调查资料统计与分析-单变量描述统计（社会调查课件）

3、标准差（standarddeviation)

各变量值对其算术平均数的离差平方的算术平均数的平方根，均方差，又称用S表示。

即克服平均差带有绝对值的缺点，又保留其综合平均的优点。1.对于未分组资科

求72、81、86、69、57这些数字的标准差。

计算左边数列的标准差

计算左边数列的标准差[例]调查大一男生60人的身高情况如下表所示，求他们身高的标准差。[解]因为是分组资料，计算标准差运用加权式，并参见下表

标准差是反映总体各单位标志值的离散状况和差异程度的最佳测度。（1）以算术平均数为基准计算的标准差比以其他任何数值为基准计算的标准差要小。“最小二乘方”性质——各变量值对算术平均数的离差的平方和，必定小于他们对任何其他数偏差的平方和。（2）它将总体中各单位标志值的差异全包括在内，受抽样变动影响小。但在受极端值影响以及处理不确定组距方面，缺点同算术平均数。值得注意的是，在推论统计中我们将发现，方差是比标准差更有理论价值的概念。所谓方差，即标准差的平方，它直接写成。也常被称为变异数。

以离差和标准差的比值来测定变量与的相对位置。使原来不能直接比较的离差标准化，可以相互比较，加、减、平均。

（1）Z是和X一一对应的变量值；（2）Z分数没有单位，是一个不受原资料单位影响的相对数，所以可以用于不同单位资料的比较；（3）Z分数实际表达了变量值距总体均值有几个标准差。

Z分数也有标准正态变量之称。按Z值大小编制出的正态分布表，其用途十分广泛。

Z分数的性质：Z分数之和等于0Z分数的算术平均数等于0Z分数的标准差等于1，方差也等于1一、参数估计类型用样本统计值推估总体参数值可分为两种情况：一是点值估计；二是区间估计。这两种情况都要求样本是用随机方法抽取的。点值估计点值估计就是用一个最适当的样本统计值代表总体的参数值。例如，调查某城市居民对限制生产销售使用塑料购物袋（即“限塑令”）的态度，假定发现样本中有66%的人表示支持，由此推估该城市大约有66%的居民支持限塑令。区间估计区间估计是指以两个数值之间的间距去推估总体参数值的范围（区间）。区间的大小取决于研究者估计时所要求的置信度的高低，在其他条件不变的情况下，所要求的置信度越高，则区间越大；所要求的置信度越低，则区间越小。

举例：求总体均值和总体百分比的置信区间例一：一次调查所得到的样本统计值如下：平均年龄为43.51岁，标准差为12.427岁，样本量为232人。求置信度为95%时总体平均年龄的置信区间。请注意：要保证取两位小数以后，置信水平不因此而降低，就只能扩大而不是缩小取小数前的区间，因而这里不能采用四舍五入的方法，而应当采用下限直接截取两位小数，舍去后面的小数；上限则只要第二位小数后的小数不为0，就进1的取数方法。

例二：一次调查所得到的样本统计值如下：男性占47.8%，样本容量为232人。求置信度为99%时总体中男性所占百分比的置信区间。计算练习:

1、调查某单位的工资情况,随机抽取900名工人作为样本,调查得到他们的月平均工资为186元,标准差为42元,求95%得置信度下,全单位职工的月平均工资的置信区间是多少。2、从某工厂随机抽取400名工人进行调查,结果表明女工的比例为20%现在要求在90%的置信度下，估计全厂工人中女工比例的置信区间。答案1、代入公式得到全单位职工的月平均工资的置信区间为:183.2６—188.74元2、代入公式得女工比例的置信区间：16.7%-23.3%一、参数估计用样本统计值推估总体参数值可分为两种情况：一是点值估计；二是区间估计。这两种情况都要求样本是用随机方法抽取的。点值估计点值估计就是用一个最适当的样本统计值代表总体的参数值。例如，调查某城市居民对限制生产销售使用塑料购物袋（即“限塑令”）的态度，假定发现样本中有66%的人表示支持，由此推估该城市大约有66%的居民支持限塑令。区间估计

区间估计是指以两个数值之间的间距去推估总体参数值的范围（区间）。区间的大小取决于研究者估计时所要求的置信度的高低，在其他条件不变的情况下，所要求的置信度越高，则区间越大；所要求的置信度越低，则区间越小。

