《复变函数》课程教学大纲

复变函数课程教学大纲（ComplexVariableFunction）学时数：32 其中：实验学时：0课外学时：0学分数：2适用专业：信息与计算科学一、课程的性质、目的和任务复变函数论是高等师范数学本科专业必修的学科基础课程，是数学分析的后继课。通过本课程教学，使学生正确理解和掌握复变函数的基本概念、基本理论；要求学生掌握它的理论和论证方法；熟练地获得本门课程所要求地演算能力。复变函数论地主要研究对象是解析函数，在教学上要重视介绍解析函数在流体力学、机翼理论及电学等方面的广泛应用，使学生认识复变函数论在解决实际问题的重要性；同时深刻理解本课程与中学数学有关内容的内在联系，以指导中学数学教学。二、课程教学的基本要求数与复变函数：复数，复数的四则运算；复平面，复数的几何表示，加法与减法的几何意义；复数的模与幅角，关于模与幅角的定理；复数积的几何定义；复数的乘幂与方根，共轭复数；曲线的复数方程。对平面的点集的几个基本概念：点的邻域，区域，单连通区域等几个重要概念有清晰的认识。对与数学分析中平行的概念：复函数的极限，连续性概念能分清异同点，强调共同点。解析函数：掌握解析函数有关概念及几何定义；条件（可微必要条件），解析函数简单性质。理解初等解析函数：指数函数、三角函数与双曲函数的定义与基本性质。理解幂函数映射性质及单叶性区域；根式函数的单值解析分支。复变函数的积分：弄清复变函数积分的概念，基本性质及其计算方法。理解Cauchy积分定理的Goursat证明。掌握Cauchy积分公式及其推论。掌握解析函数的无穷可微性（当n=1时）的证明。对Cauchy不等式，Liouville定理，代数学基本定理，Morera定理有较深刻理解。较全面总结解析函数的主要条件及等价定义。解析函数的幂级数表示法：理解复级数的基本性质：复数项级数收敛与发散，收敛于的充要条件，Cauchy收敛准则，绝对收敛与条件收敛。掌握复变函数项级数一致收敛定义，及判定一致收敛的柯西准则，优级数准则，并深刻理解一致收敛级数的和函数的解析性质。对复变函数项级数的特殊情况——幂级数应能熟练地求收敛半径、收敛圆，研究幂级数和函数解析性。能熟练地将一个解析函数展开为Tayler展式（一些初等函数地幂级数展式）。使学生认识到幂级数是研究解析函数地一个重要工具：其中零点地孤立性，唯一性定理，最大模定理，这些解析函数地重要性质均是幂级数来研究。解析函数地罗朗展式与孤立奇点：理解双边幂级数的概念及其性质。能熟练地将一个在圆环内解析地函数展为Laurent级数。能熟练地利用罗朗级数对解析函数的孤立奇点进行分类。深刻理解Tayler级数与罗朗级数的关系。用罗朗级数研究解析函数在无穷点的性质。残数理论及其应用：掌握残数的定义、定理、求法，且熟练地利用残数定理计算围线积分。熟练地利用残数定理计算定积分。理解幅角原理及其应用。保形变换：理解解析变换地保域性、保角性、保形性地特性。熟悉线性变换及其分解，掌握某些线性变换的保形性，保交比性，保圆周性，保对称点性。认识某些初等函数构成的变换的保形性。掌握线性的一些实际应用。解析开拓：理解解析开拓的有关概念。掌握幂级数的解析开拓方法。理解透弧开拓及对称原理。了解完全解析函数及黎曼面等概念。调和函数：理解调和函数与解析函数两概念之间的关系。深刻理解调和函数与解析函数类似的性质，分清异同点。掌握平均值定理与极值原理。了解单位圆内和上半平面内狄利克莱（Dirichlet）问题解。三、课程的教学内容、重点和难点第一章复数与复变函数复数复平面上的点集复变函数重点：复数的模与幅角，复数的乘幂和方根，共轭复数；复函数的极限、连续性与数学分析中不同处理方法。难点：复函数的极限、连续性与数学分析中不同处理方法。第二章解析函数解析函数的概念与柯西黎曼条件初等解析函数重点：复变函数的导数与微分，解析函数及其简单性质.难点：柯西黎曼条件，具有多个有限支点初等多值解析函数.第三章复变函数的积分复积分的概念及其简单性质柯西积分定理柯西积分公式及其推论重点：柯西积分定理、柯西积分公式；柯西积分定理的古莎证明。难点：柯西积分定理、柯西积分公式；第四章解析函数的幂级数表示法复级数基本性质幂级数解析函数的泰勒展式重点：幂级数的敛散性，收敛半径的求法，泰勒定理.难点：幂级数的和函数在其收敛圆周上的状况，解析函数零点的孤立性及唯一性。第五章解析函数的罗朗展式与孤立奇点解析函数的罗朗展式解析函数的孤立奇点重点：阿贝尔定理、泰勒定理、洛朗定理。难点：洛朗定理第六章残数理论及应用残数用残数计算实积分重点：留数的应用以及利用留数求闭路积分的方法。难点：对数留数与辐角原理。四、课程各教学环节要求本课程以课堂教学为主，其中讲授45学时，讨论1学时，其他环节2学时，并且精简课时后带*符号的内容一般指导学生自学。讲课过程中多举一些例子，将习题课含在讲课中。五、学时分配章节主要内容各教学环节学时分配作业题量备注讲授实习讨论习题课外其它小计一复数与复变函数335二解析函数445三复变函数的积分665四解析函数的幂级数表示法669五解析函数的罗朗展式与孤立奇点669六残数理论及其应用6179合计3113258六、教材与其它课程的联系复变函数论是高等数学教育本科专业的必修的学科基础课程，是数学分析的后继课，在流体力学、机翼理论及电学中有广泛的应用。七、教材与教学参考