广东省东莞市第六高级中学高三数学文联考试卷含解析

广东省东莞市第六高级中学高三数学文联考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.若一个三位数的十位数字比个位数字和百位数字都大，则称这个数为“伞数”，现从0，1，2，3，4，5，6这七个数字中任取3个数，组成无重复数字的三位数，其中“伞数”有(

)A、105个

B、70个C、55个

D、40个参考答案：C5.总体编号为01，02，…19，20的20个个体组成。利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法是从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第5个个体的编号为A.08

B.07

C.02

D.01参考答案：D3.已知函数，若存在，且，使成立，则以下对实数、的描述正确的是（

）A.

B.

C.

D.参考答案：A4.如图，在正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1=2，AB=BC=1，动点P、Q分别在线段C1D、AC上，则线段PQ长度的最小值时（）A． B． C． D．参考答案：C【考点】空间向量的夹角与距离求解公式．【分析】设，，（λ，μ∈）．可得=（0，λ，2λ），=+μ=（1﹣μ，μ，0）．利用向量模的计算公式可得=|（1﹣μ，μ﹣λ，﹣2λ）|=，再利用实数的性质、二次函数的单调性即可得出．【解答】解：设，，（λ，μ∈）．∴=（0，λ，2λ），=+μ=（1，0，0）+μ（﹣1，1，0）=（1﹣μ，μ，0）．∴=|（1﹣μ，μ﹣λ，﹣2λ）|===，当且仅当，，即λ=，时取等号．∴线段PQ长度的最小值为．故选：C．5.已知定义在上的函数满足，且，，若有穷数列（）的前项和等于，则等于(

)A．4

B．5

C．6

D．7参考答案：B，因为，所以，即函数单调递减，所以.又，即，即，解得（舍去）或.所以，即数列为首项为，公比的等比数列，所以，由得，解得，选B.6.若抛物线的焦点坐标为，则抛物线的标准方程是

（

）．A.

B.

C.

D.参考答案：C略7.已知向量，若，则实数的值为A．

B．

C．

D．参考答案：D8.某种商品一年内每件出厂价在7千元的基础上，按月呈的模型波动（为月份），已知3月份达到最高价9千元，7月份价格最低为5千元，根据以上条件可确定的解析式为(

)A.

Ks5u

B.C.

D.参考答案：D略9.已知函数是定义在R上的奇函数，且当时不等式成立，若，

，则的大小关系是A．

B．

C．

D．参考答案：C10.已知条件，条件，则是成立的(

)

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既非充分也非必要条件参考答案：B略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.

过半径为2的球O表面上一点A作球O的截面，若OA与该截面所成的角是60°则该截面的面积是

参考答案：答案:π12.设等差数列的前项和为，，，则的最大值是

.参考答案：答案：4．解析：由题意，，即，，．这是加了包装的线性规划，有意思．建立平面直角坐标系，画出可行域（图略），画出目标函数即直线，由图知，当直线过可行域内点时截距最大，此时目标函数取最大值．本题明为数列，实为线性规划，着力考查了转化化归和数形结合思想．掌握线性规划问题＂画－移－求－答＂四步曲，理解线性规划解题程序的实质是根本．这是本题的命题意图．因约束条件只有两个，本题也可走不等式路线．设，由解得，∴，由不等式的性质得：

，即，的最大值是4．从解题效率来看，不等式路线为佳，尽管命题者的意图为线性规划路线．本题解题策略的选择至关重要．点评：（1）二项式定理，直线和圆的方程，正四棱柱，数列几个知识点均为前两年未考点．（2）无多选压轴题．无开放性压轴题．易入手，考不好考生只能怪自已．题出得基础，出得好，出得妙．尤其是第16题．13.已知定义在上的函数，满足，若时，，则

▲

．参考答案：14.复数z=1+i，且（a∈R）是纯虚数，则实数a的值为

．参考答案：1【考点】复数代数形式的乘除运算；复数的基本概念．【专题】数系的扩充和复数．【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简，然后由实部等于0且虚部不等于得答案．【解答】解：∵z=1+i，由=是纯虚数，得，解得：a=1．【点评】本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题．15.在一个密封的容积为1的透明正方体容器内装有部分液体，如果任意转动该正方体，液面的形状都不可能是三角形，那么液体体积的取值范围是