举例：求总体均值和总体百分比的置信区间

例1、一次调查所得到的样本统计值如下：平均年龄为43.51岁，标准差为12.427岁，样本量为232人。求置信度为95%时总体平均年龄的置信区间。

例2：一次调查所得到的样本统计值如下：男性占47.8%，样本容量为232人。求置信度为99%时总体中男性所占百分比的置信区间。二、假设检验

假设检验是指先对总体的某一参数作出某种假设（即虚无假设或原假设），再根据样本观察的数据去检验原假设是否正确，以决定是接受还是拒绝原假设。如果检验统计量大于等于临界值（或检验统计量的相伴概率小于等于给定的显著水平），则拒绝原假设。其理论依据是概率论中的小概率原理，该原理认为小概率事件在一次观察中是不可能出现的。

总体均值和总体百分比的假设检验

一般步骤（以Z检验法为例）：假设检验统计量的计算公式适用于大样本（n≥30）下的总体均值假设检验适用于总体百分比假设检验适用于小样本（n＜30）下的总体均值假设检验

举例：总体均值和总体百分比的假设检验

例一：2009年某校学生的月均生活费支出为400元，2010年在该校抽取了100名学生进行调查，得到这100名学生的月均生活费支出为450元，标准差为60元。请问在0.05的显著水平上，该校学生2010年的月均生活费支出与2009年的有没有变化？

例二：某市市民2009年参加过慈善捐款的比例为65%，2010年该市社情民意调查中心电话访问了2000个市民，发现其中70%在2010年参加过慈善捐款。请问：在0.05的显著水平上，2010年该市有慈善捐款行为的市民的比例是否比2009年所有提高？四、注意事项

1.判断是接受还是拒绝原假设时，利用Z、t等统计量与其临界值进行对比，与利用其相伴概率和研究者所要求的显著性水平进行对比，二者是等价的。

2.SPSS已将一些常用值设定为了默认值，如果研究者没有特殊要求，可以直接使用系统默认值。练习1、某单位职工上月平均奖金为210元,本月调查了100名职工,平均奖金为220元,标准差为15元,问该单位职工平均奖金与上月相比是否有变化.2、一所大学全体学生中抽烟者的比例为35%,经过学习和戒烟宣传后,随机抽取100名大学生进行调查,结果发现抽烟者为25明,问戒烟宣传是否受到了成效1、(解)首先建立虚无假设(用H0表示)和研究假设(用H1表示),即有:H0:μ=210H1:μ≠210

选择显著性水平α=0.05,由Z检验表查得

Z(0.05/2)=1.96代入公式得到

Z=6.67

由于Z=6.67＞Z(0.05/2)=1.96

所以.拒绝虚无假设,接受研究假设,即从总体上说,该单位职工月平均奖金与上月相比有变化.1.建立假设：H0:P0=0.35H1:P0＜0.35

2.选择显著性水平

α=0.05,由Z检验表查得Z0.05=1.65

3.根据公式计算统计量

0.25—0.35

=

0.35×(1-0.35)=－2.1100

4.将统计值与临界值进行比较做出判断由于│Z│=2.1＞Z0.05=1.65

所以,拒绝虚无假设,接受研究假设,即从总体上说,戒烟宣传受到了成效,戒烟者的比例明显下降.

集中趋势分析

集中趋势分析是指用典型值或代表值来反映一组数据的一般水平，也即反映这组数据向这个典型值或代表值集中的情况。集中趋势分析常用表示集中程度的统计量数（即集中量数）来表示，这些集中量数主要有众数、中位数和平均数等。一、众数定义：变量所有取值中出现次数最多的那个取值。适用范围：在实际操作中，一般只用于定类测量和定序测量。二、中位数定义：指把变量的取值按照大小或高低顺序排列起来，位于中间位置上的那个取值。适用范围：它可以应用于定序尺度以上层次的测量。其基本含义是：在整个数据中，有一半个案的数据值在它之上，另一半个案的数据值在它之下。

