平方项去掉配方后多出来的项23《二次型及其标准型》PPT课件24所用变换矩阵为所用变换矩阵为25例3化二次型为标准形，并求所用的非退化线性变换。解在二次型中，不含有的平方项，而含有交叉项，为了利用上面配方时所用的方法，先作可逆线性变换：（6.6）

例3化二次型26再用例3的方法进行配方，即令即（6.7）

再用例3的方法进行配方，即令27在上面的配方中，用了两个可逆的线性变换，将（6.7）式代入（6.6）式，可得：在上面的配方中，用了两个可逆的线性变换，将（6.7）式代入（28即为所求的可逆线性变换此时，原二次型所对应的标准形为：即为所求的可逆线性变换此时，原二次型所对应的标准形为：29配方法化二次型标准形：（1）若二次型中含有平方项，则在针对某个含平方项的变量进行配方时，应对所有含此变量的项进行配方，使得此配方过程完成后，在剩下的项中不能再含有该变量；然后对剩下的其它变量进行配方，直到所有的变量都完成配方。根据配方结果就可以得到可逆线性变换，使得原二次型变为标准形。配方法化二次型标准形：（1）若二次型中含有平方项，则在针对某30(2)若二次型中不含有平方项，但是则先作可逆线性变换化二次型为含有平方项的二次型，然后再按(1)中方法配方.(2)若二次型中不含有平方项，但是31思考题P155例6.4（试用不同的变换）思考题P155例6.4（试用不同的变换）32思考题解答思考题解答33《二次型及其标准型》PPT课件34三、正交变换化实对称矩阵为标准型三、正交变换化实对称矩阵为标准型35证明：设是实二次型，则A为实对称矩阵，则一定能找到一个正交矩阵Q，使得：其中为A的全部特征值则（6.10）证明：设36作正交变换从而得到二次型的标准形作正交变换从而得到二次型的标准形37用正交替换法化实二次型为标准形的一般步骤：

1）求出实二次型的矩阵A的全部特征值2)求出使A对角化的正交矩阵Q,即

3)作正交线性替换，可使二次型化为标准形：用正交替换法化实二次型为标准形的一般步骤：1）求出实二次型38解1．写出对应的二次型矩阵，并求其特征值例4解1．写出对应的二次型矩阵，并求其特征值例439从而得特征值2．求特征向量3．将特征向量正交化得正交向量组从而得特征值2．求特征向量3．将特征向量正交化得正交向量组404．将正交向量组单位化，得正交矩阵4．将正交向量组单位化，得正交矩阵41于是所求正交变换为于是所求正交变换为42解例5解例543《二次型及其标准型》PPT课件44《二次型及其标准型》PPT课件45《二次型及其标准型》PPT课件46《二次型及其标准型》PPT课件47将一个二次型化为标准形，可以用正交变换法，也可以用配方法，或者初等变换方法，这取决于问题的要求．如果