2018年广州二模文科数学(含详细答案)

2018年广州二模文科数学(含详细答案)秘密★启用前2018年广州市普通高中毕业班综合测试（二）文科数学本试卷共23小题，满分150分，考试用时120分钟。注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上，并用2B铅笔在答题卡的相应位置填涂考生号。2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。写在本试卷上无效。3.作答填空题和解答题时，必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。4.考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合$M=\{-1,0,1,2\}$，$N=\{x|x<1$或$x>1\}$，则$N$中的元素个数为A.1B.2C.3D.42.输入$x^2$。若$a$为实数，且$(1+ai)(a-i)=2$，则$a=$A.$-1$B.$i$C.$1$D.$2$3.执行如图的程序框图，若输出$y=\log_2(3)-1$或$2$，则输入$x$的值为[图片]A.$2$B.$3-\sqrt{2}$C.$1-\log_2(3)$D.$2/3$4.若双曲线$C:\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1(a>0,b>0)$的一条渐近线方程为$y=2x$，则$C$的离心率为A.$6$B.$5$C.$2\sqrt{5}$D.$2\sqrt{6}$5.根据下图给出的2000年至2016年我国实际利用外资情况，以下结论正确的是[图片]实际利用外资规模实际利用外资同比增速A.2000年以来我国实际利用外资规模与年份负相关B.2010年以来我国实际利用外资规模逐年增大C.2008年我国实际利用外资同比增速最大D.2010年我国实际利用外资同比增速最大6.已知命题$p:\forallx\in\mathbb{R},x+x-1>0$；命题$q:\existsx\in\mathbb{R},2<x<3$，则下列命题中为真命题的是A.$p\landq$B.$p\lor(\negq)$C.$(\negp)\lorq$D.$(\negp)\land(\negq)$7.设$x,y$满足约束条件$\begin{cases}-1\leqx\leq1\\x^2+y^2\leq9\end{cases}$，则$z=3x-y$的取值范围是A.$[-12,6]$B.$[-6,6]$C.$[-3,3]$D.$[-2,2]$二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分．8.设$f(x)=\begin{cases}x^2-2x+2&x\leq1\\ax+b&x>1\end{cases}$，若$f(x)$在$x=1$处连续，则$a=$\underline{\hphantom{~~~~~~~~~~}}，$b=$\underline{\hphantom{~~~~~~~~~~}}。9.设函数$f(x)=\dfrac{2x^2-5x+3}{x-1}$，则$f(x)-3=$\underline{\hphantom{~~~~~~~~~~}}。10.已知$\sinA+\sinB=2\cosC$，$\cosA+\cosB=2\sinC$，则$\sin(A-B)=$\underline{\hphantom{~~~~~~~~~~}}。11.设$x_1,x_2$是方程$x^2-2x-3=0$的两根，则$\dfrac{1}{x_1}+\dfrac{1}{x_2}=$\underline{\hphantom{~~~~~~~~~~}}。12.已知$a,b$是正整数，$a>b$，若$\dfrac{a^2+b^2}{a-b}$是整数，则$\dfrac{a^2+b^2}{a-b}$的最小值为\underline{\hphantom{~~~~~~~~~~}}。13.设$f(x)=\dfrac{\sqrt{1-x}+\sqrt{1+x}}{x}$，则$f'(x)=$\underline{\hphantom{~~~~~~~~~~}}。三、解答题：共5小题，共60分。14.（10分）已知函数$f(x)=\dfrac{x^2-4x+3}{x-2}$，求$f(x)$的值域。15.（12分）已知$f(x)=\dfrac{2x^2-5x+3}{x-1}$，$g(x)=\dfrac{ax+b}{x-1}$，且$f(x)-g(x)$在$x=2$处有极限，求$a,b$的值。16.（12分）已知$\triangleABC$中，$AB=AC$，$D$是$BC$的中点，$E$是$AB$上一点，且$BE=AC$，$DE$交$AC$于点$F$，则$\triangleBDF\cong\triangleCEF$，证明：$\angleCED=\angleBFD$。17.（12分）已知函数$f(x)=\dfrac{2x^2-3x+1}{x^2+1}$，$g(x)$满足$g(x+1)-g(x)=f(x)$，且$g(0)=0$，求$g(x)$。18.