2021-2022学年上海市外国语大学附属大境中学高一上学期10月月考数学试卷含详解

上海市外国语大学附属大境中学2021-2022年高一上10月月考数学试卷 .a\―gNZ-=5-aA=1.用列举法表示集合一、填空题(本大题满分36分，本大题共有 .a\―gNZ-=5-aA=1.用列举法表示集合 著名的哥德巴赫猜想指出：“任何大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，用反证法研究该猜想，应假设的内容是 .TOC\o"1-5"\h\z若2x2++5=a(2x+l)(x+1)+Z?恒成立，则a+b的值 .»„_D , 2,2 —>-=^a>ba>b,ab>0=>—<—己知,有四个推理：①a>bnam；②cc；③ 。Z?；④a2>b2,ab>0=>-<-ab,其中正确的序号是 不等式(“一2)'-2(。-2)尤-4<0对er恒成立，则实数"取值范围为 .- (-co,-2)1(—,+«)| 2若关于X的不等式以+版+。<°的解集为I2丿，则关于x的不等式《~bx+a>°的解集为 己知一元二次方程x2-2mx+m-i=0两实根为旳、否，且蚌+£=4,则实数，〃的值为 £l=^l=£l&“％%6，，是“不等式《亍+b}x+c}>0与％J+b2x+c2>0同解”的—条件.->09.不等式4-x 解集是已知同时满足不等式x2-x-2>°和2x2+(5+2a)x+5a<0的、的整数值只有2021个，则实数“的取值范围是丄+丄=2若三个非零且互不相等的实数gc满足。bC,则称a，b,c是调和的；若满足a+c=2b,则称。，暴是等差的.己知集合M=E-2°21C〈2021,xeZ},集合p是以的三元子集，即P={a,b,c}^M若集合p中元素以庭既是调和的，又是等差的，则称集合户为“大境集”.不同的“大境集”的个数为 .设"《R,若工>0时，均有[SWT](宀*O'。成立，则实数。的取值集合为 二、选择题(本大题满分12分，本大题共有4题)13.x>3x+y>6丁>3是I13.x>3x+y>6丁>3是I»>9成立的(A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件14.若a<b<0,则下列命题正确的是A扌*利吉喘均不成立B.-J>丄和丄>丄均不成立a-ba\a\\b\C.—>-和（。+丄）2>0+丄）2均不成立D.■［和(«+—)2>0+y)2均不成立a-baba1。丨1仞 a b15.在关于x的方程x2-ar+4=0,x2+(a-})x+\6=。和x2+2ax+3a+\0=0^^己知至少有一个方程有实数根，则实数〃的取值范围是（)A.-4<a<4B.a> <-7C.a<-2^a>4x-ay=\D.-2<a<416.设aeR.关于x，N方程组<ax+y=a对于命题：①存在s使得该方程组有无数组解；②对任意。，该方程组均有一组解，下列判断正确的是（ ）A.①和②均为真命题 B.①和②均为假命题C.①为真命题，②为假命题 D.①为假命题，②为真命题三、解答题（本大题满分52分，本大题共有S题）己知ptxeA,且厶={尤切一1viv〃+l},q:x已B,且B={x|x>3ngx<l}（1） 若Ar>B=0,A\jB=R.求实数。的值.（2） 若p是4的充分条件，求实数〃的取值范围.设关于x不等式ax-3>2x+a的解集为M.（1） 求M；（2） 若-IgM且OwM,求实数。的取值范围.某种商品原来每件售价为25元，年销售8万件.据市场调查，若价格每提高1元，销售量将相应减少2000件,要使销售的总收入不低于原收入，该商品每件定价最多为多少元？己知x,yc/T,且x+y>2,求证：土与由中至少有一个小于2.己知集合A=(x|x2-wx+4w-16}=0,B={x|l<x<4,xeN),C={x|ar+2>0),若人cB非空，且AcC=0,求m的值以及相应〃的取值范围.一、填空题（本大题满分36分，本大题共有12题）A=1.A=1.用列举法表示集合 .a\―gNZ-=5-a 【答案】（-1,2,3,4} 【分析】对整数。取值,并使/一为正整数，这样即可找到所有满足条件的〃值，从而用列举法表示出集合A.