解直角三角形及其应用课件

解直角三角形及其应用本课内容本节内容4.31解直角三角形及其应用本课内容本节内容4.31解直角三角形（一）2解直角三角形（一）2如图4-23，在直角三角形ABC中，∠C=90°，∠A，∠B，∠C的对边分别记作a，b，c.说一说图4-233如图4-23，在直角三角形ABC中，∠C=901.直角三角形的三边之间有什么关系？a2+b2=c2(勾股定理)图4-2341.直角三角形的三边之间有什么关系？a2+b2=c2(勾股2.

直角三角形的锐角之间有什么关系？

∠A+∠B=90°.图4-2352.直角三角形的锐角之间有什么关系？∠A+∠B=90°3.直角三角形的边和锐角之间有什么关系？

图4-23的对边斜边的邻边斜边的对边邻边63.直角三角形的边和锐角之间有什么关系？图4-23的根据下列每一组条件，能画出多少个直角三角形(全等的直角三角形算一个)？做一做（1）一个锐角为40°；（2）一个锐角40°，它的邻边长为3cm；无数个（3）一个锐角40°，它的对边长为3cm；（4）一个锐角40°，斜边长为3cm；（5）斜边长为4cm，一条直角边长为3cm.1个1个1个1个7根据下列每一组条件，能画出多少个直角三做一做从这些问题的结论，你猜想有什么规律？这个猜想正确吗？（1）一个锐角为40°；（2）一个锐角40°，它的邻边长为3cm；无数个（3）一个锐角40°，它的对边长为3cm；（4）一个锐角40°，斜边长为3cm；（5）斜边长为4cm，一条直角边长为3cm.1个1个1个1个8做一做从这些问题的结论，你猜想有什么规律？（结论在直角三角形中，除直角外的5个元素(3条边和2个锐角)，只要知道其中的2个元素(至少有一个是边)，利用上述关系式，就可以求出其余的3个未知元素，这叫作解直角三角形.

9结论在直角三角形中，除直角外的5个元素(3条边和动脑筋如果知道的2个元素都是角，那么能求出直角三角形的边吗？

不能.因为此时的直角三角形有无数多个.10动脑筋如果知道的2个元素都是角，那么能求出直角三角形举例例1如图4-24，在Rt△ABC中，a=5，求∠B，b，c.图4-24解:又∵∴∵∴11举例1如图4-24，在Rt△ABC中，图4-24解举例例2

在Rt△ABC中，∠C=90°，a=15.60cm，b=8.50cm，求c，∠A，∠B(长度精确到0.01cm)，角度精确到1′).

解:由于因此从而12举例2在Rt△ABC中，∠C=90°，a=1练习答：1.在Rt△ABC中，b=3cm，求∠A，a，c(精确到0.01cm).13练习答：1.在Rt△ABC中，答：2.

在Rt△ABC中，a=5.82cm，c=9.60cm，求b，∠A，∠B(角度精确到1′，长度精确到

0.01cm).14答：2.在Rt△ABC中，a=5.82cm4．如图，已知Rt△ABC中，斜边BC上的高AD=4，cosB=3、（2010•常德中考）在△ABC中，∠C＝90°，sinA=则tanB为（）BABCD，则AC=____________.5154．如图，已知Rt△ABC中，斜边BC上的高AD=4，3、（2、如图所示，一棵大树在一次强烈的地震中于离地面10米处折断倒下，树顶落在离树根24米处.大树在折断之前高多少？解析:利用勾股定理可以求出折断倒下部分的长度为:26＋10＝36（米）.答:大树在折断之前高为36米.162、如图所示，一棵大树在一次强烈的地震中于离地面10米处折断如图，△ABC中，∠C=90°，AB=8，cosA=,则AC的长是_______ACB6

2.（2010·常德中考）如图，在Rt△ABC中，

若AC=2BC，则sinA的值是（）C17如图，△ABC中，∠C=90°，AB=8，,则AC的长是__通过这节课，我们应当掌握：1、掌握直角三角形的五个元素，已知两个元素（至少有个是边），能求出其余三个元素；2、能把数学问题转化成解直角三角形问题。18通过这节课，我们应当掌握：18解直角三角形（二）19解直角三角形（二）19

1.仰角与俯角的定义

在视线与水平线所成的角中规定:

视线在水平线上方的叫做仰角，视线在水平线下方的叫做俯角。铅垂线视线视线水平线仰角俯角201.仰角与俯角的定义铅垂线视线视线水平线仰角俯东西北南O（1）正东，正南，正西，正北（2）西北方向:_________

西南方向:__________

东南方向:__________

东北方向:__________

射线OAABCDOBOCOD45°射线OE射线OF射线OG射线OHEGFH45°45°45°认识方位角21东西北南O（1）正东，正南，正西，正北（2）西北方向:___O北南西东南偏西25°25°北偏西70°南偏东60°ABC射线OA射线OB射线OC70°60°认识方位角22O北南西东南偏西25°25°北偏西70°南偏举例例3如图4-25，一艘游船在离开码头A后，以和河岸成30°角的方向行驶了500m到达B处，求B处与河岸的距离.