1、根据原始资料求中位值

将个案由低到高排序：(1)如果N是奇数，中位数位置就是第(N+1)/2个个案所在的位置。(2)如果N是偶数，中位数落在最中央的两个个案之间。如果重复数值多，可以利用累加次数寻找中位值。例如：8位同学的考试成绩为：60、68、72、75、79、80、83、87，则（8+1）/2=4.5，第四、五个学生的分数75、79的平均数77则是中位数。2、根据分组资料计算中位值L为中位数所在组的下限值，fm为中位数所在组的频数，i为中位数所在组的组距，为各组所对应的频数，cf为比中位数所在组的数值小的所有组的累计频数，U代表上限值。举例二：指出表8-5中的中位数三、平均数

含义：平均数是指各单位数值之和除以单位总数目所得的商，一般用表示样本平均数。

适用范围：适用于定距变量。均值对资料的信息利用最充分，但是平均数的大小往往容易受到极值的影响。1、未分组资料

(1)根据原始资料求均值

X=例7，3，11，10，4

X=(2)根据频数分布求均值

例：求以下550人的平均数

X==69.62、分组数据

对于分组数据，可用组中心值来代替变量值。计算方法与未分组数据相同。

例：青年人阅读小说书的数目

二种情况一般不用均值：(1)开放间距(2)存在极端个案离散趋势分析

离散趋势分析就是用表示离散程度的统计量（即离散量数）来反映一组数据的各个数值距离它的代表值的差异程度。离散量数越大，说明典型值的代表性越差；离散量数越小，说明典型值的代表性越好。常用的离散趋势统计量有异众比率、四分位差、全距、标准差、离散系数等。异众比率

异众比率是指非众数次数与总体全部次数之比。异众比率适用于定类测量，用于补充说明众数的代表性。异众比率越小，说明众数的代表性越好；异众比率越大，说明众数的代表性越差。

四分位差

四分位差Q是指舍去一组数据中最大和最小的1/4，只计算中央1/2的资料中的最大值与最小值之差。四分位差适用于定序尺度以上测量，用于补充说明中位数的代表性。四分位差越小，说明中位数的代表性越好；四分位差越大，说明中位数的代表性越差。四分位差的大小不受极值的影响，因而当一组数据中出现极值比较小或比较大的情况时，可以考虑用四分位差来衡量其离散程度。例:调查11位同学的年龄如下:17、18、18、19、19、20、20、21、21、22、22，求其四分位差。解：Q1=(n+1)/4=3,Q3=3(n+1)/4=9

再从数序中找到Q1=18，Q3=21Q=Q3-Q1=21-18=3举例：求表8-8中的四分位数全距全距，也称极差，是指一组数据中最大值与最小值之差。全距越小，表明集中量数的代表性越好；全距越大，表明集中量数的代表性越差。标准差标准差是指一组数据中的各个数值与这组数据的平均值之差的平方和除以该组数据个数所得的值的平方根。标准差适用于定距和定比测量，用于补充说明均值的代表性。标准差越小，表明均值的代表性越好；标准差越大，表明均值的代表性越差。标准差的计算公式，因资料形式的不同而不同适用于原始数据适用于组距分组资料适用于单值分组资料离散系数离散系数，又叫变差系数，是指标准差与平均数的比值，常用百分比表示。这是一种不带单位的表示离散程度的统计量，可用于对同一总体中两种不同单位的离散量数或不同总体中同一离散量数进行比较。例：某个小学，一年级和五年级的学生都参加了同一个测验，一年级的平均分为60分，标准差4.02分，五年级的平均分为80分，标准差是6.04分。试比较一年级和五年级学生测验成绩的离散程度。解一年级五年级五年级比一年级的成绩离散程度要大算术平均数(MEAN)

用总体标志总量除以总体单位数即得算术平均数（Arithematicmean）。

算术平均数是反映集中趋势最常用、最基本的平均指标，也被称为均值。它只适用于定距以上的变量。

例：某小区350户家庭共有居民1190人。在这个例子中，家庭总数350户是总体单位数，居民总数1190人是该总体的标志总量。根据算术平均数的定义

户均人口＝＝3.4（人）

1.对于未分组资料

注意：对求和符号，此时流动脚标的变动范围是1,2,3,…,N，N是总体单位数。

[例]求74、85、69、9l、87、74、69这些数字的算术平均数。

[解]

＝＝78.4

2.对于分组资料

注意：对求和符号，此时流动脚标的变动范围是1,2,3…,n，n是组数，而不是总体单位数。

很显然，算术平均数不仅受各变