湖南省株洲市城东乡中学2022-2023学年高三数学文联考试题含解析

湖南省株洲市城东乡中学2022-2023学年高三数学文联考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知函数是奇函数，当时，则的值等于（

）A．

C．

D．-参考答案：D2.展开式中不含项的系数的和为

A.

B.0

C.1

D.2参考答案：B3.设复数z满足，z在复平面内对应的点为(x，y)，则（

）A. B.C. D.参考答案：C【分析】由在复平面内对应的点为，可得，然后根据复数模长的概念即可得解.【详解】∵在复平面内对应的点为，∴，，∴，即.故选：C.【点睛】本题考查复数的模、复数的几何意义，正确理解复数的几何意义是解题关键，属于基础题.4.某学校2014-2015学年高一、2014-2015学年高二、2015届高三年级的学生人数分别为900、900、1200人，现用分层抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为50的样本，则应从2015届高三年级抽取的学生人数为(

) A．15 B．20 C．25 D．30参考答案：B考点：分层抽样方法．专题：概率与统计．分析：根据分层抽样的定义即可得到结论．解答： 解：三个年级的学生人数比例为3：3：4，按分层抽样方法，在2015届高三年级应该抽取人数为人，故选：B．点评：本题主要考查分层抽样的应用，根据条件确定抽取比例是解决本题的关键，比较基础．5.命题“”的否定为

A．

B．

C．

D．参考答案：B6.（5分）如图，在△ABC中，，P是BN上的一点，若，则实数m的值为（）A．B．C．1D．3参考答案：A∵，∴设=λ，（λ＞0）得=+∴m=且=，解之得λ=8，m=故选：A7.sin160°cos10°+cos20°sin10°=(

)A． B． C． D．参考答案：C【考点】两角和与差的余弦函数；运用诱导公式化简求值．【专题】转化思想；综合法；三角函数的求值．【分析】由条件利用诱导公式、两角和的正弦公式，求得所给式子的值．【解答】解：sin160°cos10°+cos20°sin10°=sin20°cos10°+cos20°sin10°=sin=sin30°=，故选：C．【点评】本题主要考查诱导公式、两角和的正弦公式，属于中档题．8.已知，那么A．

B．

C．

D．参考答案：C考查三角函数诱导公式，，选C.9.已知复数（其中i是虚数单位），则=A.0

B.

C.－2i

D.2i参考答案：C略10.两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离分别为3km，5km，灯塔A在观察站C的北偏东20°方向上，灯塔B在观察站C的南偏东40°方向上，则灯塔A与B的距离为A.6km

B.km

C.7km

D.km参考答案：C二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.在的展开式中,的系数为

．参考答案：

试题分析：因,令,即,故的系数为.考点：二项式定理及通项公式．12.如图，将一块半径为2的半圆形纸板切割成等腰梯形的形状，下底AB是半圆的直径，上底CD的端点在半圆上，则所得梯形的最大面积为．参考答案：【考点】7F：基本不等式．【分析】连接OD，过C，D分别作DE⊥AB于E，CF⊥AB，垂足分别为E，F．设∠AOD=θ．OE=2cosθ，DE=2sinθ．可得CD=2OE=4cosθ，梯形ABCD的面积S==4sinθ（1+cosθ），平方换元利用导数研究函数的单调性极值与最值即可得出．．【解答】解：连接OD，过C，D分别作DE⊥AB于E，CF⊥AB，垂足分别为E，F．设∠AOD=θ．OE=2cosθ，DE=2sinθ．可得CD=2OE=4cosθ，∴梯形ABCD的面积S==4sinθ（1+cosθ），S2=16sin2θ（1+2cosθ+cos2θ）=16（1﹣cos2θ）（1+2cosθ+cos2θ）令cosθ=t∈（0，1）．则S2=16（1﹣t2）（1+2t+t2）=f（t）．则f′（t）=﹣32（t+1）2（3t﹣1）．可知：当且仅当t=时，f（t）取得最大值：．因此S的最大值为：．13.设x，y为正数，且x，a1，a2，y成等差数列，x，b1，b2，y成等比数列，则的最小值是

．参考答案：4【考点】等差数列与等比数列的综合．【分析】先利用条件得到a1+a2=x+y和b1b2=xy，再对所求都转化为用x，y表示后，在用基本不等式可得结论．【解答】解：由等差数列的性质知a1+a2=x+y；由等比数列的性质知b1b2=xy，所以，当且仅当x=y时取等号．故答案为：4．14.写出命题“，”的否定___________________.参考答案：,≥0略15.如图，已知是圆的切线，切点为，是圆的直径，与圆交于点，，圆的半径是，那么参考答案：16.已知函数，若，则________．参考答案：

