河北省秦皇岛市卢龙县燕河营镇花台中学2021-2022学年高二数学理模拟试卷含解析

河北省秦皇岛市卢龙县燕河营镇花台中学2021-2022学年高二数学理模拟试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知等比数列{an}中，a3=4，a4a6=32，则的值为（）A．2 B．4 C．8 D．16参考答案：A【考点】等比数列的性质．【分析】设等比数列{an}的公比为q，由题意和等比数列的性质化简已知的式子，求出q4的值后，再由等比数列的性质化简所求的式子并求值．【解答】解：设等比数列{an}的公比为q，∵a3=4，a4a6=32，∴，化简得，q4=2，∴==q4=2，故选A．2.若P(2，－1)为圆(θ为参数且0≤θ<2π)的弦的中点，则该弦所在的直线方程为()．A．x－y－3＝0

B．x＋2y＝5

C．x＋y－1＝0

D．2x－y－5＝0参考答案：A略3.数列{an}的通项公式是an＝，其前n项和Sn＝，则项数n=A．13

B．10

C．9

D．6参考答案：D略4.连掷两次骰子得到的点数分别为和，记向量与向量的夹角为，则的概率是（

）A．

B．

C．

D．参考答案：C略5.已知x，y取值如下表：x014568y1.31.85.66.17.49.3从所得的散点图分析可知：y与x线性相关，且＝0.95x＋a，则a＝()．A．1.30

B．1.45 C．1.65 D．1.80参考答案：D6.已知x，y的取值如下表所示：x234y645如果y与x呈线性相关，且线性回归方程为，则b=（）A． B． C． D．参考答案：A【考点】线性回归方程．【专题】计算题．【分析】估计条件中所给的三组数据，求出样本中心点，因为所给的回归方程只有b需要求出，利用待定系数法求出b的值，得到结果．【解答】解：∵线性回归方程为，又∵线性回归方程过样本中心点，，∴回归方程过点（3，5）∴5=3b+，∴b=﹣故选A．【点评】本题考查线性回归方程，考查样本中心点满足回归方程，考查待定系数法求字母系数，是一个基础题，这种题目一旦出现是一个必得分题目．7.直线必过定点（

）． A． B． C． D．参考答案：A解：，当时，，直线过定点，故选．

4．若直线与直线平行，则（

）． A． B． C． D．【答案】B【解析】解：两直线平行，则．即．故选．8.已知实数x，y满足不等式组，则z=3x﹣y的最大值为（）A．1 B．﹣ C．﹣2 D．不存在参考答案：C【考点】简单线性规划．【分析】首先画出平面区域，利用目标函数的几何意义求最大值．【解答】解：不等式组表示的平面区域如图：目标函数z=3x﹣y变形为y=3x﹣z，此直线在y轴截距最小时，z最大，由区域可知，直线经过图中A（0，2）时，z取最大值为﹣2；故选C9.对于函教,以下选项正确的是(

)A.1是极大值点 B.有1个极小值 C.1是极小值点 D.有2个极大值参考答案：A【分析】求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的极值点,再逐项判断即可．【详解】当当，故1是极大值点,且函数有两个极小值点故选：A【点睛】本题考查了函数的单调性、极值问题，考查导数的应用，是一道基础题．10.等腰△ABC底角B的正弦与余弦的和为，则它的顶角是（）A．30°或150° B．15°或75° C．30° D．15°参考答案：A【分析】根据题意知sinB+cosB=，再两边平方得出sin2B的值，进而由诱导公式可知sinA=sin（180°﹣2B）=sin2B，即可得出结果．【解答】解：由题意：sinB+cosB=．两边平方得sin2B=，设顶角为A，则A=180°﹣2B．∴sinA=sin（180°﹣2B）=sin2B=，∴A=30°或150°．故选：A．【点评】此题考查了同角三角函数的基本关系，解题过程要注意三角形中角的范围，属于中档题．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.在平面直角坐标系xOy中，F是椭圆（a＞b＞0）的左焦点，点P在椭圆上，直线PF与以OF为直径的圆相交于点M（异于点F），若点M为PF的中点，且直线PF的斜率为，则椭圆的离心率为

．参考答案：﹣1

【考点】椭圆的简单性质．【分析】由C为OF的中点，则OM为△FOP的中位线，丨OP丨=2丨OM丨=c，∠PFO=60°，△FPO为等边三角形，边长为c，P（﹣c，c），代入椭圆方程：+=1，由b2=a2﹣c2，e=，0＜e＜1，即可求得椭圆的离心率．【解答】解：由题意可知：C为OF的中点，则OM为△FOP的中位线，丨OP丨=2丨OM丨=2丨OC丨=丨OF丨=c，且直线PF的斜率为，则∠PFO=60°，∴△FPO为等边三角形，边长为c，则P（﹣c，c），代入椭圆方程：+=1，由b2=a2﹣c2，e=，则e4﹣8e2+4=0，解得：e2=4±2，由0＜e＜1，解得：e=﹣1，椭圆的离心率﹣1，故答案为：﹣1．【点评】本题考查椭圆的标准方程及简单几何性质，三角形中位线的性质，考查数形结合思想，属于中档题．12.不等式的解集是