．参考答案：16.不等式的解集是参考答案：（1，2）17.已知函数是奇函数，若函数f（x）在区间[﹣1，a﹣2]上单调递增，则实数a的取值范围是．参考答案：（1，3]【考点】函数奇偶性的性质．【专题】函数的性质及应用．【分析】根据函数f（x）是奇函数，求出m，然后根据函数表达式，求出函数的单调递增区间，即可求a的取值范围．【解答】解：∵函数f（x）是奇函数，∴当x＞0时，﹣x＜0，满足f（﹣x）=﹣f（x），即x2﹣mx=﹣（﹣x2+2x）=﹣x2﹣2x，解得m=2．∴f（x）=，作出函数f（x）的图象，由图象可知函数f（x）在[﹣1，1]上单调递增．若函数f（x）在区间[﹣1，a﹣2]上单调递增，则﹣1＜a﹣2≤1，即1＜a≤3．故答案为：（1，3]．【点评】本题主要考查函数奇偶性的应用，以及函数单调性的判断，利用数形结合是解决本题的关键．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.设数列的前项和为，，且对任意正整数，点都在直线上.（1）求数列的通项公式；（2）若，数列的前项和为，求证：.参考答案：解：（1）因为点，在直线上，所以，当时，，两式相减得，即，，又当时，，，所以是首项，公比的等比数列，数列的通项公式为.（2）证明：由（1）知，，则，.两式相减得∵，∴.19.设θ为第二象限角，若

，则=_________.参考答案：20.已知函数，其中，且曲线在点处的切线垂直于直线（1）求a的值；

（2）求函数f(x)的单调区间及极值．参考答案：（1）对求导得，…………..2分

由在点处的切线垂直于直线，知，

解得，所以，的值为．………….5分（2）由（1）知，则，…….7分

令，解得或，因不在的定义域(0,+∞)内，故舍去．

当时，，故在(0,5)内为减函数；

当时，，故在(5,+∞)内为增函数．

由此知函数在时取得极小值综上得，的递增区间为(5,+∞)，递减区间为(0,5)，极小值为，无极大值．…12分21.如图所示，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为平行四边形，PA⊥AD，PA⊥AB，AB=AD，AC与BD交于点O．（Ⅰ）求证：平面PAC⊥平面PBD；（Ⅱ）直线PD与过直线AC的平面α平行，平面α与棱PB交于点M，指明点M的位置，并证明．参考答案：【考点】平面与平面垂直的判定．【分析】（I）根据线面垂直的判断定理可得PA⊥底面ABCD，即可得到PA⊥BD，得到BD⊥AC，故BD⊥平面PAC，于是平面PBD⊥平面PAC；（Ⅱ）点M是棱PB的中点，根据线面平行的性质，即可求出PD∥OM，即可得到M为PB的中点．【解答】证明（Ⅰ）：∵PA⊥AB，PA⊥AD，∴PA⊥面ABCD∴PA⊥BD又已知ABCD为平行四边形，且AB=AD，∴四边形ABCD为菱形，∴BD⊥AC，∴BD⊥平面PAC又BD?平面PBD，∴平面PBD⊥平面PAC；（Ⅱ）点M是棱PB的中点，证明：如图，连接MA，MC，MO，∵PD∥平面MAC，平面PDB∩平面MAC=OM，PD?平面PDB∴PD∥OM又∵点O为BD的中点，∴点M为PB的中点．【点评】本题考查了面面垂直的判定以及线面平行的性质，属于中档题．22.某“双一流”大学专业奖学金是以所学专业各科考试成绩作为评选依据，分为专业一等奖学金、专业二等奖学金及专业三等奖学金，且专业奖学金每个学生一年最多只能获得一次。图(1)是统计了该校2018年500名学生周课外平均学习时间频率分布直方图，图(2)是这500名学生在2018年周课外