【分析】对整数。取值,5-a【详解】因为心且宀6广【详解】因为心且宀——gN所以。可以取-1,2,3,4.所以A={-1,2,3,4}故答案为：（-1,2,3,4}【点睛】考查描述法、列举法表示集合的定义，清楚Z表示整数集，属于基础题・著名的哥德巴赫猜想指出：“任何大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，用反证法研究该猜想，应假设的内容是 .【答案】存在一个大于2的偶数不可以表示为两个素数的和.【分析】从命题否定入手可解.【详解】反证法先否定命题，故答案为存在一个大于2的偶数不可以表示为两个素数的和.【点睛】本题主要考查反证法的步骤，利用反证法证明命题时，先是否定命题，结合已知条件及定理得出矛盾，从而肯定命题.若2工2+3工+5=。（2工+1）（尤+1）+»，恒成立，贝Uq+Z?的值 【答案】5【分析】根据等式恒成立，对应项的系数相等可求得结果.【详解】因为2尤2+3x+5=o（2x+l）（x+l）+»,即2x2+3x+5=2ax2+3ax+a+b^l&^L^2=2。所以，3=3。，所以a+b=5.5=a+b故答案为：5【点睛】关键点点睛：根据等式恒成立，对应项的系数相等求解是解题关键.己知a,b,cwR,有四个推理：①a>b=>am2>bnf;®->-=>a>b；③。>力,沥>0=>丄V丄；④cc abE,心七3其中正确的序号是.【答案】③【分析】根据不等式的性质或取特殊值依次讨论各选项即可得答案.【详解】对于②,对于①，当贞=（）时，显然不等式不成立，故①错误；当a=-\b=-^c=-\时，->-满足，a>b不满足，故②错误;CC对于③,由沥>0,则a—>Z?~,即丄<!，故③正确;

abab对于④,由油>。彳/同号，故当以<。时，屏等价于*〈°,故:牛故④错误.故答案为：③5.不等式（a-2）x2-2（iz-2）x-4<0对xeR恒成立，则实数〃的取值范围为【答案】（-2,2]；【分析】由题意可得。=2,不等式成立；当。一2壬0,结合二次函数的性质可得〈。一2v0A<0'进而可得结果【详解】①当a-2=0即。=2时，不等式显然成立;②当〃一2。0,欲使不等式（a-2'）^-2（a-2）x-4<0对xeR恒成立，则需满足二解之一2vov2；综合①®,则实数。的取值范围为（一2,2].故答案为：（-2,2]6.若关于x的不等式ax2+bx+c<0的解集为（f，-2）U（-;,+8）,则关于X的不等式以2-bx+a>0的解集为【答案】-,2【分析】根据不等式解集可知ov0且方程以2+弘+c=0的两根为为=-2,工2=5,结合韦达定理可得,5b=—a2c=a代入不等式求解即可.【详解】由题，因为不等式ax2+bx+c<0的解集为（-00,-2）1.（,+oo）,所以方程ax2+bx+c=0的两根为％=-2,尤2=,5b=—a2,5b=—a2c=a故答案为:P2a乒（一小所以不等式宀弘+。〉0为宀誕+。＞。，即宀§+1＜0,解得湼＜2,己知一元二次方程jc-2nvc+m-\=0的两实根为％、x”且x,2+^=4,则实数用的值为【答案】m=-~或所=1【分析】应用根与系数关系可得x.+x.=2m . 1【分析】应用根与系数关系可得皿2-1'结合己知及同+旳与矽知W的关系列方程求m的值.【详解】由x2-2mx+m-l=0的两实根为％、為.•.△=4宀4（妇）20,且广+与=2%=W—1,葛2+x；=（xj+a^）~-2x}x2=4=（2〃?）-—2（m—1）,解得m=-—或77?=1.故答案为：nt=—或所=1.“色=夺=丄是“不等式atx2+姒+q>0与a2x2+b2x+c2>0同解”的_条件.a2“2C2【答案】既不充分又不必要【分析】取％=4=。=1,“2=人2=勺=一1说明充分性不满足；举不等式x2-x+\＞0与不等式x2+x+l＞0说明必要性不满足，从而即可得答案.【详解】解：取%=4=q=1,%=力2=。2=_1,满足—=^-=—,a2所以a^+b.x+q>0即为j+x+l>0，a2x2+b2x+c2>。即为-x2-x-l>（）.两不等式的解集不同，故充分性不满足;不等式宀E＞。