.参考答案：13.设m为正整数，展开式的二项式系数的最大值为展开式的二项式系数的最大值为b，若，则m=______．参考答案：7【分析】展开式中二项式系数的最大值，展开式中二项式系数的最大值，再根据且为正整数，解出的值．【详解】解：展开式中二项式系数的最大值为，展开式中二项式系数的最大值为，因所以即：解得：【点睛】本题考查了二项式定理及二项式系数最大值的问题，解题的关键是要能准确计算出二项式系数的最大值．14.某企业共有职工627人，总裁为了了解下属某部门对本企业职工的服务情况，决定抽取10%的职工进行问卷调查，如果采用系统抽样方法抽取这一样本，则应分成

段抽取．参考答案：62【考点】系统抽样方法．【专题】集合思想；做商法；概率与统计．【分析】根据系统抽样的定义进行求解即可．【解答】解：由于抽取10%，即抽取比例为10：1，则每10人一组，∵627÷10=62+7，∴应该分成62段，故答案为：62；【点评】本题主要考查系统抽样的应用，比较基础．15.经过点M(–2，m)、N(m，4)的直线的斜率等于1，则m的值为__________．参考答案：116.某学校高一、高二、高三年级的学生人数之比为，现用分层抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为50的样本，则应从高二年级抽取

名学生．参考答案：1517.三直线相交于一点，则的值是

参考答案：略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本小题满分12分）扇形中，半径°，在的延长线上有一动点，过点作与半圆弧相切于点，且与过点所作的的垂线交于点，此时显然有CO=CD，DB=DE，问当OC多长时，直角梯形面积最小，并求出这个最小值。参考答案：解：设，则所以面积

令得（取正值）在区间上，当时，当时所以故当OC的长为时，直角梯形OCDB的面积最小，且最小值为略19.(本小题满分12分)如图,在长方体中,,为中点.(1)求证:；(2)若,求二面角的余弦值；(3)在棱上是否存在一点,使得平面?若存在,求的长;若不存在,说明理由.参考答案：(1)以点A为原点建立空间直角坐标系,设,则,故（3）假设在棱上存在一点,使得平面,则设平面的法向量为,则有,取,可得,要使平面,只要，即,又平面,存在点使平面,此时.20.数列{an}是公比为的等比数列，且1﹣a2是a1与1+a3的等比中项，前n项和为Sn；数列{bn}是等比数列，b1=8，其前n项和为Tn，满足Tn=nλbn+1（λ为常数，且λ≠1）．（1）求数列{an}的通项公式及λ的值；（2）比较与的大小并说明理由．参考答案：【考点】数列的求和．【分析】（1）根据1﹣a2是a1与1+a3的等比中项，建立关于a1的方程，解出a1=，从而得出数列{an}的通项公式．再由Tn=nλ?bn+1分别取n=1、2，建立关于{bn}的公差d与λ的方程组，解之即可得到实数λ的值；（2）由（1）的结论，利用等比数列的求和公式算出Sn的表达式，从而得到由等差数列的通项与求和公式算出{bn}的前n项和Tn=4n2+4n，利用裂项求和的方法算出，再将两式加以比较，即可得到与所求的大小关系．【解答】解：（1）∵，而{an}是公比为的等比数列，∴，解得，．又由Tn=nλbn+1，∴，于是，∴或（舍去）．∴．（2）已知，，，，从而．21.已知数列{an}的前n项和为Sn,且．（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）若，求数列{bn}的前n项和Tn．参考答案：（Ⅰ）（Ⅱ）【分析】（Ⅰ）利用数列的递推关系式求出数列是等比数列，然后求数列的通项公式；（Ⅱ）化简，利用错位相减法求解数列的和，即可得到结果．【详解】（Ⅰ）当时，，得，当时，，得，∴数列是公比为的等比数列，∴．（Ⅱ）由（Ⅰ）得：，又①∴②两式相减得：，故，∴．【点睛】本题主要考查了等比数列的概念，以及数列的求和，属于高考中常考知识点，难度不大；常见的数列求和的方法有公式法即等差等比数列求和公式，分组求和类似于，其中和分别为特殊数列，裂项相消法类似于，错位相减法类似于，其中为等差数列，为等比数列等.22.在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（t为参数），以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为．（1）求C和l的直角坐标方程；（2）求C上的点到l距离的最小值．参考答案：（1）；；（2）【分析】（1）利用代入消元法，可求得的直角坐标方程；根据极坐标与直角坐标互化原则可得的直角坐标方程；（