-7

17.在数列{an}中，已知a1=2，a2=7，an+2等于anan+1（n∈N+）的个位数，则a2015=

．参考答案：2考点：数列递推式．专题：点列、递归数列与数学归纳法．分析：通过计算前几项，可得从第三项起an的值成周期数列，其周期为6，进而可得结论．解答： 解：∵a1a2=2×7=14，∴a3=4，∵7×4=28，∴a4=8，∵4×8=32，∴a5=2，∵8×2=16，∴a6=6，∴a7=2，a8=2，a9=4，a10=8，a11=2，∴从第三项起an的值成周期数列，其周期为6，又∵2015=335×6+5，∴a2015=a5=2，故答案为：2．点评：本题考查数列的递推公式，找出周期是解决本题的关键，属于中档题．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知椭圆C：=1（a＞b＞0）的离心率为，以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线x﹣y+=0相切．A、B是椭圆C的右顶点与上顶点，直线y=kx（k＞0）与椭圆相交于E、F两点．（1）求椭圆C的方程；（2）当四边形AEBF面积取最大值时，求k的值．参考答案：【考点】直线与圆锥曲线的关系．【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】（1）通过椭圆的离心率，直线与圆相切，求出a，b即可求出椭圆的方程．（2）设E（x1，kx1），F（x2，kx2），其中x1＜x2，将y=kx代入椭圆的方程，利用韦达定理，结合点E，F到直线AB的距离分别，表示出四边形AEBF的面积，利用基本不等式求出四边形AEBF面积的最大值时的k值即可．【解答】解：（1）由题意知：=∴=，∴a2=4b2．…又∵圆x2+y2=b2与直线相切，∴b=1，∴a2=4，…故所求椭圆C的方程为…（2）设E（x1，kx1），F（x2，kx2），其中x1＜x2，将y=kx代入椭圆的方程整理得：（k2+4）x2=4，故．①…又点E，F到直线AB的距离分别为，．…所以四边形AEBF的面积为==…===，…当k2=4（k＞0），即当k=2时，上式取等号．所以当四边形AEBF面积的最大值时，k=2．…【点评】本题考查直线与椭圆的位置关系，圆锥曲线的综合应用，考查分析问题解决问题的能力，转化思想以及计算能力．19.（13分）已知函数.（Ⅰ）若求函数的单调区间；（Ⅱ）若在上的最小值为，求的值；（Ⅲ）若在上恒成立，求的取值范围.参考答案：（1）由题意：的定义域为，且．，单调递增区间是；

-----4分（2）由（1）可知：①若，则，即在上恒成立，此时在上为增函数，（舍去）． ②若，则，即在上恒成立，此时在上为减函数，（舍去）．

③若，令得，

当时，在上为减函数，

当时，在上为增函数，综上可知：．

-----4分

（3）．

又

令，在上是减函数，，即，在上也是减函数，．

令得，∴当在恒成立时，．

-----5分20.（本小题满分14分）在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，q=（，1），p=（，）且．求：（I）求sinA的值；（II）求三角函数式的取值范围．参考答案：解：（I）∵，∴，

根据正弦定理，得，

又，

，，，又；sinA=

………………7分（II）原式，

，

∵，∴，∴，∴，∴的值域是．

………………14分

21.（本题满分12分）如图，点是单位圆与轴正半轴的交点，点．（Ⅰ）若，求的值；（Ⅱ）设点为单位圆上的动点，点满足，，，求的取值范围．参考答案：（（Ⅰ），

………2分．

………………4分（Ⅱ）因为，所以，

……6分，

………9分，

………11分所以，的取值范围．

…12分22.(1)给定正整数n5,集合An=.是否存在一一映射:AnAn满足条件：对一切k(1

kn－1),都有k|(1)+(2)+……+(k)?

(2)N*为全体正整数的集合,是否存在一一映射:N*

N*满足条件：对一切kN*,都有k|(1)+(2)+……+(k)?证明你的结论.注:映射:AB称为一一映射,如果对任意bB,有且只有一个aA使得(a)=b.题中“|”为整除符号.参考答案：解析：(1)不存在.

(5分)记Sk=.当n=2m+1时(m2),由2m|S2m及S2m=

－(2m+1)得(2m+1)m+1(mod2m),但(2m+1)A2m+1,故(2m+1)=m+1.再由2m－1|S2m－1及S2m－1=－(m+1)－(2m)得(2m)m+1(mod2m－1),又有(2m)=m+1,与的一一性矛盾.

(5分)

当n=2m+2时(m2),S2m+1=－(2m+2)给出(2m+2)=1或2m+2,同上又得(2m+1)=(2m)=m+2或m+1,矛盾.

(5分)(2)存在.对n归纳定义(2n－1)及(2n)如下：

(5分)令(1)=1,(2)=3.设已定义出不同的正整数值(k)(1k2n)满足整除条件且包含1,