【微专题】2023学年九年级数学下册常考点微专题提分精练（人教版） 阿氏圆小题（解析版）

阿氏圆小题1．如图，在中，，，点、分别是边、的中点，点是以为圆心、以为半径的圆弧上的动点，则的最小值等于A．4 B． C． D．【解答】解：在上截取，连接，，，点、分别是边、的中点，点是以为圆心、以为半径的圆弧上的动点，，，，，，，，，在中，，，，的最小值，故选：．2．如图，已知菱形的边长为8，，圆的半径为4，点是圆上的一个动点，则的最大值为．【解答】解：连接，在上取一点，使得，连接，，过点作交的延长线于．，，，，，，，，，四边形是菱形，，，，在中，，，，，，，的最大值为．3．如图，正方形的边长为4，为的中点，以为圆心，为半径作，点是上一动点，连接、，则的最小值为5．【解答】解：如图，在上取一点，使得，连接，，．四边形是正方形，，，，，，，，，，，，，，，的最小值为5，故答案为：5．4．如图，扇形中，，，是的中点，是上一点，，是上一动点，则的最小值为．【解答】解：如图，延长使，连接，，，，分别是的中点，，，，，且，，，当点，点，点三点共线时，的值最小，，，的最小值为13，的值最小值为．故答案为：．5．如图所示的平面直角坐标系中，，，是第一象限内一动点，，连接、，则的最小值是．【解答】解：如图，取点，连接，．，，，，，，，，，，，，，，，，的最小值为．故答案为：．6．如图，在中，点、点在上，，，点在上，且，点是的中点，点是劣弧上的动点，则的最小值为．【解答】解：延长到，使得，连接，．，，，，，，，，，，又在中，，，，，，的最小值为，答案为．7．如图，边长为4的正方形，内切圆记为圆，为圆上一动点，则的最小值为．【解答】解：设半径为，，，取的中点，连接，，，，，是公共角，，，，，当、、在一条直线上时，最小，作于，，，，，最小值，，的最小值是．故答案是．8．如图，在中，，，，以点为圆心，3为半径做，分别交，于，两点，点是上一个动点，则的最小值为．【解答】解：在上截取，连接，，，，，，，，，，，，当、、三点共线时，的值最小，在中，，，，的最小值，故答案为：．9．如图，在中，，，，、分别是边、上的两个动点，且，是的中点，连接，，则的最小值为．【解答】解：如图，在上取一点，使得，连接，．，，，，，，，，，，，，，，，的最小值为，故答案为．10．如图，在中，，，则的最大值为．【解答】解：，求的最大值就是求的最大值，过作于，延长到，使得，，，，，，由勾股定理得：，，为定值，是定值，点在的外接圆上，，当为直径时，最大，即，，解得，，，故答案为：．11．如图，与轴、轴的正半轴分别相交于点、点，半径为3，点，点，点在弧上移动，连接，，则的最小值为．【解答】解：如图，在轴上取点，连接，点，点，点，，，，，，，，，，当点在上时，有最小值为的长，，故答案为：．12．【新知探究】新定义：平面内两定点，，所有满足为定值）的点形成的图形是圆，我们把这种圆称之为“阿氏圆”【问题解决】如图，在中，，，则面积的最大值为．【解答】解：以为顶点，为边，在外部作，与的延长线交于点，，，，，，，，，，解得：，，，即点为定点，点的轨迹为以点为圆心，为半径的圆上，如图，过点作的垂线，交圆与点，此时点到的距离最大，即的面积最大，．故答案为：．13．如图所示，，半径为2的圆内切于．为圆上一动点，过点作、分别垂直于的两边，垂足为、，则的取值范围为．【解答】解：作于，作于，，，，，，，，，当与相切时，取得最大和最小，如图1，连接，，可得：四边形是正方形，，在中，，，在中，，，，如图2，由上知：，，，，，．三．解答题（共2小题）14．如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，的顶点，，均在格点上，点在上，且点也在格点上．的值为；（Ⅱ）是以点为圆心，2为半径的一段圆弧．在如图所示的网格中，将线段绕点逆时针旋转得到，旋转角为连接，，当的值最小时，请用无刻度的直尺画出点，并简要说明点的位置是如何找到的（不要求证明）．【解答】解：（1）由题意，，，故答案为：．（2）如图，取格点，，连接交于，连接交于，连接，点即为所求．故答案为：通过取格点、，使得，构造相似三角形将转化为，利用两点之间线段最短即可解决问题．15．阅读以下材料，并按要求完成相应的任务．已知平面上两点、，则所有符合且的点会组成一个圆．这个结论最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，称阿氏圆．阿氏圆基本解法：构造三角形相似．【问题】如图1，在平面直角坐标系中，在轴，轴上分别有点，，点是平面内一动点，且，设，求的最小值．阿氏圆的关键解题步骤：第一步：如图1，在上取点，使得；第二步：证明；第三步：连接，此时即为所求的最小值．下面是该题的解答过程（部分）解：在上取点，使得，又，．任务：（1）将以上解答过程补充完整．（2）如图2，在中，，，，