2023学年完整公开课版变化率问题1

1.1.1变化率问题高二数学选修2-1

第一章导数及其应用创设情景

一、已知物体运动的路程作为时间的函数,求物体在任意时刻的速度与加速度等;

二、求曲线的切线;

三、求已知函数的最大值与最小值;

四、求长度、面积、体积和重心等。

导数是微积分的核心概念之一它是研究函数增减、变化快慢、最大（小）值等问题最一般、最有效的工具。

导数研究的问题即变化率问题：研究某个变量相对于另一个变量变化的快慢程度．

为了描述现实世界中运动、过程等变化着的现象，在数学中引入了函数，随着对函数的研究，产生了微积分，微积分的创立与自然科学中四类问题的处理直接相关：姚明身高变化曲线图(部分)2.262.12●●●●●●年龄身高47101316●19220.81.61●●●●●●●

在吹气球的过程中,可发现,随着气球内空气容量的增加,气球的半径增加得越来越慢.从数学的角度,如何描述这种现象呢?播放暂停停止探究过程：如图是函数h(t)=-4.9t2+6.5t+10的图像，结合图形可知，，所以，虽然运动员在这段时间里的平均速度为，但实际情况是运动员仍然运动，并非静止，可以说明用平均速度不能精确描述运动员的运动状态．thO建构数学－平均变化率在例2中：对于函数h=-4.9t2+6.5t+10计算运动员在0s到0.5s内的

平均速度在例1中：对于函数当空气容量从V1增加到V2时,气球的

平均膨胀率一般地，函数f（x）在区间［x1，x2］上的平均变化率建构数学－平均变化率所以，平均变化率可以表示为：平均变化率:式子令△x=x2–x1,△y=f(x2)–f(x1),则称为函数f(x)从x1到x2的平均变化率.平均变化率的定义：1、式子中△x、△y的值可正、可负，但的△x值不能为0，△y

的值可以为02、若函数f(x)为常函数时，

△y=0理解3、变式:观察函数f(x)的图象平均变化率表示什么?xyoBx2f(x2)Ax1f(x1)f(x2)-f(x1)x2-x1直线AB的斜率y=f(x)思考直线AB的斜率AB思考例(1)计算函数f(x)=2x+1在区间[–3,–1]上的平均变化率；(2)求函数f(x)=x2

+1的平均变化率。(1)解：△y=f(-1)-f(-3)=4△x=-1-(-3)=2(2)解：△y=f(x+△x)-f(x)=2△x·x+(△x)2

题型一：求函数的平均变化率练习1.已知函数f(x)=-x2+x的图象上的一点A(-1,-2)及临近一点B(-1+Δx,-2+Δy),则Δy/Δx=()A.3B.3Δx-(Δx)2C.3-(Δx)2D.3-Δx

D3.求y=x2在x=x0附近的平均变化率.

A△x+2x0小结：1.函数的平均变化率2.求函数的平均变化率的步骤:(1)求函数的增量：Δy=f(x2)-f(x1);(2)计算平均变化率：（1）[1,3];（2）[1,2];（3）[1,1.1];（4）[1,1.001];（5）[1,1.0001];

一运动质点的位移S与时间t满足S(t)=t2,分别计算S(t)在下列区间上的平均变化率.(位移单位为m,时间单位为s)432.12.0011.9991.991.92（6）[0.999,1];（7）[0.99,1];（8）[0.9,1].