图4-25?23举例3如图4-25，一艘游船在离开码头A后，以和河岸解:从点B作河岸线(看成直线段)的垂线，垂足为C，从而答：B处与河岸的距离约为250m．?在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，AB=500m.由于BC是∠A的对边，AB是斜边，因此ACB24解:从点B作河岸线(看成直线段)的垂线，垂足为C，从而答：B举例例4如图4-26，在高为28.5m的楼顶平台D处，用仪器测得一路灯电线杆底部B的俯角为15°，仪器高度AD为1.5m.求这根电线杆与这座楼的距离BC(精确到1m).

图4-2625举例4如图4-26，在高为28.5m的楼顶平台D处，解:

在Rt△ABC中，∠C=90°，图4-26由于BC是∠BAC的对边，AC是邻边，因此答：这根电线杆与这座楼的距离约为112m.从而AC=28.5+1.5=30(m)，26解:在Rt△ABC中，∠C=90°，图4-26由于BC练习答：如图4-27，一艘轮船航行到B处时，灯塔A在船的北偏东的方向，轮船从B处向正东方向行驶2400m到达C处，此时灯塔A在船的正北方向.求C处与灯塔A的距离(精确到1m).

图4-2727练习答：如图4-27，一艘轮船航行到B处时，灯塔举例例5如图4-28，一座楼房的顶层阳台上方的屋檐成等腰梯形，上底长2.0m，下底长3.6m，一腰长1.9m.求等腰梯形的高(精确到0.1m)，以及一腰与下底所成的底角(精确到1′).图4-2828举例5如图4-28，一座楼房的顶层阳台上方的屋檐成等解:在等腰梯形ABCD中，从顶点D作下底AB的垂线，垂足为E.图4-28由于上底DC=2m，下底AB=3.6m，在直角三角形ADE中，∠AED=90°，AD=1.9m，AE=0.8m，因此 从而由于AE是∠A的邻边，AD是斜边，因此从而答：等腰梯形的高约等于1.7m，一腰与下底所成的底角约等于E29解:在等腰梯形ABCD中，图4-28由于上底DC=2m，下底5、如图，张华同学在学校某建筑顶部的C点处测得旗杆顶部A点的仰角为300，旗杆底部B点的俯角为450，若旗杆底部B点到建筑物的水平距离BE=9m，旗杆台阶高1m，则旗杆顶点A离地面的高为___________m。ACBE建筑物基本应用训练:H305、如图，张华同学在学校某建筑顶部的C点处测得旗杆顶部A点的7、如图某船以每小时30海里的速度先向正东方向航行，在点A处测得某岛C在北偏东600的方向上，航行3小时到达点B，测得该岛在北偏东300的方向上且该岛周围86海里内有暗礁（1）试证明：点B在暗礁区外；（2）若继续向东航行有无触暗礁的危险？CABD东北基本应用训练:317、如图某船以每小时30海里的速度先向正东方向航行，在点A处解直角三角形（三）32解直角三角形（三）32想一想：在直角三角形ABC中,∠C＝90º，a＋b＝10,b／a＝4，求a、b、c、tanA。33想一想：在直角三角形ABC中,∠C＝90º，a＋图4-29的(1)和(2)中，哪个山坡比较陡？观察(2)中的山坡比较陡.图4-27（1）（2）34图4-29的(1)和(2)中，哪个山坡比较陡？观察动脑筋如何用数量来反映哪个山坡陡呢？图4-27（1）（2）35动脑筋如何用数量来反映哪个山坡陡呢？图4-2如图4-30，从山坡脚下点P上坡走到点N

时，升高的高度h(即线段MN的长)与水平前进的距离l(即线段PM的长度)的比叫作坡度，用字母i表示，即图4-3036如图4-30，从山坡脚下点P上坡走到点N时，升高的坡面的铅垂高度（h）和水平长度（l）的比叫做坡面坡度（或坡比），记作i,

坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作α，即i=坡度通常写成1：m的形式i=1：m37坡面的铅垂高度（h）和水平长度（l）的比叫做坡面坡度（或坡度通常写成1:m

的形式．图4-30中的∠MPN叫作坡角(即山坡与地平面的夹角).图4-30显然，坡度等于坡角的正切.