（14分）已知函数$f(x)$在$\mathbb{R}$上具有二阶导数，$f(1)=f'(1)=0$，$f''(x)>0$，求证：对于任意$x>1$，都有$f(x)>0$。答案：一、选择题：1-5：CDCDD6-7：AC二、填空题：8.$a=-1$，$b=4$9.$\dfrac{2x-3}{x-1}$10.$\sqrt{2}$11.$-\dfrac{3}{2}$12.$10$13.$\dfrac{x^2-1}{x^2\sqrt{1-x^2}}$三、解答题：14.$y\in(-\infty,-1)\cup(1,+\infty)$15.$a=2$，$b=1$16.连接$DE$，$BF$，$CF$，证明$\triangleAEF\cong\triangleACD$，然后证明$\triangleBDF\sim\triangleCEF$，最后证明$\angleCED=\angleBFD$。17.$g(x)=\arctanx-x+\dfrac{1}{2}\ln(x^2+1)$18.由$f''(x)>0$可知$f'(x)$在$x=1$处单调递增，由$f(1)=f'(1)=0$可知$f(x)$在$x=1$处取得极小值$0$。由此可知，对于任意$x>1$，都有$f(x)>f(1)=0$，即$f(x)>0$。22.已知平面直角坐标系上，直线L的方程为y=x+1，点P的坐标为(3,4)，直线L与x轴、y轴的交点分别为A、B。设点M在线段AB上，且PM垂直于x轴，则点M的坐标为(2,1)，直线PM的斜率为-3/2。17.(1)由正弦定理，有b/sinB=c/sinC，代入bsin2A=asinB得到sin2A=a/c。再由正弦定理得到sinA/a=sinB/b=sinC/c，代入sin2A=a/c得到sin2A=sinAsinC，即sinA(1-sinA)=sinC(1-sinC)。解得sinA=1/2，即A=30°。(2)根据正弦定理，有a/sinA=b/sinB=c/sinC，代入a=2，面积为3得到b=√3，c=2√3。故周长为a+b+c=2+√3+2√3=2+3√3。18.(1)甲药厂的样本中位数为14.2，乙药厂的样本中位数为16.3，因此A药店应选择甲药厂购买中药材。(2)根据样本数据，A药店购买的100件中药材的总质量的估计值为样本中位数×10×10=1500克。设a件中药材的质量在(15,20]之间，则购买100-a件中药材的质量在(0,15]或(20,50]之间。设前者为x克，后者为y克，则有15x+50y≤70000，且x+y=a。代入a=100得到y≤(70000-1500)/35=1928.57，因此最大值为1928件。19.(1)连接AC和A1C1，由于M、N分别是AB1和BC的中点，因此MN∥AC且MN=1/2AC。又因为AB1C1是直三棱柱，所以MN∥平面AAC1C，即MN∥平面ABC。(2)由勾股定理得到AA1=√5，由MN∥平面ABC得到MN∥平面AA1C1，因此棱锥C1-AMN的高等于点A1到平面MN所在的高度，即A1P的长度。设A1P=h，则由勾股定理得到h^2+1=(h+√5/2)^2，解得h=√5/4，因此棱锥C1-AMN的高为√5/4。20.(1)由椭圆的定义得到椭圆C的方程为x^2/16+y^2/b^2=1，其中b^2=16-4=12，因此方程为x^2/16+y^2/12=1。(2)设M、N的坐标分别为(x1,y1)、(x2,y2)，则由题意得到(x1+x2)/2=k(x1+x2)/2+32，解得k=(y1+y2-64)/(x1+x2)。又因为M、N都在椭圆上，因此有x1^2/16+y1^2/12=1，x2^2/16+y2^2/12=1。将k代入直线方程得到y=kx+32，联立椭圆方程和直线方程得到关于x1、x2的二次方程，解得x1+x2=16/3，因此P的坐标为(8/3,k8/3+32)。由OP∥FM得到k=(y1+y2)/(x1+x2-4)，代入x1+x2=16/3得到k=3/2，因此直线l的方程为y=3x/2+32。21.(1)f(x)的导数为f'(x)=a-1/x，令其为0得到x=1/a，此时f''(x)=1/x^2>0，因此x=1/a是f(x)的极小值点。要使f(x)的极小值不大于k对任意a>0成立，即要求f(1/a)≤k对任意a>0成立。代入f(1/a)=a(1-1/a)-lna得到1-a-lna≤ka，解得k≥1-lna/a，因此k的取值范围为(-∞,1]。(2)由数学归纳法可证明1+1/2+1/3+...+1/n<1+lnn，因此有1+1/2+1/3+...+1/23<1+ln23<3，即(1+1/2)(1+1/4)(1+1/9)...(1+1/529)<e^2。因此题中的不等式成立。（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分。22.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系$xOy$中，直线$l$的参数方程为：$$\begin{cases}x=1-t,\\y=\dfrac{3}{2}t,\end{cases}$$其中$t$为参数。以坐标原点为极点，以$x$轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线$C$的极坐标方程为$\rho^2=\dfrac{a}{1+2\sin^2\theta}$（$a>0$）。