曲线积分与曲面积分复习课件

第十一章曲线与曲面积分第十一章曲线与曲面积分第一类曲线积分特点(1)被积函数的定义域是曲线弧.(2)微元是平面曲线弧长元素.(3)空间曲线上的一类曲线积分对弧长的曲线积分:第一类曲线积分特点(1)被积函数的定义域是曲线弧.((1)公式法:L的参数方程：L:L:一定，二代，三换元，定，代，换关键在方程。小下限,大上限.2.第一类曲线积分的计算(1)公式法:L的参数方程：L:L:一定，二代，三换元，定，步骤：1.写出L的参数方程，确定参数的范围2.化为定积分一定，二代，三换元，定，代，换关键在方程。小下限,大上限.(2)技巧：对称性简化计算.步骤：1.写出L的参数方程，确定参数的范围2.化为定积分一定例题例1其中L

为圆周直线及x轴在第一象限边界.计算内所围成的扇形的整个

例3计算其中L为形成的弧段.yxo例2其中

为折线ABCD,这里A，计算B，C，D依次为例题例1其中L为圆周直线及x轴在第一象限边界.计述移动过程中变力所作的功W.设一质点在xoy平面内从点A沿光滑曲线弧L移动的作用，其中函数到点B,在移动过程中，这质点受到变力在L上连续.计算在上第二类曲线积分1.引例：变力沿平面曲线做功对坐标的曲线积分述移动过程中变力所作的功W.设一质点在xoy平面(2)被积函数的定义域是曲线弧.对坐标的曲线积分特点(1)积分曲线是有向曲线弧.(3)微元是有向弧微分在坐标轴上的投影与一类曲线积分的本质区别(4)变力沿空间曲线做功(2)被积函数的定义域是曲线弧.对坐标的曲线积分特点一定，二代，三换元，定，代，换关键在方程。下起上终之参.2.第二类曲线积分的计算(1)公式法:有向曲线L的参数方程：从到L:从到L:从到从到从到一定，二代，三换元，定，代，换关键在方程。下起上终之参.2.步骤：1.写出L的参数方程，确定参数的走向2.化为定积分一定，二代，三换元，定，代，换关键在方程。下起上终之参.步骤：1.写出L的参数方程，确定参数的走向2.化为定积分一定例题其中L为沿抛物线从点到的一段.例4计算例5计算其中是从到的直线段.例题其中L为沿抛物线从点到的一段.例(1)格林公式——平面闭曲线

定理1

设区域D是由分段光滑的曲线L围成，则有(格林公式)函数在D上具有连续一阶偏导数,其中L是D的正向边界曲线.DD第二类曲线积分的重要定理(1)格林公式——平面闭曲线定理1设区域说明：(1)格林公式仅计算平面闭曲线的二类曲线积分.(2)L是D的正向边界曲线——沿着边界走，区域在左手.(3)L必须是封闭的平面曲线.在D上具有连续一阶偏导数.(4)添边：构成闭区域，具有连续一阶偏导数.加负号：沿着边界走，区域在右手，记得添负号。挖洞：含奇点时莫忘挖洞去奇点.说明：(1)格林公式仅计算平面闭曲线的二类曲线积例6计算其中L为的负向.例7计算上由点到点的一段弧.其中L为应用：其中L为一无重点且不过例8计算原点的分段光滑正向闭曲线.yxoxyoL例6计算其中L为的负向.例7计算上由点到点DyxoBA定义：曲线积分与路径无关等价于条件：(2)曲线积分与路径无关DyxoBA定义：曲线积分与路径无关等价于条件：(2)曲线积则曲线积分在D内定理2

设D是单连通域

,在D内具有一阶连续偏导数,在D内恒成立.路径无关(或沿D内任意闭曲线的曲线积分为零)的充函数要条件是则曲线积分在D内，其中L是从点例10计算到点的任意有向曲线.利用路径无关计算曲线积分，其中L是xoy平面内的任例9计算意有向闭曲线.特点：路径无关，闭曲线,积分为零.特点：路径无关，非闭曲线,选易积分路线.，其中L是从点例10计算到点的第二类曲线积分的计算方法总结1.公式法：被积函数与积分路径简单.

2.格林公式：平面闭曲线，不易积分，但简单.3.路径无关：选择简单路径，积分.第二类曲线积分的计算方法总结1.公式法：被积函数与积分路径简三、二元函数的全微分求积??设区域D是一个单连通域,函数P(x,y)及定理3在D内恒成立.u(x,y)的全微分的充在D内为某一函数Q(x,y)在D内具有一阶连续偏导数,则曲线积分的被积表达式要条件是1.全微分的条件三、二元函数的全微分求积??设区域D是一个单连通域,函yxo在整个xoy面内例11验证的全微分，并求这样一个函数.是一函数yxo在整个xoy面内例11验证的全微分，并求这样一个第一类曲面积分“一投，二代，三换，投影，换元看方程”第一类曲面积分的计算

例12计算,其中为球面

例13计算，其中为第一类曲面积分“一投，二代，三换，投影，换元看方程”第一类曲之间的圆柱面

例14计算，其中为平面

例15计算，其中为球面之间的圆柱面例14计算步骤：1.写出曲面的显式表达式2.将曲面向xoy面投影3.求出曲面面积元素4.化为二重积分“一投，二代，三换，投影，换元看方程”步骤：1.写出曲面的显式表达式2.将曲面向xoy面投预备知识：上侧下侧前侧后侧通过曲面上任一点处法向量的指向来指定.例：1.有向曲面的侧预备知识：上侧下侧前侧后侧通过曲面上任一点处法向量的指向来指右侧左侧右侧左侧2.有向曲面在坐标面上的投影设

为有向曲面,在上取一小块曲面上各点处法向量的方向余弦在xOy面上的投影区域的面积为假定有相同的符号.把在xoy面上的投影记为则规定2.有向曲面在坐标面上的投影设为有向曲面,在在zox面上的投影在yoz面上的投影在zox面上的投影在第二类曲面积分用

ˉ表示

的反向曲面,则与侧有关性质第二类曲面积分用ˉ表示的反向曲面,则与侧有关性质取前侧取后侧取右侧取左侧第二类曲面积分的计算取前侧取后侧取右侧取左侧第二类曲面积分的计算取上侧取下侧一投，二代，三定号，投影，代入看积分，定号要靠曲面侧取上侧取下侧一投，二代，三定号，投影，代入看积分，定号要靠曲

例16计算其中是平面含在

柱面部分内的上侧.

理解：在曲面上；曲面面积元素的投影.例17计算其中是球面

的下半部分的下侧.

特点：曲面具有单值函数表达式例16计算其中是平面2、化为二重积分3、计算二重积分1、明确的方程，确定投影步骤：一投，二代，三定号，投影，代入看积分，定号要靠曲面侧2、化为二重积分3、计算二重积分1、明确的方程，确定投为有向曲面Σ在任意点处法向量的方向余弦.两类曲面积分之间的联系为有向曲面Σ在任意点处法向量的方向余弦.两类曲面积分之间的联其中是旋转抛物面介于平面z=0之间部分的下侧.

例18计算及z=2其中是旋转抛物面介于平面z=0之间部分的下侧.

的方向取外侧.定理1

设空间闭区域

由分片光滑的闭在上有连续的一阶函数P,Q,R曲面

所围成,则有偏导数,或高斯公式的方向取外