坡度越大，山坡越陡.38坡度通常写成1:m的形式．图4-30显然1、斜坡的坡比是1:1，则坡角α=______度。3、斜坡长是12米,坡高6米,则坡比是_______。巩固概念αLh2、斜坡的坡角是600

，则坡比是_______。4、传送带和地面所成的斜坡的坡比为1：2，把物体从地面送到离地面9米高的地方，则物体通过的路程为_______米。5、斜坡的坡度是1：3，斜坡长=100米，则斜坡高为_______米。391、斜坡的坡比是1:1，则坡角α=______度。3、斜坡举例例6

如图4-30，一山坡的坡度i=1:1.8，小刚从山坡脚下点P上坡走了24m到达点N，他上升了多少米(精确到0.1m)？这座山坡的坡角是多少度(精确到1′)？

图4-3040举例6如图4-30，一山坡的坡度i=1:1解:用

表示坡角的大小，由于因此在直角三角形PMN中，

PN=240m.由于NM是∠P的对边，PN是斜边，因此从而答：小刚上升了约116.5m，这座山坡的坡角约等于图4-3041解:用表示坡角的大小，由于图4-3041

有一段防洪大堤，横截面为梯形ABCD，AB∥CD，斜坡AD的坡度为1：1.2，斜坡BC的坡度为1：0.8，大坝底宽AB为10米,坝高2米,求坝顶宽及斜坡BC的坡角。练习概念i1=1：1.2i2=1：0.810米ABCD2米EF42有一段防洪大堤，横截面为梯形ABCD，AB∥C练习答：路基底宽为30.0m，坡角如图4-31，一铁路路基的横断面为等腰梯形，路基的顶宽(即等腰梯形的上底长)为10.2m，路基的坡度i=1:1.6，等腰梯形的高为6.2m.求路基的底宽(精确到0.1m)和坡角α(精确到1′).图4-3143练习答：路基底宽为30.0m，如图4-31，一铁小结与复习本章我们主要学习了锐角的正弦、余弦、正切的概念，以及它们在求解直角三角形和实际生活中的广泛应用．

44小结与复习本章我们主要学习了锐角的正弦、余弦、正切的一、锐角三角函数

1.概念在直角三角形中，一个锐角为α，则角的对边斜边角的邻边斜边角的对边邻边分别叫作角α的正弦、余弦、正切.锐角的正弦、余弦、正切统称为锐角三角函数．45一、锐角三角函数1.概念在直角三角形中，一个锐角为α，则

2.

30°，45°，60°角的正弦、余弦、正切值.

462.30°，45°，60°角的正弦、余弦、正切值.46

3.同一个锐角的正弦、余弦和正切的关系.

(3)已知tanα的值，α是锐角，求sinα，cosα

的值的方法可以参看4.2节的例3.此方法可推广到：已知sinα(或cosα)的值，α是锐角，求

cosα(或sinα)，tanα的值.

473.同一个锐角的正弦、余弦和正切的关系.(3)已知

4.互为余角的正弦、余弦的关系．

设α是锐角，则484.互为余角的正弦、余弦的关系．设α是锐角，则48

5.用计算器求锐角的正弦、余弦、正切值．

6.已知正弦或余弦，或正切值，用计算器求相应的锐角.

495.用计算器求锐角的正弦、余弦、正切值．6.已知正二、解直角三角形及其应用

1.在直角三角形中，除直角外的5个元素，只要知道其中的2个元素(至少有一个是边)，就可以求出其余的3个未知元素，这叫作解直角三角形.

50二、解直角三角形及其应用1.在直角三角形中，除直角外的5解直角三角形依据下列关系式：如图4-35，a2+b2=c2(勾股定理)，角的对边斜边角的邻边斜边角的对边邻边其中∠A可以换成∠B.图4-3551解直角三角形依据下列关系式：如图4-35，a2+b22.在将解直角三角形应用到实际问题中时，首先要弄清楚实际问题的情况，找出其中的直角三角形和已知元素；其次要从已知元素和所求的未知元素，正确选用正弦，或余弦，或正切；第三要会用计算器进行有关计算．

522.在将解直角三角形应用到实际问题中时