与不等式*z＞。的解集相同，均为R,但不满足会=普专，故必要性不满足;所以“色=#=包”是“不等式。*+姑+勺>。与a2x2+^2x+c2>0同解”的既不充分又不必要条件.a2 C2故答案为：既不充分又不必要不等式买>0的解集是4-x【答案】(-3,4)【分析】将原不等式转化为一元二次不等式求解.y1Q【详解】原不等式泛>0与不等式(x+3)(4-x)>0同解，故有-3<x<4；故答案为：(-3,4).己知m0,同时满足不等式x2-x-2>0和2x2+(5+2a)x+5a<0的工的整数值只有2021个，则实数。的取值范围是_.【答案］［-2023,-2022)【分析】解不等式得到x2-x-2>0的解集为x>2或xv—l,2x2+(5+2a)x+5a<0的解集为-~<x<-a,从而根据整数解得个数得到2022<-6/<2023,求出实数々的取值范围.2【详解】j_x_2>()解得：工>2或尤<：-1,2x2+(5+2a)x+5a<0变形为(2x+5)(工+。)v0,因为a<0,所以不等式的解集为一2其中一|<x<一1之间有1个整数解・2,要想同时满足两不等式的工的整数值只有2021个，贝0要满足2022V-。％2023,解得：-2023<«<-2022.故答案为：［-2023,-2022)II2若三个非零且互不相等的实数gc满足一+丁=一，则称a,b,c是调和的；若满足a+c=2b,则称a,b,c是abc等差的.己知集合M={x|-2021<x<2021,xgZ),集合P是M的三元子集，即P={a,b,c}^M.若集合/>中元素ci,b,c既是调和的，又是等差的，则称集合〜为“大境集”.不同的“大境集“的个数为 .【答案】1010【分析】由为“大境集”定义解方程，将。，人全用。代换，结合P={aM^M可求解.

2（2/»-c）2=（2/»-c）2=be,展开得4b2-5bc+c2=0>【详解】联立abc得a=2h_c,即 = = 【详解】联立f 2b-ccbbea+c=2b解得b=j或b=c(根据集合的互异性，舍去)，代入a+c=2b得〃=号，则p=< c(x|-2021<x<2021,xeZ},所以。为4的整数倍，且不为0,则共有哗x2=1010个不同的“大境集”的个数.4故答案为：1010设ocR,若x>0时，均有［(«-l)x-l］(x2-or-l)>0成立，则实数。的取值集含为 ,【答案】【分析】可得々VI时，不等式不恒成立，当«>1.x=——必定是方程x2-ax-\=0的一个正根，由此可求a-\出a.【详解】若a<\.vx>0,则(«-l)x-l<0,由于y=x2-ax一1的图象开口向上，则［(«-l)x-l］(x2-ar-l)>0不恒成立，由(a-\)x-\=0可解得x=—二>0,而方程x2-ax-\=0的两个实数根异号，.•.、=n必定是方程宀叶1=。的-个正根，则0一"(了*］一1=°'Qo>i‘则可解得故实数。的取值集合为］?.故答案为：-|.【点睛】本题考査不等式的恒成立问题，解题的关键是先判断a<l.再得出当”>1,x=-^—必定是方程a-］x2-ax-\=0的一个正根.二、选择题(本大题满分12分，本大题共有4题)13.x>3y>3x+y>613.x>3y>3x+y>6xy>9成立的(B.必要不充分条件A.B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】A【分析】充分性显然成立，通过反例可得必要性不成立.【详解】充分性显然成立，必要性可以举反例:x=io. 【详解】充分性显然成立，必要性可以举反例:x=io. 显然必要性不成立•故选：A14.若a<b<0,则下列命题正确的是A'A'和商〉画均不成立bK和&県均不成立C.—>一和(a+-)2C.—>一和(a+-)2>(b+-)2均不成立a-baba和(。+—)2>0+—)2均不成立