(1)求$l$的普通方程和$C$的直角坐标方程；(2)若$l$与$C$相交于$A$、$B$两点，且$AB=\dfrac{\sqrt{10}}{2}$，求$a$的值。23.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知函数$f(x)=2x+1+2x^{-1}$，不等式$f(x)\leq2$的解集为$M$。(1)求$M$；(2)证明：当$a,b\inM$时，$a+b+a-b\leq1$。参考答案中没有明显的格式错误和有问题的段落，因此不做修改。19.题目要求证明连接A1B,A1C,点M是AB的中点，且MN//AC。因为N是BC的中点，所以MN//AC。又因为A1C包含在平面AAC1中，MN与平面AAC1垂直，所以MN//平面AAC1。因此，证明得证。连接BN，由于AB=AC=1，点N是BC的中点，则AN垂直于BC。在直三棱柱ABC-A1B1C1中，平面ABC垂直于平面BBC1，且∠BAC=90°，所以AN=BC，AN在平面ABC中。又BN在平面BBC1中，所以AN垂直于BN。根据勾股定理可得BC=√3/2，BN=1/2，因此S△B1C1N=2，S△AB1N=√3/4。根据题意，点C1到平面AMN的距离与它到平面AB1N的距离相等，设为h。在△BB1N中，BB1=√3/2，BN=1/2，根据勾股定理可得B1N=√7/2。根据向量叉乘的性质可得h=2√3/7。20.(1)根据题意可得，椭圆C的右焦点为F(2,0)，因此c=2。又因为短轴长为4，所以2b=4，得b=2。代入椭圆的标准方程可得椭圆C的方程为x^2/8+y^2/4=1。(2)设点M(x1,y1),N(x2,y2)，则直线MN的斜率为k=(y2-y1)/(x2-x1)，且过点M的直线为y=kx+3/2。将MN带入椭圆方程可得(x1^2/8+y1^2/4)+(x2^2/8+y2^2/4)=1。将y=kx+3/2代入方程中，消去y得到(1+2k^2)x^2+12kx+28=0。因为点P是MN的中点，所以x=(x1+x2)/2，y=(y1+y2)/2。又因为OP平行于FM，所以k=-(x-2)/(2y+3)。将k带入直线FM的方程可得y=-1/2(x-2)/k+3/2。联立解方程可得x=-(6-2k^2)/(1+2k^2)，y=32/(2k+1)。因此，点P的坐标为(-(6-2k^2)/(1+2k^2),32/(2k+1))。(1)解：函数$f(x)$的定义域为$(0,+\infty)$。由$f(x)=a(x-1)-\lnx$，得$f'(x)=a-\frac{1}{x}$。当$a>0$时，令$f'(x)=0$，得$x=\frac{1}{a}$。则当$x\in(0,\frac{1}{a})$时，$f(x)<f(\frac{1}{a})$，当$x\in(\frac{1}{a},+\infty)$时，$f(x)>f(\frac{1}{a})$。故函数$f(x)$在$(0,\frac{1}{a})$单调递减，在$(\frac{1}{a},+\infty)$单调递增。当$x=\frac{1}{a}$时，函数$f(x)$取得极小值，其值为$f(\frac{1}{a})=1-a+\lna$。令$g(a)=1-a+\lna(a>0)$，则$g'(a)=-\frac{1}{a}$。当$0<a<1$时，$g'(a)>0$，当$a>1$时，$g'(a)<0$。故$g(a)$在$(0,1)$上单调递增，在$(1,+\infty)$上单调递减。因为函数$f(x)$的极小值不大于$k$对于任意$a>0$恒成立，则$k\geqg(1)=0$。所以，$k$取值范围为$[0,+\infty)$。(2)令$h(x)=\ln(1+x)-x$，则$h'(x)=\frac{1}{1+x}-1=-\frac{x}{1+x}$。所以当$x>0$时，$h(x)$在$(0,+\infty)$上单调递减。故当$x>0$时，$h(x)<h(0)=0$，即$\ln(1+x)<x$。对于任意$n\in\mathbb{N}$，令$x=\frac{1}{n}$，则$\ln(1+\frac{1}{n})<\frac{1}{n}$。两边同时取$n$的连乘积，得到$\ln(1+\frac{1}{n})+\ln(1+\frac{1}{2})+\cdots+\ln(1+\frac{1}{n})<1+\frac{1}{2}+\cdots+\frac{1}{n}<1+\int_{1}^{n}\frac{1}{x}\mathrm{d}x=1+\lnn$。因此，$\ln(1+\frac{1}{n})+\ln(1+\frac{1}{2})+\cdots+\ln(1+\frac{1}{n})<e$。(3)解：设椭圆的长轴为$2a$，短轴为$2b$，则由题意得到方程$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$。由于椭圆的中心在第二象限，设中心坐标为$(0,-c)$，则$c^2=a^2-b^2$。又因为椭圆上的点到直线$y=2x+3$的距离为$\frac{|2x-y+3|}{\sqrt{5}}$，因此，椭圆上的点满足$\frac{(y+c)^2}{b^2}+\frac{x^2}{a^2}=1$且$\frac{|2x-y