ab【答案】B【分析】由不等式的性质依次检验选项即可得解.【详解】因为ovDvO,【详解】因为ovDvO,所以同>|牛f十所以丁町A不正确;因为Z?vO,所以一。>0,所以a-b>a,又。一Z?vO，ovO,所以 <—,B正确;a-ba<0»a+-<b+—<0,所以1a+->b+-,所以fo+丄)>[b+—b abaIb)Ia)因为。vZ?vO,—<—ba2,<:不正确;因为。■—与+—的大小关系不确定，故—与Ib+—I的大小关系不确定，D不正确.综上，可知B选项正确，故选B.【点睛】本题主要考查了不等式的性质，属于中档题.15.在关于x的方程x2-ar+4=0,x2+(a-l)x+16=。和户+2彖+3口+10=0中，己知至少有一个方程有实数根，则实数〃的取值范围是(A.-4<a<4D.-2<a<4【答案】C【分析】可以釆用补集思想.三个判别式均小于0条件下取交集后再取补集即可.【详解】若方程x2-ax+4=0,x2+(a-l)x+16=0和x2+2ax+3a+l0=0都没有实数根.▲]=一16v0则‘*=(。一1)2-64<0 ,解得：_2<】<4..2=4/—4(3白+10)<0则方程x2-ar+4=0,x2+（a-l）x+16=0x2+2ar+3tz+10=0中，己知至少有一个方程有实数根.所以。〈一2或"24故选：C【点睛】本题考查了命题与命题的否定，考查补集的方法解题，属于基础题.x-ay=l设aeR,关于工,，的方程组〈 .对于命题：①存在s使得该方程组有无数组解；②对任意s该方ax+y=a程组均有一组解，下列判断正确的是（ ）A.①和②均为真命题 B.①和②均为假命题C.①为真命题，②为假命题 D.①为假命题，②为真命题【答案】D【分析】通过解方程组的知识求得正确答案.【详解】由x-ay=1得x=ay+\,则a(ay+\)+y=at(«2+l)y=0,所以y=0,,解得x=Eax=ax-ay=\所以关于的方程组〈 -有唯一解，ax+y=a所以①为假命题，②为真命题.故选：D三、解答题（本大题满分52分，本大题共有5题）己知ptxeA,且人={工切一1vxv〃+l},q;x£B,且B=|x|x>3nEx<l}（1） 若= A\JB=R，求实数。的值.（2） 若p是q的充分条件，求实数〃的取值范围.【答案】（1）2 （2）（-oo,0].44,+00）。一1=1【分析】⑴由题意结合数轴法易得册=3'得瑚=2后再检验一下，进而确定q（2）利用充要条件与集合之间的关系得到AcB,结合数轴可得a+l<l或。-123,从而得到。的取值范围.【小问1详解】因为AcB=0,A.B=R,所以由数轴法可得〈,C，解得。=2,。+1=3此时A={x\\<x<3},B={x\x>3或x《l},满足AcB=0,AjB=R,

【小问2详解】因为P是g的充分条件，所以AcB,又因为A= -Ivxvo+l｝主0,所以结合数轴可得，。+1《1或。一123,得M0或。N4,所以满足P是V的充分条件的实数。的取值范围为(-00,0］」［4,+00).设关于x的不等式ax-3>2x+a的解集为M.求M；若-IgA/且OaM,求实数。的取值范围.【答案】(1)答案不唯一，具体见解析(2)aW(2)aW-3,--【分析】(I)对〃进行分类讨论，结合一元一次不等式的解法求得(2)根据已知条件列不等式组，由此求得〃的取值范围.【小问1详解】依题意av-3>2x+。，即(a-2)x>a+3,当a=2时，不等式转化为0>5，解集为空集.当。>2时,不等式转化为“捋’即不等式的解集为a-2当。>2时,不等式转化为“捋’即不等式的解集为a-2丿不等式转化为工<，即不等式的解集为-8,白+3)a-2)'【小问2详解】由于-leM且0任M，所以-(a-2)>a+3所以-(a-2)>a+3q+320解得oc一3，一；｝某种商品原来每件售价为25元，年销售8万件.据市场调查，若价格每提高】元，销售量将相应减少2000件,要使销售的总收入不低于原收入，该商品每件定价最多为多少元？【答案】40元r_25【分析】每件定价为x元，由题意可得(8——xO.2)x>25x8,整理得x2-65x+l(XX)<0>求解即可.

丫一25【详解】解：设每件定价为x元，则提高价格后的销售量为8-— x0.2万件,r_25由销傍的总收入不低于原收入，得（8-—x0.2）x>25x8,整理得j_65x+1000<()，解得25GV40.故要使销售总收入不低于原收入，每件定价最多为